Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

136. Человек передвигает груженые сани с постоянной скоростью с помощью твердого стержня, соединенного с санями и расположенного под углом α = 30° к горизонту. Одинаковые ли силы F₁ и F₂ нужно приложить к саням для их передвижения, если их толкать перед собой или тянуть за собой? Во сколько раз одна сила больше другой? Коэффициент трения саней о дорогу μ = 0,10.

Решение. На сани действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_tr) и внешняя сила (F) — сила, с которой человек передвигает сани. Так как сани движутся, то сила трения – это сила трения скольжения. Так как сани нужно только передвинуть, то можно считать, что ускорение саней а должно быть очень маленьким, т.е. а = 0. Из второго закона Ньютона:
 

\[ 0 = m \cdot \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{tr} + \vec{N}, \]

Для силы F₁ (сани толкать перед собой) (рис. 1):

0Х: 0 = F₁⋅cos α – F_tr1, (1)

0Y: 0 = –F₁⋅sin α – m⋅g + N₁; (2)

для силы F₂ (сани тянуть за собой) (рис. 2):

0X: 0 = F₂⋅cos α – F_tr2, (3)

0Y: 0 = F₂⋅sin α – m⋅g + N₂, (4)

где F_tr = μ⋅N, N₁ = m⋅g + F₁⋅sin α, N₂ = m⋅g – F₂⋅sin α — из проекций (2) и (4).
Найдем силы F₁ и F₂. Из уравнения (1)

0 = F₁⋅cos α – μ⋅(m⋅g + F₁⋅sin α),

\[ F_{1} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{{\rm cos} \alpha - \mu \cdot {\rm sin} \alpha}.\;\;\; (5) \]

Из уравнения (3)

0 = F₂⋅cos α – μ⋅(m⋅g – F₂⋅sin α),

\[ F_{2} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{{\rm cos} \alpha + \mu \cdot {\rm sin} \alpha}.\;\;\; (6) \]

Из уравнений (5) и (6) получаем
 

\[ \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{{\rm cos} \alpha - \mu \cdot {\rm sin} \alpha} \cdot \frac{{\rm cos} \alpha + \mu \cdot {\rm sin} \alpha}{\mu \cdot m \cdot g} = \frac{{\rm cos} \alpha + \mu \cdot {\rm sin} \alpha}{{\rm cos} \alpha - \mu \cdot {\rm sin} \alpha }, \; \; \; \frac{F_{1}}{F_{2}} = 1,1. \]

Примечание. В данной задаче были найдены наименьшие силы (а = 0), которые нужно приложить к саням для их передвижения.

[alsak]

137. Шарик массой m прикреплен двумя нитями одинаковой длины к доске (рис. 1). Угол между нитями α. Какими будут силы натяжения каждой нити, если доска, оставаясь горизонтальной, станет двигаться вверх с ускорением a?

Решение. На шарик действуют сила тяжести (m⋅g), две силы натяжения подвеса (T₁ и T₂) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} + \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}, \]

0X: 0 = –T₁⋅sin β + T₂⋅sin β, (1)

0Y: m⋅a = T₁⋅cos β + T₂⋅cos β – m⋅g, (2)

где β = α/2. Из уравнения (1) получаем

T₁⋅sin β = T₂⋅sin β,  T₁ = T₂.

Из уравнения (2)

m⋅a = 2T₁⋅cos β – m⋅g,

\[ T_{1} = T_{2} = \frac{m \cdot \left( a + g \right)}{2 {\rm cos} \beta} = \frac{m \cdot \left( a + g \right)}{2 {\rm cos} \left( \alpha /2 \right)}. \]

[alsak]

140. Автобус массой m = 4 т трогается с места и на пути l = 100 м приобретает скорость υ = 20 м/с. Сила тяги F = 10 кН. Найти силу сопротивления движению, считая ее постоянной.

