Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

205	206	207	208	209	210	211	212	213	214
215	216	217	218	219	220	221	222	223	224
225	226	227	228	229	230	231	232	233	234
235	236	237	238	239	240	241	242	243	244
245	246	247	248	249	250	251	252	253	254
255	256	257	258	259	260	261	262	263

[alsak]

205. Пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью υ₁ = 800 м/с, попадает в доску толщиной d = 50 мм и вылетает из нее со скоростью υ₂ = 100 м/с. Определить силу сопротивления доски, считая эту силу постоянной.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится пуля, поэтому Wp₀ = W_p = 0.

Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
 

\[ W = W_{k0} = \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

На пулю действует внешняя сила – сила сопротивления доски. Работа этой силы равна

A_v = F_c⋅Δr⋅cos α,

где Δr = d, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения пули).

Запишем закон об изменении механической энергии

А_v = W – W₀,

\[ -F_{c} \cdot d = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} - \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2}, \; \; \; F_{c} = \frac{m}{2d} \cdot \left(\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{2}^{2} \right), \]

F_c = 6,3⋅10⁴ Н.

[alsak]

206. Цепь массой m = 5 кг, лежащую на столе, берут за один конец и равномерно поднимают вертикально вверх на высоту, при которой нижний конец отстоит от стола на расстоянии, равном длине цепи l = 2 м. Чему равна работа по подъему цепи?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность стола.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии (рис. 1, а)

W₀ = 0.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (рис. 1, б)

W = m⋅g⋅h,

где h = l + l/2 =1,5l — высота, на которую был поднят центр тяжести цепи.

На цепь действует внешняя сила, которая и совершает работу А_v. Запишем закон об изменении механической энергии

А_v = W – W₀,
А_v = m⋅g⋅h = 1,5m⋅g⋅l,

А_v = 150 Дж.

[alsak]

207. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы телеграфный столб массой m₁ = 200 кг, к вершине которого прикреплена крестовина массой m₂ = 30 кг, перевести из горизонтального положения в вертикальное? Длина столба l = 10 м.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли.
Полная механическая энергия системы столб-крестовина в начальном состоянии (рис. 1, а)

W₀ = 0.

Полная механическая энергия системы столб-крестовина в конечном состоянии (рис. 1, б)

W = m₁⋅g⋅h₁ + m₂⋅g⋅h₂,

где h₁ = l/2, h₂ = l — высота, на которую был поднят центр тяжести цепи.

На столб действует внешняя сила, которая и совершает работу А_v. Запишем закон об изменении механической энергии

А_v = W – W₀,

А_v = m₁⋅g⋅h₁ + m₂⋅g⋅h₂ = (m₁/2 + m₂)⋅g⋅l,

А_v = 13 кДж.

Примечание. Работа будет минимальной, если столб поставят вертикально, не отрывая от земли.

[alsak]

208. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груз массой m = 30 кг на высоту h = 10 м с ускорением а = 0,50 м/с²?

Решение. Механическая работа равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = h, α = 0°, т.к. направления силы F, которая совершает работу, и перемещения совпадают.
Значение силы F найдем, используя второй закон Ньютона. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила F, поднимающая груз (рис. 1). Тогда
 

\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m∙a = F – m∙g,

F = m⋅(a + g).

После подстановки в уравнение (1) получаем

A = m∙(а + g)∙h,

А = 3,15⋅10³ Дж.

[alsak]

209. Какую работу совершает электровоз за t = 10 мин, перемещая по горизонтальному пути состав массой m = 3000 т с постоянной скоростью υ = 72 км/ч, если коэффициент сопротивления движению μ = 0,005? Коэффициент сопротивления движению равен отношению модуля силы сопротивления к модулю силы нормальной реакции опоры.

Решение. Механическая работа электровоза равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = υ⋅t (т.к. движение равномерное), α = 0°, т.к. направления силы тяги F и перемещения совпадают. Найдем значение силы F.
На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_tr) и сила тяги (F) (рис. 1). Из второго закона Ньютона
 

\[ 0 = \vec{N} + \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{F_{tr}}, \]

0Х: 0 = F – F_tr или F = F_tr,

0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g,

где F_tr = μ⋅N = μ⋅m⋅g. Тогда

F = μ⋅m⋅g.

