Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

О 119 задаче.
В твоем решении ошибка: у тебя силы трения равные в двух случаях, а это не так. Силы N в двух случаях различные (см. уравнение 2 и 4), и поэтому силы трения тоже не равны.
Замечания по оформлению:
1. в Tex перед cos и sin надо ставить знак "\";
2. если a₁ = 0, то не надо писать ... = m⋅a₁ = 0.

[alsak]

О 120 задаче.
Ты нашел путь за время t, но тело еще будет двигаться с отрицательным ускорением (под действием только силы трения).

[alsak]

124. Тело массой m₁ = 3,0 кг скользит по горизонтальной плоскости под действием груза массой m₂ = 1,0 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой нити. Нить привязана к телу массой m₁ и перекинута через неподвижный блок. Определить ускорение системы и силу натяжения нити. Трением, массой блока и нити пренебречь.

Решение. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁∙g), сила реакции опоры (N₁) и сила натяжения нити (Т₁). На тело 2 действуют сила тяжести (m₂∙g) и сила натяжения нити (Т₂). Из второго закона Ньютона:

0Х: m₁⋅a₁ = Т₁ (1), 0Y: m₂⋅a₂ = m₂⋅g – Т₂ (2).

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем , а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны. Решим систему двух уравнений (1) и (2). Например,

m₁⋅a + m₂⋅a = Т₁ + m₂∙g – Т₂, а⋅(m₂ + m₁) = m₂⋅g,

\[ a = \frac{m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}}, \, \, \,
T = m_{1} \cdot \frac{m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}}, \]

a = 2,5 м/с², T = 7,5 Н.

[alsak]

119. Тело массой m = 20 кг тянут с силой F = 120 H по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом α₁ = 60° к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом α₂ = 30° к горизонту? Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение. На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_t) и внешняя сила (F). Так как груз движется, то сила трения – это сила трения скольжения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси для двух случаев.
1 случай — угол α₁ = 60° (a₁ = 0, т.к. движение равномерное) (рис. 1):

OX: F⋅cos α₁ – F_t1 = 0, (1)    OY: N₁ + F⋅sin α₁ – m⋅g = 0. (2)

2 случай — угол α₂ = 30°:

OX: F⋅cos α₂ – F_t2 = m⋅a₂, (3)      OY: N₂ + F⋅sin α₂ – m⋅g = 0. (4)

Силы трения

F_t1 = μ⋅N₁, F_t2 = μ⋅N₂, (5)

где N₁ = m∙g – F⋅sin α₁ (из уравнения (2), N₂ = m∙g – F⋅sin α₂ (из уравнения (4).
Решим систему уравнений (1)-(5). Например, из уравнений (1) и (5) найдем μ:
 

\[ F \cdot \cos \alpha_{1} - \mu \cdot \left(m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{1} \right) =0, \, \, \, \mu = \frac{F \cdot \cos \alpha_{1}}{m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{1}}.
 \]

Тогда с учетом (3) и (5)

\[ a_{2} = \frac{1}{m} \cdot \left(F \cdot \cos \alpha_{2} - \mu \cdot N_{2} \right) = \frac{1}{m} \cdot \left(F \cdot \cos \alpha_{2} - \frac{F \cdot \cos \alpha_{1}}{m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{1}} \cdot \left(m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{2} \right) \right) =
 \]

\[ = \frac{F}{m} \cdot \left(\cos \alpha_{2} - \cos \alpha_{1} \cdot \frac{m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{2}}{m \cdot g - F \cdot \sin \alpha_{1}} \right), \]

a₂ = 0,82 м/с².

[alsak]

131. Через невесомый блок, который может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси, перекинули невесомую и нерастяжимую нить, к концам которой подвесили два груза (рис. 1). При каком отношении масс этих грузов сила, действующая на ось блока, будет равна силе тяжести, действующей на груз большей массы?