Решение. На автобус действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила сопротивления (трения) (F_с) и сила тяги (F) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{c} + \vec{N}, \]

0Х: m⋅a = F – F_с,  F_с = F – m⋅a. (1)

Ускорение автобуса a найдем из уравнений кинематики. Перемещение тела при равноускоренном движении равно
 

\[ \Delta r_{x} = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = \frac{\upsilon_{x}^{2} - \upsilon_{0x}^{2}}{2a_{x}}, \]

где υ_0х = 0 (автобус трогается с места), υ_х = υ, a_х = a (см. рис. 1), Δr_y = l. Тогда
 

\[ l = \frac{\upsilon^{2} }{2a}, \; \; a = \frac{\upsilon^{2}}{2l}. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 

\[ F_{c} = F - \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2l}, \]

F_c = 2⋅10³ Н.

[alsak]

141. При быстром торможении автомобиля, имевшего скорость υ = 72 км/ч, его колеса начали скользить по земле, не вращаясь. Коэффициент трения между колесами и землей μ = 0,40. Какой путь пройдет автомобиль с момента начала торможения до полной остановки?

Решение. Найдем ускорение тела. На автомобиль действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила трения скольжения (F_tr) (рис. 1). Из второго закона Ньютона:

0Х: –m⋅a = –F_tr, 0Y: 0 = N – m⋅g,

где F_tr = μ⋅N, N = m⋅g (из проекции на ось 0Y). Тогда

m⋅a = μ⋅m⋅g или a = μ⋅g.

Пройденный путь найдем из уравнения проекции перемещения
 

\[ \Delta r_{x} = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = \frac{\upsilon_{x}^{2} - \upsilon_{0x}^{2}}{2a_{x}}, \]

где υ_х = 0 (до полной остановки), Δr_х = s, υ_0х = υ₀, а_х = –а (см. рис. 1). Тогда
 

\[ s = \frac{-\upsilon_{0}^{2}}{-2a} = \frac{\upsilon_{0}^{2}}{2a} = \frac{\upsilon_{0}^{2}}{2 \mu \cdot g}, \]

s = 50 м.

[alsak]

144. К бруску массой m = 5 кг, который лежит на горизонтальной плоскости, приложена под углом α = 60° к горизонту сила, модуль которой возрастает пропорционально времени по закону F = k⋅t, где k = 3 Н/с. Найти модуль силы трения через t = 4 с после начала действия силы. Коэффициент трения между бруском и плоскостью μ = 0,3.

Решение. На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_tr) и внешняя сила (F). Значение силы трения зависит от того, движется тело или нет. Определить это можно так: найти знак проекции ускорения, если a_x > 0, тело движется; если a_x ≤ 0, тело покоится.
Запишем второй закон Ньютона
 

\[ m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{tr} + \vec{N},
 \]

OX: m⋅a_x = F⋅cos α – F_tr, (1)

OY: N + F⋅sin α – m⋅g = 0, (2)

где F = k⋅t.
Тогда из уравнения (1) получаем

a_x = (k⋅t⋅cos α – F_tr)/m.

Ускорение a_x > 0, если k⋅t⋅cos α > F_tr. Максимальная сила трения F_{tr max} = μ⋅N, где N = m⋅g – F⋅sin α = m⋅g – k⋅t⋅sin α (из уравнения (2)). Получаем

k⋅t⋅cos α = 6 Н,

F_{tr max} = μ⋅(m⋅g – k⋅t⋅sin α), F_{tr max} = 11,8 Н.

Так как k⋅t⋅cos α < F_{tr max}, то тело не движется, a_x = 0. Тогда

F_tr = k⋅t⋅cos α,

F_tr =6 Н.

[alsak]

148. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 15°. По ней вверх пускают с нижней точки плоскую шайбу, которая, поднявшись на некоторую высоту, затем соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения шайбы о плоскость, если время спуска в n = 3 раза больше времени подъема?