После подстановки в уравнение (1) получаем

А = μ⋅m⋅g⋅υ⋅t,

А = 1,8⋅10⁹ Дж.

[alsak]

210. Санки массой m соскальзывают с вершины горы высотой h и, пройдя некоторое расстояние, останавливаются. Какую работу надо совершить, чтобы втащить санки по той же траектории обратно на вершину горы?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания горы.

Рассмотрим вначале движение санок вниз (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀₁ = m⋅g⋅h.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W₁ = 0.

На санки действует внешняя сила — сила трения скольжения санок F_tr, которая совершает работу А_v1. Работа этой силы равна, во-первых (закон об изменении механической энергии),

А_v1 = W₁ – W₀₁ = –m⋅g⋅h, (1)

во-вторых,

А_v1 = –(F_tr1⋅s₁ + F_tr2⋅s₂). (2)

Рассмотрим теперь движение санок вверх (рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀₂ = 0.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W₂ = m⋅g⋅h.

На санки действуют две внешние сила: сила трения скольжения санок F_tr (работа этой силы А_v2) и сила F, поднимающая санки вверх (работа этой силы А_v3). Запишем закон об изменении механической энергии

А_v2 + А_v3 = W₂ – W₀₂ = m⋅g⋅h. (3)

Работа силы трения равна

А_v2 = –(F_tr1⋅s₁ + F_tr2⋅s₂).

Так как значение сил трения F_tr1 и F_tr2 не изменились (поменялись только направления), не изменились пройденные пути s₁ и s₂, то, с учетом уравнений (2) и (1), получаем

А_v2 = А_v1 = –m⋅g⋅h.

Подставим полученное выражение в уравнение (3) и найдем работу силы F:

А_v3 = m⋅g⋅h – А_v2 = m⋅g⋅h – (–m⋅g⋅h) = 2m⋅g⋅h.

[alsak]

211. Человек массой m₁ = 60 кг прыгает с неподвижной тележки массой m₂ = 30 кг, стоящей на рельсах, в направлении вдоль путей. При этом тележка перемещается в противоположную сторону на s = 2,0 м. Считая коэффициент трения при движении тележки μ = 0,10, найти работу, которую совершает человек при прыжке.

Решение. Задачу разобьем на четыре части.
1 часть. Работу человека при прыжке найдем, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли.
Полная механическая энергия системы человек-тележка в начальном состоянии (до прыжка) (рис. 1) равна

W₀ = 0.

Полная механическая энергия системы человек-тележка в конечном состоянии (после прыжка)
 

\[ W = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

На систему действует внешняя сила — человек, который и совершает работу А_v. Запишем закон об изменении механической энергии

А_v = W – W₀,

\[ A_{v} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}.\;\;\; (1) \]

2 часть. Для нахождения кинетической энергии тележки, воспользуемся еще раз законом сохранения энергии.
Полная механическая энергия тележки в начальном состоянии (в начале движения тележки) (рис. 2) равна
 

\[ W_{02} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тележки в конечном состоянии (при остановке)

W₂ = 0.

На тележку действует внешняя сила — сила трения тележки F_tr, которая совершает работу А_v1. Работа этой силы равна, во-первых (закон об изменении механической энергии),
 

\[ A_{v1} = W_{2} - W_{02} =-\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2},\;\;\; (2) \]

во-вторых,

А_v1 = –F_tr⋅s. (3)

3 часть. Силу трения F_tr найдем через законы динамики. На тело действуют сила тяжести (m₂⋅g), сила реакции опоры (N) и сила трения (F_tr) (рис. 3). Из проекции второго закона Ньютона

0Y: 0 = N – m₂⋅g или N = m₂⋅g.

Сила трения равна

F_tr = μ⋅N = μ⋅m₂⋅g.