Решение. Пусть m₁ > m₂. Тогда ускорение первого груза будет направлено вниз, ускорение второго — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁∙g) и сила натяжения шнура (Т₁), на тело 2 — сила тяжести (m₂∙g) и сила натяжения шнура (Т₂), на блок — силы натяжения (T₃ и T₄) и сила (N), действующая на ось блока (сила тяжести блока равна нулю, т.к. блок невесомый) (рис. 2).
Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

–m₁⋅a₁ = –m₁⋅g + Т₁, (1)
m₂⋅a₂ = Т₂ – m₂⋅g, (2)
0 = N – T₃ – T₄, (3)

где Т₁ = Т₂ = Т₃ = Т₄ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны. По условию

N = m₁⋅g. (4)

Решим систему уравнений (1)-(4). Например, из уравнений (3) и (4)

N = 2T = m₁⋅g. (5)

Из уравнений (1) и (2)
 

\[ \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{m_{1} \cdot g - T}{T - m_{2} \cdot g}, \, \, \, m_{1} \cdot m_{2} \cdot g - m_{2} \cdot T = m_{1} \cdot T - m_{1} \cdot m_{2} \cdot g, \, \, \, T = \frac{2m_{1} \cdot m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}}. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (5)
 

\[ \frac{4m_{1} \cdot m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}} = m_{1} \cdot g, \, \, \, 4m_{2} = m_{1} + m_{2}, \, \, \, m_{1} = 3m_{2}, \, \, \, \frac{m_{1}}{m_{2}} =3. \]

     

[alsak]

129. Определить массу груза, который нужно сбросить с аэростата массой M = 1100 кг, движущегося равномерно вниз, чтобы аэростат стал двигаться с такой же по модулю скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэростат, F_A = 1⋅10⁴ Н. Силу сопротивления воздуха при подъеме и спуске считать одинаковой. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение. Обозначим массу груза m. Будем считать, что масса M = 1100 кг — это масса аэростата вместе с грузом.
В первом случае, при равномерном движении вниз, на аэростат с грузом действуют сила тяжести (M⋅g), Архимедова сила (F_A) и сила сопротивления воздуха (F_c) (рис. 1). Во втором случае, при равномерном движении вверх, на аэростат без груза m действуют сила тяжести ((M – m)⋅g), Архимедова сила (F_A) и сила сопротивления воздуха (F_c) (эта сила поменяла направление) (рис. 2). Значение двух последних сил не изменилось.
Запишем для каждого случая проекции второго закона Ньютона на ось 0Y (a = 0, т.к. движение равномерное в двух случаях):

0 = F_с – M⋅g + F_A,
0 = F_A – (M – m)⋅g – F_c.

Решим систему двух уравнений. Например,

F_с – M⋅g + F_A + F_A – (M – m)⋅g – F_c = 0,
–2M⋅g + 2F_A + m⋅g = 0,

\[ m = 2 \cdot \left(M - \frac{F_{A}}{g} \right), \]

m = 200 кг.

[alsak]

120. На тело массой m в течение времени t действует постоянная сила F, направленная горизонтально. Коэффициент трения тела о горизонтальную поверхность, на которой оно лежит, равен μ. Какой путь пройдет тело до остановки? Начальная скорость тела равна нулю.

Решение. Тело будет двигаться, если F > F_t, где F_t — сила трения скольжения. Предположим, что это условие выполняется.
По условию тело вначале (1 случай) двигалось под действием постоянной силы F (скорость увеличивалась), затем (2 случай) — без силы F (скорость уменьшалась). Рассмотрим каждый случай подробнее.
1 случай. На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_t) и внешняя сила (F) (рис. 1). Из проекций второго закона Ньютона получаем:

0Х: m⋅a₁ = F – F_t, (1)      0Y: 0 = N – m∙g, (2)

где F_t = μ⋅N, N = m∙g — из уравнения (2). Тогда уравнение (1) примет вид

m⋅a₁ = F – μ⋅m⋅g или
 
\[ a_1 = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{m}. \]

Пройденный путь для этого случай будет равен (υ₀ = 0 — по условию)
 

\[ \Delta r_{1x} = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{1x} \cdot t^{2}}{2} , \, \, \, s_{1} = \frac{a_{1} \cdot t^{2}}{2} = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{2m} \cdot t^{2}.\;\;\; (3) \]

Скорость в конце этого движения будет равна
 

\[ \upsilon_{1x} = a_{1x} \cdot t, \, \, \, \upsilon_{1} = a_{1} \cdot t = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{m} \cdot t.\;\;\; (4) \]

2 случай. На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила трения скольжения (F_t). Под действием силы трения скорость тела будет уменьшаться, поэтому ускорение тела будет направлено против движения (рис. 2). Из проекций второго закона Ньютона получаем:

0Х: –m⋅a₂ = – F_t, (5)    0Y: 0 = N – m∙g, (6)

где F_t = μ⋅N, N = m∙g — из уравнения (6). Тогда уравнение (5) примет вид

m⋅a₂ = μ⋅m⋅g или a₂ = μ⋅g.

