Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

157. Шарик, подвешенный к невесомой нити, движется по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью (конический маятник). Длина нити l = 1,14 м; угол, составленный нитью с вертикалью, α = 30°. Период вращения маятника T = 2,0 с. Найти ускорение свободного падения.

Решение. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения подвеса (Т). Так как тело вращается с постоянной скоростью, то есть только центростремительное ускорение а_c, направленное к центру вращения горизонтально. Оси направим так, как показано на рисунке. Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0X: m⋅a_с = Т⋅sin α, (1)
0Y: 0 = –m⋅g + Т⋅cos α, (2)

где a_c = ω²⋅R, ω = 2π/T, R = l⋅sin α. Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ T = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha}, \, \, \, m \cdot \omega^{2} \cdot l \cdot \sin \alpha = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha, \]

g = ω²⋅l⋅cos α = (2π/T)²⋅l⋅cos α,

g = 9,7 м/с².

[alsak]

158. В вагоне поезда, идущего равномерно со скоростью υ = 20 м/с по горизонтальному закруглению железнодорожного пути, производится взвешивание груза массой m = 4 кг с помощью динамометра, подвешенного к потолку вагона. Вес P груза оказался равным 39,4 Н. Определить радиус закругления.

Решение. При повороте вагона поезда груз, висящий на пружине динамометра, будет отклоняться в противоположную сторону поворота. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения пружины (Т). По третьему закону Ньютона, с какой силой груз действует на пружину (вес тела Р), с такой по величине силой T пружина действует на груз, T = P.
Так как груз вместе с вагоном поворачивает равномерно, то есть только центростремительное ускорение а_c, направленное к центру поворота горизонтально. Оси направим так, как показано на рисунке. Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0X: m⋅a_с = Т⋅sin α = P⋅sin α, (1)
0Y: 0 = –m⋅g + Т⋅cos α = –m⋅g + P⋅cos α, (2)

где a_c = υ²/R. Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ \cos \alpha = \frac{m \cdot g}{P}, \, \, \, \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{m \cdot g}{P} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{P^{2} - \left(m \cdot g \right)^{2}}}{P}, \]

\[ m \cdot \frac{\upsilon^{2}}{R} = P \cdot \sin \alpha, \; \; \; R = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{P \cdot \sin \alpha} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{\sqrt{P^{2} - \left(m \cdot g \right)^{2}}}, \]

R = 404 м (g = 9,8 м/с²).

[alsak]

160. Радиус Луны приблизительно в n₁ = 3,8 раза меньше радиуса Земли, а масса Луны в n₂ = 81 раз меньше массы Земли. Найти ускорение свободного падения на Луне, если известно, что на Земле g_З = 9,8 м/с². Во сколько раз нужно изменить начальную скорость, чтобы брошенное вертикально вверх тело поднялось на такую же высоту на Луне, как и на Земле?

Решение. Ускорение свободного падения у поверхности планеты массой M_p и радиуса R_p равно

g = G⋅M_p/R_p². (1)

Запишем уравнение (1) для Луны и Земли

g_l = G⋅M_l/R_l², g₃ = G⋅M₃/R₃²,

где R₃ = n₁⋅R_l, M₃ = n₂⋅M_l (по условию). Решим данную систему. Например,
 

\[ \frac{g_{l}}{g_{3}} = \frac{M_{l} \cdot R_{3}^{2}}{R_{l}^{2} \cdot M_{3}} = \frac{M_{l} \cdot \left(n_{1} \cdot R_{l} \right)^{2}}{R_{l}^{2} \cdot n_{2} \cdot M_{l}} = \frac{n_{1}^{2}}{n_{2}}, \; \; g_{l} = \frac{n_{1}^{2}}{n_{2}} \cdot g_{3}, \]

g_l = 1,7 м/с².

Пусть на Земле вертикально вверх бросили тело со скоростью υ₀ и оно достигло высоты
 

\[ h = \frac{\upsilon_{y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2}}{-2g_{3}} = \frac{\upsilon_{0}^{2}}{2g_{3}}. \]

Чтобы на Луне тело достигло той же высоты h, скорость тела должна быть равна υ₁, причем

h =υ₁²/(2g_l).