После подстановки в уравнения (3) и (2) получаем
 

\[ \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = F_{tr} \cdot s = \mu \cdot m_{2} \cdot g \cdot s.\;\;\; (4) \]

4 часть. Скорость человека после прыжка найдем при помощи закона сохранения импульса (см. рис. 1):

0Х: 0 = –m₁⋅υ₁ + m₂⋅υ₂,

\[ \upsilon_{1} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}}{m_{1}}. \]

Тогда кинетическая энергия человека будет равна
 

\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1}}{2} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}}{m_{1}} \right)^{2} = \frac{m_{2}^{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2m_{1}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \right).
 \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1) и учтем уравнение (4):
 

\[ A_{v} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \right) + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1 \right) \cdot \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1 \right) \cdot \mu \cdot m_{2} \cdot g \cdot s, \]

А_v = 90 Дж.

[alsak]

212. Тело массой m = 1 кг движется прямолинейно так, что зависимость его координаты от времени описывается уравнением x = 10 + 20t – 4t², в котором все величины выражены в единицах СИ. Определить кинетическую энергию этого тела через t = 2 с после начала движения.

Решение. Чтобы определить значение кинетической энергии тела через t = 2 с, надо найти значение скорости в этот момент времени.
1 способ (для тех, кто не умеет искать производную). Запишем уравнение координаты в общем виде
 

\[ x = x_{0} + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}
 \]

и уравнение скорости

υ_x = υ_0x + a_x⋅t.

Проекция начальной скорости υ_0x — величина, стоящая в уравнении координаты перед t. Тогда в уравнении

x = 10 + 20t – 4t² (1)

это величина равна υ_0x = 20 м/с. Проекция ускорения а_х  — удвоенная величина, стоящая перед t², и в уравнении (1) она равна а_х = –8 м/с². Получаем следующее уравнение скорости

υ_x = 20 – 8t.

2 способ. Скорость находится как первая производная от координаты, т.е.

υ_x = x´ = (10 + 20t – 4t²)´ = 20 – 8t.

Значение скорости через t = 2 с:

υ_x(2) = 20 – 8⋅2 = 4 (м/с).

Кинетическая энергия равна
 

\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \]

W_k(2) = 8 Дж.

[alsak]

213. Брусок массой m = 1 кг покоится на горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 1). К нему прикреплена пружина жесткостью k = 20 Н/м. Какую работу надо совершить для того, чтобы сдвинуть с места брусок, растягивая пружину в горизонтальном направлении, если коэффициент трения между бруском и поверхностью μ = 0,2?

Решение. На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_tr) и сила упругости пружины (F_u), которая увеличивается по мере растяжения пружины (рис. 2). Пусть в момент времени, когда брусок сдвинется, сила упругости будет равна F_u1. Ускорение бруска в этот момент будет равно нулю (еще одна «тонкость» физики: тело начинает двигаться, но ускорение так мало, что мы им пренебрегаем). Из второго закона Ньютона
 

0Х: 0 = F_u1 – F_tr или F_u1 = F_tr,

0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g,

где F_tr = μ⋅N = μ⋅m⋅g (т.к. тело начало скользить по поверхности). Тогда

F_u1 = μ⋅m⋅g.

С другой стороны по закону Гука сила упругости равна

F_u1 = k⋅Δl.

С учетом предыдущей формулы, получаем

μ⋅m⋅g = k⋅Δl. (1)

Так как сила, действующая на брусок, изменяется, то для расчета работы этой силы использовать формулу A = F⋅Δr⋅cos α нельзя.
Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту шероховатой поверхность.
Полная механическая энергия системы брусок-пружина в начальном состоянии равна

W₀ = 0.

Полная механическая энергия системы брусок-пружина в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}. \]

На брусок действует внешняя сила — сила упругости пружины, которая и совершает работу А_v. Запишем закон об изменении механической энергии

А_v = W – W₀,

\[ A_{v} = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}. \]  (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ \Delta l = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{k},\; \; \; A_{v} = \frac{k}{2} \cdot \left(\frac{\mu \cdot m \cdot g}{k} \right)^{2} = \frac{\left(\mu \cdot m \cdot g \right)^{2}}{2k}, \]

А = 0,1 Дж.