Конечная скорость υ₂ = 0, т.к. тело двигалось до остановки, υ₀₂ = υ₁ (см. уравнение 4), т.к. начальная скорость во втором случае равна конечной скорости в первом. Тогда пройденный путь равен
 

\[ \Delta r_{2x} = \frac{\upsilon_{2x}^{2} - \upsilon_{02x}^{2}}{2a_{2x}}, \, \, \, s_{2} = \frac{-\upsilon_{1}^{2}}{-2a_{2}} = \left(\frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{m} \cdot t \right)^{2} \cdot \frac{1}{2 \mu \cdot g}.\;\;\; (7) \]

С учетом уравнений (3) и (7) общий путь будет равен
 

\[ s = s_{1} +s_{2} = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{2m} \cdot t^{2} + \left(\frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{m} \cdot t \right)^{2} \cdot \frac{1}{2 \mu \cdot g} = \]

\[ = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{2m} \cdot t^{2} \cdot \left(1 + \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{m} \cdot \frac{1}{\mu \cdot g} \right) = \]

\[ = \frac{F - \mu \cdot m \cdot g}{2m} \cdot t^{2} \cdot \frac{F}{\mu \cdot m \cdot g} = \frac{\left(F - \mu \cdot m \cdot g \right) \cdot t^{2}}{2 \mu \cdot m^{2} \cdot g} \cdot F. \]

Ответ. Если F > μ⋅m⋅g, то
 

\[ s = \frac{\left(F - \mu \cdot m \cdot g \right) \cdot t^{2}}{2 \mu \cdot m^{2} \cdot g} \cdot F, \]

Если F ≤ μ⋅m⋅g, то s = 0.

[Vlad]

135. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы m₁ = 0.5 кг и m₂ = 0.6 кг. Найти силу, с которой блок давит на ось при движении грузов. Массой блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. Так как m₂ > m₁, то ускорение первого груза будет направлено вверх, ускорение второго — вниз. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁∙g) и сила натяжения шнура (Т₁), на тело 2 — сила тяжести (m₂∙g) и сила натяжения шнура (Т₂), на блок — силы натяжения (T₃ и T₄) и сила (N), действующая на ось блока (сила тяжести блока равна нулю, т.к. блок невесомый).
Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y (рис. 1):

T – m₁·g = m₁·a, (1)

T – m₂·g = –m₂·a, (2)

N – T₃ – T₄ =0. (3)

где Т₁  = Т₂  = Т₃  = Т₄  = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁  = а₂  = а, т.к. тела связаны.
Из уравнения (3) получаем

N = 2T (4)

Силу натяжения T найдём, решив систему уравнений (1) и (2). Например, из (1):

\[ a = \frac {T - m_1 \cdot g}{m_1}. \]  (5)

Подставим (5) в (2), получаем:

\[ T - m_2 \cdot g = - m_2 \cdot \frac {T - m_1 \cdot g}{m_1}, \, \, \, T + m_2 \cdot \frac {T - m_1 \cdot g}{m_1} = m_2 \cdot g, \]

\[ \frac {T \cdot m_1 + m_2 \cdot T - m_2 \cdot m_1 \cdot g}{m_1} = m_2 \cdot g , \, \, \, T \cdot m_1 + m_2 \cdot T - m_2 \cdot m_1 \cdot g = m_2 \cdot m_1 \cdot g, \]

\[ T \cdot (m_1 + m_2) = 2 m_1 \cdot m_2 \cdot g, \, \, \, T = \frac {2 m_1 \cdot m_2 \cdot g}{m_1 + m_2}. \]  (6)

Подставим  (6) в (4), получим:

\[ N = \frac {4 m_1 \cdot m_2 \cdot g}{m_1 + m_2}, \]

N = 11 H.

[Vlad]

вопрос по задаче 127
\[ s = \frac {at^2}{2} \], (1)
OY:F-mg=ma
ракета взлетает:
\[ a = \frac {F - mg}{2m} \](2)
(2) в (1):
\[ s = \frac { \tau^2 \cdot (F - mg)}{2m} \](3)
ракета возвращается на землю:
\[ t = \sqrt{\frac {2s}{g}} \](4)
(3) в (4):
\[ t = \sqrt { \frac {
\not{2}\tau^2(F - mg)}{ \not{2}mg}= \]
\[ = \tau \sqrt{ \frac {F - mg}{mg}} \]
что у меня не правильно?

[alsak]

вопрос по задаче 127
...
что у меня не правильно?

После выключения двигателя ракета имела скорость, направленную вверх. Поэтому она не начнет сразу падать вниз.