Вначале определим от каких параметров зависит радиус кривизны заряженной частицы в магнитном поле.
В задаче описано два процесса.
1 процесс — частица с зарядом
q разгоняется в электрическом поле. При этом
Aэл = Δ
Wk, где
Aэл =
q⋅(φ
1 – φ
2) — работа электрического поля по разгону частицы, Δ
Wk =
W2 –
W1 — изменение кинетической энергии,
W2 =
m⋅υ
2/2,
W1 = 0 — кинетические энергии частицы массой
m в конечном положение (на вылете из электрического поля) и в начальном (по умолчанию начальная скорость равна 0). Тогда
\[
q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right) = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}.
\] (1)
2 процесс — частица движется в магнитном поле по криволинейной траектории, следовательно, ее скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции, т.е. α = 90°. При движении заряженной частицы по окружности, можно записать
m⋅aц =
Fл, где
Fл =
q⋅B⋅υ⋅sin α — сила Лоренца,
aц = υ
2/
R — центростремительное ускорение. Тогда
\[
\frac{m \cdot \upsilon^2}{R} = q \cdot \upsilon \cdot B,\, \, \, \,
\frac{m \cdot \upsilon}{R} = q\cdot B.
\] (2)
Решим систему уравнений (1) и (2). Например, из уравнения (1) находим скорость
\[
\upsilon = \sqrt{\frac{2q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{m}}
\]
и подставляем ее в уравнение (2)
\[
R= \frac{m \cdot \upsilon}{q \cdot B} = \frac{m}{q \cdot B} \cdot
\sqrt{\frac{2q \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{m}} =
\frac{1}{B} \cdot \sqrt{\frac{2m \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{q}}.
\]
Полученное уравнение распишем для двух частиц: протона и электрона. Эти частицы ускорялись «одинаковой разностью потенциалов» (т.е. у них равны φ
1 – φ
2), они влетают в одно и то же магнитное поле (у них равные индукции
B). Кроме того они имеют численно равные заряды (но противоположные по знаку). Массы протона и электрона найдем в справочнике. С учетом этого получаем
\[
\frac{R_p}{R_e} = \frac{1}{B} \cdot \sqrt{\frac{2m_p \cdot
\left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}{q}} \cdot B \cdot
\sqrt{\frac{q}{2m_e \cdot \left(\varphi_1 - \varphi_2 \right)}} =
\sqrt{\frac{m_p}{m_e}},
\]
Rp/
Re ≈ 43.
Придирка к условию: если электрон и протон ускорять в одном и том же электрическом поле, то они полетят в разные стороны. Да и в магнитном поле они будут вращаться в разные стороны.
