Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[Vlad]

решил, как вы сказали.
s₁ - путь ракеты с включённым двигателем
\[ s_1 = \frac {a \cdot \tau^2}{2} \]

\[ s_1 = \frac {\tau^2 \cdot (F - mg)}{2m} \]
\[ \vartheta = g \tau \]

s₂ - путь ракеты с выключенным двигателем(вверх)

\[ s_2 = \frac {gt^2}{2} \]

\[ t_1 = \frac {\vartheta_0}{g} \]
\[ \vartheta_0 = \vartheta \]
\[ t_1 = \frac {g \tau}{g} = \tau \]
\[ s_2 = \frac {g \tau^2}{2} \]

s - весь путь ракеты(вверх)
\[ s = s_1 + s_2 = \frac {\tau^2(F - mg)}{2m} + \frac {g \tau^2}{2} = \frac {\tau^2(F - \not{mg}+\not{mg})}{2m} \]
\[ s = \frac {F \tau^2}{2m} \]
t₂ - время спуска ракеты

\[ t_2 = \sqrt{\frac{2s}{g}} \]

\[ t_2 = \sqrt{\frac{\not{2} F \tau^2}{\not{2}mg}} = \tau \sqrt{\frac{F}{mg}} \]
что опять не так?

[alsak]

Ошибок несколько:

\[ \vartheta = g \tau \]

Ракета в этот промежуток времени двигалась не с ускорением g, а с a, поэтому
\[ \vartheta = a \tau \].

\[ \vartheta = g \tau \]

s₂ - путь ракеты с выключенным двигателем(вверх)

\[ s_2 = \frac {gt^2}{2} \]

В момент выключения двигателя скорость ракеты не равна нулю, и проекция ускорения g отрицательная, поэтому надо:
\[ s_2 = \vartheta \cdot t_1 - \frac {g \cdot t_1^2}{2}, \]

где время t₁ найдем из уравнения скорости
υ_2y = 0 = υ – g⋅t₁.

[XaC]

145 задача      не знаю какие формулы нужны

147 зададча    как узнать угол, если знаешь значение косинуса этого угла(он не табличный)

[Евгений Николаевич]

XaC, чтобы узнать угол, если знаеш значение косинуса этого угла нужно иметь инженерный калькулятор с функцией cos^-1

[alsak]

XaC, чтобы узнать угол, если знаешь значение косинуса этого угла нужно иметь инженерный калькулятор с функцией cos^-1

И не забудь калькулятор переключить в градусы (deg).

[alsak]

145. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы F₁ = 40 Н и F₂ = 100 Н. Определить силу натяжения стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1:2.

Решение. Разобьем стержень на две части длинами l₁ и l₂, соединенных невесомой нитью. По условию l₁/l₂ = 1/2. Так как стержень однородный, то m₁/m₂ = l₁/l₂ = 1/2, где m₁ — масса части стержня длиной l₁, m₂ — масса части длиной l₂. Теперь задача сводится к нахождению силы натяжения нити T между частями стержня.

На часть 1 стержня действуют сила тяжести (m₁⋅g), сила реакции опоры (N₁), сила натяжения нити (Т₁) и сила тяги (F₁). На часть 2 действуют сила тяжести (m₂⋅g), сила реакции опоры (N₂), сила натяжения нити (Т₂) и сила тяги (F₂). Так как нет трения (по умолчанию), и F₂ > F₁, то ускорение стержня направлено в сторону силы F₂. Ось 0X направим так, как показано на рисунке. Из проекции второго закона Ньютона получаем

0Х: m₁⋅a = T – F₁, m₂⋅a = –T + F₂,

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны. Решим систему двух уравнений:
 

\[ \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{1}{2} = \frac{T - F_{1}}{F_{2} - T}, \, \, \, 2T - 2F_{1} = F_{2} - T, \, \, \, T = \frac{F_{2} + 2F_{1}}{3}, \]

T = 60 Н.

Примечание. Ответ в книге T = (F₁ +2F₂)/3, T = 80 Н. Это возможно, если сила F₁ будет приложена не к меньшей массе, а к большей, т.е. m₁/m₂ = 2. Как правильно, решайте сами.

[XaC]

0Х: m₁⋅a = T – F₁, m₂⋅a = –T + F₂,

откуда ускорение?

[alsak]

Силы F₁ и F₂ разные по величине, силы трения нет, следовательно, равнодействующая этих сил на систему не равна нулю. Поэтому система будет двигаться с ускорением a.

[alsak]

127. Вертикально стартующая ракета развивает силу тяги F в течение времени τ, затем двигатель выключается. Определить, через какое время после старта ракета вернется на Землю. Масса ракеты m, ее изменение не учитывать. Сопротивлением воздуха и изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь.

Решение. Движение ракеты можно разбить на три участка: 1) движение вверх под действием силы тяги F; 2) движение вверх под действием силы тяжести (по инерции); 3) движение вниз под действием силы тяжести. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Первый участок OB (рис. 1): движение вверх под действием силы тяги F. На ракету действуют сила тяжести (m∙g) и сила тяги (F) (рис. 2). Из второго закона Ньютона найдем ускорение ракеты.

0Y: m⋅a = F – m⋅g или a = F/m – g.