Тогда
 

\[ \frac{\upsilon_{0}^{2}}{2g_{3}} = \frac{\upsilon_{1}^{2}}{2g_{l}}, \, \, \, \frac{\upsilon_{0}}{\upsilon_{1}} = \sqrt{\frac{g_{3}}{g_{l}}} = \sqrt{\frac{n_{2}}{n_{1}^{2}}} = \frac{\sqrt{n_{2}}}{n_{1}}, \, \, \, \frac{\upsilon_{0}}{\upsilon_{1}} \] =2,4.

Скорость на Луне надо уменьшить в 2,4 раза.

[alsak]

162. На какой угол надо отклонить нить с подвешенным на ней грузом, чтобы при прохождении положения равновесия сила натяжения нити была в 2 раза больше силы тяжести груза?

Решение. Положение равновесия системы — это нижняя точка маятника. В этой точке на груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения нити (Т) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a_c = –m⋅g + Т, (1)

где a_c = υ²/R = υ²/l, T = 2m⋅g (по условию).
Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. За нулевую высоту примем точку положения равновесия (рис. 2). Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = l – OA = l – l⋅cos α = l⋅(1 – cos α).

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅υ²/2.

Из закона сохранения механической энергии следует, что

m⋅g⋅l⋅(1 – cos α) = m⋅υ²/2, υ² = 2g⋅l⋅(1 – cos α).

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon^{2}}{l} = -m \cdot g + 2m \cdot g = m \cdot g, \, \, \, \frac{\upsilon^{2}}{l} = g, \]

\[ 2g \cdot \left(1 - \cos \alpha \right) = g, \, \, \, 1 - \cos \alpha = \frac{1}{2} , \, \, \, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \]

α = 60°.

[alsak]

164. На невесомом стержне висит груз массой m. Груз отклоняют на угол α = 90° и отпускают. Найти силу натяжения стержня в момент прохождения им положения равновесия.

Решение. Положение равновесия системы — это нижняя точка маятника. В этой точке на груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения нити (Т) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a_c = –m⋅g + Т, (1)

где a_c = υ²/R = υ²/l.
Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. За нулевую высоту примем точку положения равновесия (рис. 2). Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀ = m⋅g⋅l

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅υ²/2.

Из закона сохранения механической энергии следует, что

m⋅g⋅l = m⋅υ²/2, υ² = 2g⋅l.

Подставим полученное выражение в уравнение (1)

m⋅υ²/l = –m⋅g + T, T = m⋅(υ²/l + g) = m⋅(2g + g) = 3m⋅g.

[alsak]

165. Шарик массой m = 100 г подвешен на нити. В натянутом положении нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Чему равна сила натяжения нити в момент, когда она образует с горизонтальным направлением угол α = 30°? Какой прочностью на разрыв должна обладать нить, чтобы она не оборвалась? Нить считать невесомой и нерастяжимой.

Решение. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения нити (Т) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a_c = –m⋅g⋅sin α + Т, (1)

где a_c = υ²/R = υ²/l.
Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. За нулевую высоту примем точку окружности, в которой надо найти силу натяжения (рис. 2). Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = OA = l⋅sin α.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅υ²/2.

Из закона сохранения механической энергии следует, что

m⋅g⋅l⋅sin α = m⋅υ²/2, υ² = 2g⋅l⋅sin α.

Подставим полученное выражение в уравнение (1)

T = m⋅(a_c + g⋅sin α) = m⋅(υ²/l + g⋅sin α) =
= m⋅(2g⋅sin α + g⋅sin α) = 3m⋅g⋅sin α,

Т = 1,5 Н.

«Какой прочностью на разрыв должна обладать нить»? Найдем максимальную силу натяжения T_max, которая может быть у нити. Тогда, «чтобы она не оборвалась», нить должна выдерживать силу натяжения большую, чем T_max.
Максимальная сила натяжения нити будет в момент прохождения положения равновесия (нижней точки). В этот момент сила натяжения равна (см. решение задачи 164)

T_max = 3m⋅g.

