Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

122. Найти ускорение тел и силы натяжения нитей в устройстве, изображенном на рис. 1. Массы тел: m₁ = 100 г, m₂ = 300 г. Массой нитей, блоков и силой трения пренебречь.

Решение. Изобразим силы, действующие на систему тел. Предположим, что вниз будет двигаться второе тело (рис. 2) (если наше предположение окажется не правильным, то мы получим отрицательное ускорение).
Так как по условию массой всех нитей можно пренебречь, то силы натяжения в каждой точке одной нити будут численно равны между собой:

T₁ = T₃ = T₄ = T₆ = T₇,
T₈ = T₂. (1)

Так как блок 1 — неподвижный, а блок 2 — подвижный, то

a₁ = 2a₂. (2)

(Это не сложно доказать. Например, если блок 2 пройдет вниз расстояние s₂, то нить слева и справа от него должна удлиниться на s₂. Вся нить удлинится на 2s₂, и тело 1 за то же время пройдет расстояние s₁ = 2s₂. Учтем, что s = a⋅t²/2 …)

Запишем проекции второго закона Ньютона на ось Y для тела 1, для блока 2 и тела 2:

m₁⋅a₁ = T₁ – m₁⋅g, (3)
0 = T₆ + T₇ – T₈, (4)
–m₂⋅a₂ = T₂ – m₂⋅g. (5)

Решим систему уравнений. Например, с учетом (1) из уравнения (4) получаем

T₂ = T₈ = 2T₆ = 2T₁. (6)

Из уравнения (3), с учетом (2) получаем

T₁ = m₁⋅a₁ + m₁⋅g = 2m₁⋅a₂ + m₁⋅g.

Подставим полученное выражение в уравнение (5) и учтем (6)

–m₂⋅a₂ = 2T₁ – m₂⋅g = 4m₁⋅a₂ + 2m₁⋅g – m₂⋅g,

\[ a_{2} = \frac{m_{2} - 2m_{1}}{4m_{1} + m_{2}} \cdot g, \, \, \,
a_{1} = \frac{m_{2} - 2m_{1}}{4m_{1} + m_{2}} \cdot 2g, \]

a₂ = 1,43 м/с², a₁ = 2,86 м/с².

Силу натяжения T₁ можно выразить из уравнения (3)
 

\[ T_{1} = m_{1} \cdot \left(a_{1} + g\right) =
m_{1} \cdot g \cdot \left(\frac{m_{2} - 2m_{1}}{4m_{1} + m_{2} }
\cdot 2 + 1\right) = m_{1} \cdot g \cdot \frac{3m_{2}}{4m_{1} + m_{2}}, \]

T₁ = 1,29 Н, T₂ = 2T₁ = 2,57 Н.

[alsak]

128. Трактор, двигаясь в гору с углом наклона α, тянет сани массой m. На пути s скорость саней увеличивается от υ₀ до υ. Считая коэффициент трения саней о дорогу равным μ, найти силу тяги.

Решение. Выясним, что такое «сила тяги».
1 версия (физическая). В статье Черноуцан А.И. Кое-что о силе тяги //Квант. — 1992. — № 5. — С. 42-44. читаем: «это сила трения покоя, действующая на ведущие колеса со стороны дороги… удобно все силы, действующие на транспортное средство со стороны окружающих тел, разделить на две части: одну часть назвать силой тяги F_T, а другую — силой сопротивления F_C».
2 версия (техническая). На сайте «Словари и энциклопедии на Академике» в статье «Сила тяги локомотива»  написано: «различают две силы тяги локомотива — касательную и на сцепном устройстве». Аналогичные суждения для трактора можно прочитать в статье «Тяговый расчет трактора».

