Работа газа за цикл

[Sneggh]

Два моля идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар (см.рис.). Температура газа в точке 2 равна 600 К, а в точке 4 - 300 К. Точки 1 и 3 лежат на одной изотерме. Определите работу газа за один цикл.

[Sneggh]

Решаю так:
Обозначаю по графику буквами типа значения давлений и объемов (см.рис.).
Работу газа нахожу как площадь прямоугольника:
\[ A=(p_2-p_1)(V_2-V_1)=p_2V_2-p_2V_1-p_1V_2+p_1V_1; \]
Выражения p₁V₁ и p₂V₂ можно заменить через правую часть ур-ния состояния идеального газа. А вот как быть с 2-мя другими? Ясно, что они равны друг другу по з-ну Бойля-Мариотта для состояний 1-3. Подскажите. 

[alsak]

Можно найти температуру в точке 1. Например, рассмотрим изохорный процесс 4-1 (мои обозначения давлений не соответствуют вашим):
 

\[ \frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}, \, \, \,
T_{1} = T_{4} \cdot \frac{p_{1}}{p_{4}} = \frac{5}{2} T_{4}. \]

У вас опять нарушен масштаб в графике. По вашему рисунку температура в точке 2 должна равняться 25/4⋅T₄ = 1875 К, а по условию 600 К.

[alsak]

Если немного изменить рисунок к задаче (см. рис. 1), то задача будет иметь следующее решение.

Работа газа за один цикл равна площади прямоугольника 1234:

A = S₁₂₃₄ = (p₁ – p₄)⋅(V₃ – V₄) = p₁⋅V₃ – p₁⋅V₄ – p₄⋅V₃ + p₄⋅V₄.

Так как

p₁ = p₂, а V₃ = V₂, то p₁⋅V₃ = p₂⋅V₂;
V₄ = V₁, то p₁⋅V₄ = p₁⋅V₁;
p₄ = p₃, то p₄⋅V₃ = p₃⋅V₃.

Тогда

A = p₂⋅V₂ – p₁⋅V₁ – p₃⋅V₃ + p₄⋅V₄.

Учитывая уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого состояния

p⋅V = ν⋅R⋅T,

получим

A = ν⋅R⋅(T₂ – T₁ – T₃ + T₄) = [T₁ = T₃] = ν⋅R⋅(T₂ – 2T₁ + T₄).

Найдем температуру в точке 1. Например, рассмотрим изохорный процесс 4-1:
 

\[ \frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}, \, \, \, \frac{p_{1}}{p_{4}} = \frac{T_{1}}{T_{4}} \]

и изохорный 2-3:
 

\[ \frac{p_{2}}{T_{2}} = \frac{p_{3}}{T_{3}}, \, \, \, \frac{p_{2}}{p_{3}} = \frac{T_{2}}{T_{3}}.  \]

Так как p₁ = p₂, p₃ = p₄, T₁ = T₃, то
 

\[ \frac{p_{1}}{p_{4}} = \frac{p_{2}}{p_{3}}, \; \; \; \frac{T_{2}}{T_{3}} = \frac{T_{1}}{T_{4}}, \]

 

\[ T_{1} \cdot T_{3} = T_{1}^{2} = T_{2} \cdot T_{4}, \; \; \; T_{1} = \sqrt{T_{2} \cdot T_{4}}. \]

В итоге получаем
 

\[ A = \nu \cdot R \cdot \left(T_{2} - 2 \sqrt{T_{2} \cdot T_{4}} + T_{4} \right), \]

А = 855 Дж.