Тогда T > T_max = 3 Н.

[alsak]

163. Тело массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной l = 1 м. Ось вращения расположена над полом на высоте H = 2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается, и тело падает на пол на расстоянии L = 4 м (по горизонтали) от точки обрыва. Определить силу натяжения нити в момент ее обрыва. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g считать равным 10 м/с².

Решение. На тело действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения нити (Т) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a_c = –m⋅g + Т, (1)

где a_c = υ₀²/R = υ₀²/l.
Скорость в этой точке найдем из уравнений кинематики. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности пола и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. При движении по окружности скорость тела направлена по касательной к окружности, и в нижней точке скорость υ₀ будет направлена горизонтально. Тогда (рис. 2)

y₀ = h₀ = H – l, x₀ = 0

Запишем уравнения координаты на выбранные оси (υ_0x = υ₀, g_x = 0, υ_0y = 0, g_y = –g)

x = υ₀∙t, y = (H – l) – g⋅t²/2.

Пусть в некоторый момент времени t = t₁ тело упало на пол, тогда y = 0, x = L (по условию):

х = L = υ₀∙t₁, (2)
0 = H – l – g⋅t₁²/2. (3)

Решим систему уравнений (2)-(3):
 

\[ \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = H - l, \, \, \, t_{1} = \sqrt{\frac{2 \cdot \left(H - l \right)}{g}}; \, \, \, \upsilon_{0} = \frac{L}{t_{1}} = L \cdot \sqrt{\frac{g}{2 \cdot \left(H - l \right)}}. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon_{0}^{2}}{l} = -m \cdot g+T, \]
 
\[ T = m \cdot \left(\frac{\upsilon_{0}^{2}}{l} + g \right) = m \cdot \left(\frac{L^{2} \cdot g}{2l \cdot \left(H - l \right)} +g \right) = m \cdot g \cdot \left(\frac{L^{2}}{2l \cdot \left(H - l \right)} + 1 \right), \]

T = 9 Н.

[alsak]

167. Горизонтально расположенный диск вращается с частотой ν = 0,25 Гц вокруг вертикальной оси. Наибольшее расстояние от оси вращения, на котором тело удерживается на диске в равновесии, r = 10 см. Чему равен коэффициент трения тела о диск?

Решение. На тело, лежащее на диске, действуют: сила тяжести (m⋅g) и сила реакции опоры (N) — они направлены по вертикали (вдоль оси 0Y на рис. 1), сила трения (F_t) — она направлена по горизонтали. Тело вращается вместе с диском, поэтому у тела есть центростремительное ускорение, направленное к центру диска. А так как на тело действует только одна горизонтальная сила (F_t), то она будет направлена в ту же сторону, что и ускорение, т.е. к центру диска.
*Можно определить направление силы трения и другим способом. Например, определить, куда бы двигалось тело, если не было бы трения. Тогда сила трения будет направлено против предполагаемого движения.

Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a}_{c} = \vec{N} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{t},
 \]

0Х: m⋅a_с = F_t, (1)
0Y: 0 = –m⋅g + N, (2)

где a_c = ω²⋅R, ω = 2π⋅ν. Так как тело находится в равновесии, то действует сила трения покоя, которая равна F_t ≤ μ⋅N, где N = m⋅g — из уравнения (2). Тогда
 

\[ m \cdot \left(2 \pi \cdot \nu \right)^{2} \cdot R \le \mu \cdot m \cdot g, \, \, \, R \le \frac{\mu \cdot g}{\left(2 \pi \cdot \nu \right)^{2}}, \, \, \, R_{\max} = \frac{\mu \cdot g}{\left(2 \pi \cdot \nu \right)^{2}}. \]

При любом расстоянии l > R_max тело начнет скользить по диску в противоположную сторону от центра. По условию R_max = r, тогда
 

\[ r = \frac{\mu \cdot g}{\left(2 \pi \cdot \nu \right)^{2}}, \, \, \, \mu = \frac{\left(2 \pi \cdot \nu \right)^{2} \cdot r}{g}, \]

μ = 0,025.