Решение. На шайбу действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N) и сила трения (F_tr): 1) когда шайба скользит вверх, сила трения направлена вниз (рис. 1), 2) когда шайба скользит вниз, сила трения — вверх (рис. 2). Скорость шайбы в первом случае уменьшается, поэтому ускорение направлено в противоположную сторону, т.е. вниз. Во втором случае скорость увеличивается, ускорение будет направлено в сторону скорости. Запишем второй закон Ньютона

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{N} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{tr}, \]

0Y: 0 = N – m∙g⋅cos α,

0Х: m⋅a₁ = F_t + m⋅g⋅sin α, m⋅a₂ = –F_t + m⋅g⋅sin α,

где F_t = μ⋅N, N = m⋅g⋅cos α (из проекции уравнения на ось 0Y). Тогда

m⋅a₁ = μ⋅m⋅g⋅cos α + m⋅g⋅sin α = m⋅g⋅(μ⋅cos α + sin α),

a₁ = g⋅(sin α + μ⋅cos α), a₂ = g⋅(sin α – μ⋅cos α).

Шайба, при движении вверх и вниз, совершает одинаковое перемещение, причем при движении вверх υ_x = 0, a_x = –a₁; при движении вниз — υ_0x = 0, a_x = a₂, поэтому
 

\[ \Delta r_{1x} = \upsilon_{x} \cdot t - \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = \frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2}}{2}, \, \, \, \Delta r_{2x} = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2} = \frac{a_{2} \cdot t_{2}^{2}}{2}, \]

где t₂ = n⋅t₁. Тогда
 

\[ \Delta r_{1x} = \Delta r_{2x} = \frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2}}{2} = \frac{a_{2} \cdot t_{2}^{2}}{2}, \; \; \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{t_{2}^{2}}{t_{1}^{2}} = n^{2}.
 \]

Из уравнений (1) и (2) получаем
 

\[ \frac{a_{1}}{a_{2}} = n^{2} = \frac{\sin \alpha + \mu \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha - \mu \cdot \cos \alpha}, \, \, \, n^{2} \cdot \sin \alpha - n^{2} \cdot \mu \cdot \cos \alpha = \sin \alpha + \mu \cdot \cos \alpha, \]
 
\[ \left(n^{2} - 1\right) \cdot \sin \alpha = \mu \cdot \cos \alpha \cdot \left(n^{2} + 1 \right), \; \; \mu = \frac{n^{2} - 1}{n^{2} + 1} \cdot tg \alpha, \]

μ = 0,21.

[alsak]

173. Какую силу тяги должен развивать двигатель на искусственном спутнике Земли для того, чтобы он двигался по орбите радиуса R со скоростью, превышающей в n раз скорость свободного движения по этой орбите? Масса Земли М, масса спутника m, гравитационная постоянная G.

Решение. При движении вокруг Земли со скоростью υ₁ на спутник действует сила притяжения к Земле (F), которое и сообщает спутнику центростремительное ускорение a_c. Запишем проекцию второго закона Ньютона (рис. 1):

0X: m⋅a_1c = F,

где a_1c = υ₁²/R, F = G⋅m⋅M/R². Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon_{1}^{2}}{R} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}}, \; \; \; \upsilon_{1}^{2} = \frac{G \cdot M}{R}.\;\;\; (1) \]

Чтобы двигаться по той же орбите со скоростью υ₂ = n⋅υ₁, то необходима дополнительная сила (сила тяги F_t). Так как спутник должен двигаться с постоянной скоростью (нет тангенциального ускорения), то эта сила должна быть перпендикулярна скорости. Пусть сила F направлена к центру Земли. Запишем проекцию второго закона Ньютона (рис. 2):

