Уравнение гармонического колебания материальной точки имеет вид
x = A⋅sin (ω⋅t + φ0),
где
А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний. Считаем, по умолчанию, что начальная фаза колебаний φ
0 = 0. Тогда
x = A⋅sin ω⋅t,
υ = x' = A⋅ω⋅cos ω⋅t,
где υ — скорость точки (скорость равна первой производной от координаты).
Кинетическая энергия материальной точки равна
\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}. \]
1 способ. Потенциальная энергия равна
Wp = W – Wk,
где
W — полная механическая энергия системы, равная
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon_{\max}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2}. \]
Тогда
\[ W_{p} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} - \frac{m}{2} \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2} = \]
\[ = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \right)^{2}}{2} \left(1 - \cos^{2} \omega \cdot t \right) = \frac{m \cdot A^{2} \cdot \omega^{2}}{2} \cdot \sin^{2} \omega \cdot t. \]
2 способ. Потенциальная энергия равна
\[ W_{p} = \frac{k \cdot x^{2}}{2} = \frac{k}{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}.
\]
Коэффициент жесткости колебательной системы найдем следующим образом:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \, \, \, k = m \cdot \omega^{2}. \]
В итоге получаем
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = \frac{m \cdot \left(A \cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \omega^{2} \cdot \left(A \cdot \sin \omega \cdot t \right)^{2}} = ctg^{2} \omega \cdot t. \]
Так как ω = 2π/
T и
t =
T/12, то
\[ \frac{W_{k}}{W_{p}} = ctg^{2} \frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = ctg^{2} \frac{\pi}{6} = 3. \]
