Поршень с пружиной

[Sneggh]

Помогите, не сходится с ответом. Ответ 8 см. А у меня получается 1 м .
Газ с температурой T = 300 K и давлением p = 2⋅10⁵ Па находится в цилиндрическом сосуде с сечением S = 0,1 м² под невесомым поршнем, который удерживается пружиной жесткостью k = 1,5⋅10⁴ Н/м на высоте h = 2 м от дна сосуда(пружина над поршнем). Давление снаружи цилиндра атм. Температуру газа увеличили на ΔT = 30 K.
Чему равно при этом смещение поршня Δh?

Записал объединенный газовый закон. Сразу расписал давления и объем, думаю вы поймете.

\[ \frac{pSh}{T}=\frac{k\Delta h S(h+\Delta h)}{S(T+\Delta T)}; \]

Находим отсюда Δh. Проверьте, пожалуйста. Думаю что в правой части не хватает p₀?

[alsak]

На невесомый поршень действуют сила атмосферного давления (F_a, направлена вниз), сила давления газа (F_g, направлена вверх) и сила упругости (F_y). Так как давление газа больше атмосферного давления, то пружина будет в сжатом состоянии, поэтому сила упругости будет направлена вниз. Так как поршень находится в равновесии (рис. 1, а), то

F_g = F_a + F_y,

где F_g = p⋅S, F_a = p₀⋅S, F_y = k⋅Δl, p₀ — атмосферное давление, Δl — абсолютное удлинение (сжатие) пружины.

Условие равновесия поршня в первом случае

p⋅S = p₀⋅S + k⋅Δl, (1)

где p₀ — атмосферное давление. Во втором случае

p₂⋅S = p₀⋅S + k⋅(Δl + Δh). (2)

Давление p₂ получаем из уравнения Клайперона
 

\[ \frac{p \cdot S \cdot h}{T} = \frac{p_{2} \cdot S \cdot
\left(h + \Delta h \right)}{T + \Delta T}. \; \; (3) \]

Решаем систему трех уравнений. Например, из уравнения (1) получаем

k⋅Δl = (p – p₀)⋅S,

из уравнения (3)
 

\[ p_{2} = \frac{p \cdot h}{T} \cdot \frac{T + \Delta T}{h + \Delta h}. \]

Подставляем все в уравнение (2) и получаем
 

\[ p \cdot S \cdot h \cdot \frac{T + \Delta T}{T} =
\left(p \cdot S + k \cdot \Delta h\right) \cdot \left(h + \Delta h\right). \]

Сравните с вашим уравнением.
Если решить это квадратное уравнение, получаем 0,078 м = 7,8 см.

[Sneggh]

Блин, пробовал точно также решать. Но у меня была загвоздка со вторым вашим уравнением, а точнее с \[ \Delta l. \] Так сказать, испугался этого дополнительного деформ. И с силой упругости во втором случае тоже не мог сообразить, вот этого \[ k(\Delta l+\Delta h) \]. Спасибо.