130. К грузу массой
m1 = 20 кг, находящемуся на наклонной плоскости, привязан шнур, который перекинут через блок, закрепленный в вершине плоскости, к другому концу шнура подвешен груз массой
m2 = 4 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если угол наклона плоскости α = 30°? Коэффициент трения μ = 0,2. Массой шнура и блока пренебречь.
Решение. На тело
1 действуют сила тяжести (
m1∙
g), сила реакции опоры (
N1), сила трения (
Ft) и сила натяжения нити (
Т1). На тело
2 действуют сила тяжести (
m2∙
g) и сила натяжения нити (
Т2).
НО, в задаче НЕИЗВЕСТНО, в какую сторону будут двигаться тела.
1 способ. Предположить одно из возможных направлений движения тела, определить знаки проекций всех величин и решить задачу для выбранного случая. Если получим противоречивый ответ (например, ускорение будет отрицательным), то значит наше предположение не правильное, и нужно выбирать другое направление движения и решать задачу заново.
Обратите внимание, что изменение направления движения тела, меняет направление сил трения, и мы получим другой числовой ответ.
2 способ. Проанализировать возможное направление движения тел без действия силы трения. После этого мы уже будем точно знать, куда направлена сила трения.
Примечание. 1 способ позволяет сэкономить время только в том случае, если вы правильно угадаете направление движения. Поэтому считаю, что лучше использовать 2 способ.
Один из вариантов анализа возможного направления движения тел без действия силы трения.Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого тела (рис. 1):
\[ m_{1} \cdot \vec{a}_{1} = \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} +
m_{1} \cdot \vec{g}, \, \, \,
m_{2} \cdot \vec{a}_{2} = m_{2} \cdot \vec{g}+\vec{T}_{2}, \]
0X: m1⋅a1x = Т1 – m1⋅g⋅sin α,
0Y: m2⋅a2y = m2⋅g – Т2
(обратите внимание, что для тела
1 нет необходимости находить проекцию уравнения на ось 0
Y, и мы не знаем направление ускорений), где
T1 =
T2 =
T,
a1x =
a2y. Тогда
(m2 + m1)⋅a1x = m2⋅g – m1⋅g⋅sin α или
m2⋅g – m1⋅g⋅sin α = 4⋅10 – 20⋅10⋅sin 30° = –60 < 0, т.е. a1x < 0.
Вывод. Без трения тело
1 двигалось бы вниз, тело
2 — вверх. Следовательно, с учетом силы трения, силы будут направлены так, как указано на рисунке 2.
Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого тела (см. рис. 2):
\[ m_{1} \cdot \vec{a}_{1} = \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} +
m_{1} \cdot \vec{g} + \vec{F}_{t}, \, \, \,
m_{2} \cdot \vec{a}_{2} = m_{2} \cdot \vec{g} + \vec{T}_{2}, \]
0Х: –m1⋅a1 = Т1 + Ft – m1⋅g⋅sin α,
0Y: 0 = N1 – m1∙g⋅cos α, –m2∙a2 = m2∙g – Т2,
где
T1 =
T2 =
T,
a1 =
a2 =
a. Значение силы трения
Ft зависит от того, движутся тела или покоятся:
• если движутся, то
Ft = μ⋅
N1,
• если покоятся, то
Ft < μ⋅
N1,
где
N1 =
m1⋅
g⋅cos α (из проекции уравнения на ось 0
Y). Предположим, что тела движутся (если наше предположение не правильное, то мы получим отрицательное ускорение). Тогда
–(m2 + m1)⋅a = m2⋅g + μ⋅m1⋅g⋅cos α – m1⋅g⋅sin α,
\[ a = \frac{m_{1} \cdot \left(\sin \alpha - \mu \cdot \cos \alpha \right) -
m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot g,
\]
a = 1 м/с
2. Так как
a > 0, то наше предположение оказалось верным, т.е. тела движутся.
Похожая задача разобрана в решенных задачах этого сборника №100 (С. 58-59).