[alsak]

168. Чаша в форме полусферы радиуса R = 0,8 м вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (рис. 1). Вместе с чашей вращается шарик, лежащий на ее внутренней поверхности. Расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу. Определить угловую скорость чаши. Трением пренебречь.

Решение. На шарик действуют сила тяжести (m⋅g) и сила реакции опоры (N), которая направлена перпендикулярно поверхности чаши, т.е. по радиусу. Так как шарик вращается вместе с чашкой с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, то он вращается в горизонтальной плоскости и его центростремительное ускорение а_c направленно горизонтально. Оси направим так, как показано на рис. 2. Пусть α — это угол между радиусом, проведенным к телу и вертикальной осью (рис. 3). Из второго закона Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a}_{c} = \vec{N} + m \cdot \vec{g},
 \]

0X: m⋅a_с = N⋅sin α, (1)
0Y: 0 = –m⋅g + N⋅cos α, (2)

где a_c = ω²⋅r, r = R⋅sin α, α = 60°, т.к. ΔAOB — равносторонний (OA = OB = R, AB = R — по условию) (см. рис. 3). Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ N = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha}, \, \, \, m \cdot \omega^{2} \cdot R \cdot \sin \alpha = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha,
 \]

\[ \omega^{2} \cdot R = \frac{g}{\cos \alpha}, \, \, \, \omega = \sqrt{\frac{g}{R \cdot \cos \alpha}}, \]

ω = 5 рад/с.

[alsak]

169. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность веществ планеты ρ = 3,0⋅10³ кг/м³. Определить период вращения планеты вокруг собственной оси. Гравитационная постоянная G = 6,67⋅10^-11 Н⋅м²/кг².

Решение. Почему вес тела на экваторе и полюсе отличаются? Из-за вращения планеты: на экваторе тело вращается по окружности, радиус которой равен радиусу планеты, на полюсе радиус вращения равен нулю (рис. 1). По третьему закону Ньютона, с какой силой тело давит на планету (вес тела P), с такой же по величине силой, но противоположной по направлению, планета будет действовать на тело (сила реакции опоры N), т.е. P = N.
На тело действуют сила тяжести (m⋅g_p) и сила реакции опоры (N), которая направлена перпендикулярно поверхности планеты, т.е. по радиусу. Сила тяжести — это сила, с которой тело притягивается к планете, т.е.
 

\[ m \cdot g_{p} = G \cdot \frac{m \cdot M_{p}}{R_{p}^{2}}, \]

где M_p = ρ⋅V_p = ρ⋅4/3⋅π⋅R_p³ — масса планеты. Тогда
 

\[ m \cdot g_{p} = G \cdot \frac{m}{R_{p}^{2}} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R_{p}^{3} = \frac{4}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \cdot m \cdot R_{p}.\;\;\; (1) \]

Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a}_{c} = m \cdot \vec{g}_{p} + \vec{N}, \]

0X: m⋅a_с = m⋅g_p – N₁ (2) — на экваторе,

0Y: 0 = –m⋅g_p + N₂ (3) — на полюсе,

где a_c = ω²⋅R_p, ω = 2π/T, N₂ = 2N₁ — по условию. Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

N₂ = m⋅g_p, m⋅ω²⋅R_p = m⋅g_p – m⋅g_p/2,

\[ m \cdot \left(\frac{2\pi }{T} \right)^{2} \cdot R_{p} = \frac{m \cdot g_{p}}{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \cdot m \cdot R_{p}, \]
 
\[ \left(\frac{2\pi}{T} \right)^{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot G \cdot \rho, \; \; \; T = \sqrt{\frac{3 \cdot 4 \pi^{2}}{2 \pi \cdot G \cdot \rho}} = \sqrt{\frac{6 \pi}{G \cdot \rho}}, \]

T = 9,7⋅10³ с.