На сани действуют сила тяжести (m₁∙g), сила реакции опоры (N₁), сила натяжения крепления (Т₁) и сила трения (F_t1). На трактор действуют сила тяжести (m₂∙g), сила реакции опоры (N₂), сила натяжения крепления (Т₂), сила трения (F_t2) и сила тяги (F) (рис. 1).
Если придерживаться версии 1, то надо найти силу F. Но для этого не хватает данных: массы трактора m₂, коэффициента трения μ₂. Следовательно, автор задачи придерживается технической версии, т.е. требуется найти силу T₁. Для этого нам достаточно сил, изображенных на рис. 2.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для саней:
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{N} + \vec{T} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{t}, \]

0Х: m⋅a = Т – F_t – m⋅g⋅sin α,

0Y: 0 = N – m∙g⋅cos α,

где F_t = μ⋅N, где N = m⋅g⋅cos α (из проекции уравнения на ось 0Y). Ускорение a найдем из уравнений кинематики
 

\[ \Delta r_{x} = \frac{\upsilon_{x}^{2} - \upsilon_{0x}^{2}}{2a_{x}}, \, \, \,
s = \frac{\upsilon^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2a}, \, \, \,
a = \frac{\upsilon^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2s}. \]

Тогда

Т = m⋅a + F_t + m⋅g⋅sin α,

\[ T = m \cdot \left(a + g \cdot \sin \alpha \right) + F_{t} =
m \cdot \left(\frac{\upsilon^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2s} +
g \cdot \sin \alpha \right) + \mu \cdot m \cdot g\cdot \cos \alpha = \]

\[ = m \cdot \left(\frac{\upsilon^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2s} +
g \cdot \left(\sin \alpha + \mu \cdot \cos \alpha \right) \right). \]

[iliya]

задача 124 не получился ответ

[iliya]

№120 нужно ли учитывать движение тела после времени t

[Vlad]

В 119 задаче:
\[ OX:F \cdot \cos\alpha_1- F_t=m \cdot a_1\;\;\; (1) \]
\[ OY:N+F \cdot \sin\alpha_1-m \cdot g=m \cdot a_1=0\;\;\; (2) \]

\[ OX:F \cdot \cos\alpha_2- F_t=m \cdot a_2\;\;\; (3) \]
\[ OY:N+F \cdot \sin\alpha_2-m \cdot g=m \cdot a_2=0\;\;\; (4) \]

(1)-(5)\[ F \cdot \cos\alpha_1-F_t=ma_1=0 \]
(5)-(6)\[ F_t=F \cdot \cos\alpha_1 \]
(6)в(3)\[ F \cdot \cos\alpha_2-F \cdot \cos \alpha_1=m \cdot a_2 \]
(6)\[ a_2= \frac {F(cos \alpha_2- \cos \alpha_1)}{m} \]
\[ a_2=4.4 \]

[alsak]

В 119задаче:
\[ OX:F \cdot cos\alpha_1- F_t=m \cdot a_1 \]
\[ OY:N+F \cdot sin\alpha_1-m \cdot g=m \cdot a_1=0 \]

И где вопрос? В проекциях на ось 0Y ускорение будет равно нулю.

[alsak]

№120 нужно ли учитывать движение тела после времени t

Да.

[Vlad]

Ай не торопите Александр Леонидович, я просто пока осваиваю LaTeX, у меня в задаче с ответом не сходится, откуда там дробь в числителе?

[Vlad]

Фуу, написал ,до чего это мучительно
в о ответах вот так вот:
\[ a= \frac {F}{m} \cdot (cos \alpha_2- \frac{mg-Fsin \alpha_2}{mg-Fsin \alpha_1} \cdot cos \alpha_1)=0.82 \]
откуда \[ \frac{mg-Fsin \alpha_2}{mg-Fsin \alpha_1} \]

[Vlad]

120 задача:
(1)\[ OX:F-F_t=ma \]
(2)\[ OY:N-mg=0 \]
(1)-(3)\[ a= \frac{F-F_t}{m} \]
(2)-(4)\[ F_t= \mu \cdot m \cdot g \]
(4)в(2)\[ a= \frac{F- \mu \cdot mg}{m} \]
(5)\[ s= \frac{at^2}{2} \]
(4)в(5)\[ s= \frac{t^2(F- \mu \cdot mg)}{2m} \]

в ответах:\[ s= \frac{F(F- \mu \cdot mg)t^2}{2 \mu \cdot m^2g \]
откуда:\[ \frac {F}{ \mu mg \]?