Найдем высоту h_В, которую ракета достигнет в момент выключения двигателя, и скорость υ_В. За нулевую высоту примем поверхность Земли. Уравнение движения и уравнение скорости на этом участке будут иметь вид

y = y₀ + a⋅t²/2, υ_y = a⋅t.

В момент времени t = t₁ = τ ракета достигнет точки B, где

h_В = a⋅τ²/2, υ_B = a⋅τ. (1)

Второй участок ВА: движение вверх под действием силы тяжести. Найдем сколько времени ракета будет двигаться вверх и какой высоты достигнет. Уравнение движения и уравнение скорости на этом участке будут иметь вид

y = y_В + υ_В⋅t – g⋅t²/2, υ_y = υ_B – g⋅t.

В момент времени t = t₂ ракета достигнет точки А (максимальная высота, на которой скорость υ_А = 0). Тогда, с учетом уравнений (1), получаем

0 = υ_B – g⋅t₂, t₂ = υ_B/g = a⋅τ/g. (2)
h_A = h_В + υ_В⋅t₂ – g⋅t₂²/2 = a⋅τ²/2 + a⋅τ⋅t₂ – g⋅t₂²/2,

\[ h_{A} = \frac{a \cdot \tau^{2}}{2} + a \cdot \tau \cdot \frac{a \cdot \tau}{g} - \frac{g}{2} \cdot \left(\frac{a \cdot \tau}{g} \right)^{2} = \frac{a \cdot \tau^{2}}{2} + \frac{a^{2} \cdot \tau^{2}}{2g} = \frac{\left(g + a \right) \cdot a \cdot \tau^{2}}{2g}. \]  (3)

Третий участок АО: движение вниз под действием силы тяжести. Найдем сколько времени ракета будет двигаться вниз. Уравнение движения

y = y_A – g⋅t²/2.

В момент времени t = t₃ ракета достигнет поверхности Земли (y = 0). Тогда, с учетом уравнения (3), получаем

0 = h_A – g⋅t₃²/2,

\[ t_{3} = \sqrt{\frac{2h_{A}}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{\left(g + a \right) \cdot a \cdot \tau^{2}}{2g}} = \frac{\tau}{g} \cdot \sqrt{\left(g + a \right) \cdot a}. \]  (4)

Общее время движения (уравнения (2) и (4))
 

\[ t = \tau + t_{2} + t_{3} = \tau + \frac{a \cdot \tau}{g} + \frac{\tau}{g} \cdot \sqrt{\left(g + a \right) \cdot a} = \frac{\tau}{g} \cdot \left(g + a + \sqrt{\left(g + a \right) \cdot a} \right) = \]

\[ = \frac{\tau}{g} \cdot \left(g + \frac{F}{m} - g + \sqrt{\left(g + \frac{F}{m} - g \right) \cdot \left(\frac{F}{m} - g \right)} \right) = \frac{\tau}{g} \cdot \left(\frac{F}{m} + \sqrt{\frac{F}{m} \cdot \left(\frac{F}{m} - g\right)} \right) = \]

\[ = \frac{F \cdot \tau}{m \cdot g} \cdot \left(1 + \sqrt{1 - \frac{m \cdot g}{F}} \right) = \frac{F \cdot \tau}{m \cdot g} \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{F - m \cdot g}{F}} \right). \]

Примечание. Мой ответ не совпадает с ответом книги  \[ \left(\frac{F \cdot \tau}{m \cdot g} \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{F}{F - m \cdot g}} \right) \right). \]
У себя ошибки не нахожу (возможно плохо смотрю).

[alsak]

142. Автомобиль начал двигаться с ускорением a₀ = 3,0 м/с². При скорости υ₁ = 60 км/ч ускорение a₁ = 1,0 м/с². С какой скоростью будет двигаться автомобиль при равномерном движении, если сила тяги двигателя постоянна, а общая сила сопротивления движению пропорциональна скорости?

Решение. На автомобиль действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила тяги (F) и сила сопротивления (F_c) (рис. ). По условию общая сила сопротивления движению пропорциональна скорости, т.е. F_c = β⋅υ, где β — коэффициент пропорциональности. Запишем проекцию второго закона Ньютона

0X: m⋅a = F – F_c = F – β⋅υ. (1)

Запишем уравнение (1) для трех случаев.
1 случай. Автомобиль только начинает двигаться. В этот момент его скорость равна нулю, поэтому F_c = 0. Тогда

m⋅a₀ = F. (2)

2 случай. Автомобиль движется со скоростью υ₁. Тогда

m⋅a₁ = F – β⋅υ₁. (3)

3 случай. Автомобиль движется равномерно со скоростью υ₂, т.е. a = 0. Тогда

0 = F – β⋅υ₂. (4)

Решим систему уравнений (2)-(4). Например, выразим коэффициент β из (3) и подставим в (4). Затем воспользуемся уравнением (2)
 

\[ \beta = \frac{F - m \cdot a_{1}}{\upsilon_{1}}, \, \, \, \upsilon_{2} = \frac{F}{\beta} = \frac{F \cdot \upsilon_{1}}{F - m \cdot a_{1}} = \frac{m \cdot a_{0} \cdot \upsilon_{1}}{m \cdot a_{0} - m \cdot a_{1}} = \frac{a_{0} \cdot \upsilon_{1}}{a_{0} - a_{1}}, \]

υ₂ = 90 км/ч.