0X: m⋅a_2c = F + F_t,

где a_2c = υ₂²/R. Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon_{2}^{2} }{R} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}} + F_{t}.\;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

\[ \upsilon_{2}^{2} = n^{2} \cdot \upsilon_{1}^{2} = n^{2} \cdot \frac{G \cdot M}{R}, \; \; \; \frac{m}{R} \cdot n^{2} \cdot \frac{G \cdot M}{R} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}} + F_{t}. \]

\[ F_{t} = \frac{m}{R} \cdot n^{2} \cdot \frac{G \cdot M}{R} - G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}} \cdot \left(n^{2} - 1 \right). \]

[alsak]

159. Летчик давит на сиденье кресла самолета в нижней точке петли Нестерова с силой F = 7200 Н. Масса летчика m = 80 кг, радиус петли R = 250 м. Определить скорость самолета.

Решение. Петля Нестерова (мертвая петля) представляет собой замкнутую петлю в вертикальной плоскости (Wikipedia) (рис. 1).
По условию F — это сила, с которой летчик давит на сиденье. По третьему закону Ньютона, с такой же по величине силой, но противоположной по направлению, сиденье будет действовать на летчика — это сила реакции опоры (N), т.е. F = N.
На летчика действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{N} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m⋅a_c = N – m⋅g,

где a_c = υ²/R. Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon^{2}}{R} = F - m \cdot g, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\left(\frac{F}{m} - g \right) \cdot R}, \]

υ = 141 м/с.

[dx/dt]

№143. С какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы санки массой m=30 кг равномерно двигались по горизонтальному асфальту, если коэффициент трения скольжения полозьев по асфальту μ=0,60?

Решение. Запишем основное уравнение динамики для равномерного движения санок по горизонтальному участку пути:
\[ \vec{F}+\vec{N}+m\vec{g}+{{\vec{F}}_{tr}}=0. \]
В проекциях на координатные оси:
\[ Ox:F\cos \alpha -{{F}_{tr}}=0, \;\;\; (1)\;\;Oy:N+F\sin \alpha -mg=0, \;\;\; (2) \]
где α – угол между вектором силы F и осью Ох.
Выразим из уравнений (1) и (2) силу F. Для этого силу нормальной реакции опоры N выразим из уравнения (2) и подставим N в формулу силы трения
\[ {{F}_{tr}}=\mu N \]
уравнения (1).  После несложных преобразований получим:
\[ F=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }. \;\;\; (3) \]
Теперь рассматривая силу F как функцию угла α, найдем минимальное значение этой силы. Для этого возьмем производную F'(α) и приравняем ее нулю:
\[ {F}'(\alpha )=\frac{-\mu mg}{{{(\cos \alpha +\mu \sin \alpha )}^{2}}}\cdot (-\sin \alpha +\mu \cos \alpha )=0,\;\;\Rightarrow (-\sin \alpha +\mu \cos \alpha )=0\Rightarrow \mu =tg\alpha . \]
Итак, сила F будет минимальной, если угол α удовлетворяет условию:
\[  \mu =tg\alpha . \;\;\; (4) \]
Минимальное значение силы F найдем, воспользовавшись формулой (3) и выражением (4):
\[ {{F}_{\min }}=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +\mu \sin \alpha }=\frac{\mu mg}{\cos \alpha +tg\alpha \sin \alpha }=\frac{\mu mg\cos \alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha }=\mu mg\cos \alpha . \]
Учитывая, что
\[ \cos (arctg \mu)=\frac{1}{\sqrt{1+{\mu ^2}}}, \]
получаем окончательный ответ:
\[ {{F}_{\min }}=\frac{\mu mg}{\sqrt{1+{{\mu }^{2}}}}\approx 151 \;H. \]
Ответ: F_min=151 Н.

[Kivir]

161.Материальная точка массой m = 1,0 кг равномерно движется по окружности со скоростью υ = 10 м/с. Определить модуль изменения импульса этой точки за одну четверть периода вращения.
данная задача уже разобрана на форуме.
http://www.web-physics.ru/smf/index.php/topic,2363.msg3583.html#msg3583