Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

214. Тело массой m = 2 кг равномерно перемещается по горизонтальной поверхности под действием силы, направленной под углом α = 45° к горизонту. При перемещении s = 6 м эта сила совершает работу А = 20 Дж. Найти коэффициент трения тела о поверхность.

Решение. Механическая работа равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = s. Значение силы F найдем, используя второй закон Ньютона.
На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_tr) и внешняя сила (F). Так как груз движется, то сила трения – это сила трения скольжения. Из второго закона Ньютона (рис. 1):

\[ 0 = \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{tr} + \vec{N}, \]

0X: 0 = F⋅cos α – F_tr, (2)

0Y: 0 = F⋅sin α – m∙g + N, (3)

где F_tr = μ⋅N, N = m∙g – F⋅sin α (из уравнения (3)). Из уравнения (2) получаем

0 = F⋅cos α – μ∙m∙g + μ∙F⋅sin α,

\[ F = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{{\rm cos\;}\alpha + \mu \cdot {\rm sin\;}\alpha }. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1):
 

\[ A = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot s \cdot {\rm cos\;} \alpha }{{\rm cos\;}\alpha + \mu \cdot {\rm sin\;}\alpha } = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot s}{1 + \mu \cdot {\rm tg\;}\alpha }, \]
 
\[ A + A \cdot \mu \cdot {\rm tg\;}\alpha = \mu \cdot m \cdot g \cdot s, \; \; \; \mu = \frac{A}{m \cdot g \cdot s - A \cdot {\rm tg\;}\alpha }, \]

μ = 0,2.

[alsak]

216. Охотник стреляет с лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой M = 100 кг, масса дроби m = 40 г и средняя начальная скорость дроби υ₀ = 400 м/с? Ствол ружья во время выстрела направлен под углом α = 60° к горизонту.

Решение. Найдем скорость лодки после выстрела при помощи закона сохранения импульса (рис. 1):
 

\[ 0 = m \cdot \vec{\upsilon}_{0} + M \cdot \vec{\upsilon }_{1}, \]

0Х: 0 = –m⋅υ₀⋅cos α + M⋅υ₁,

\[ \upsilon_{1} = \frac{m \cdot \upsilon_{0} \cdot \cos \alpha}{M}, \]

υ₁ = 8⋅10^–2 м/с.

[alsak]

217. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой М = 50 кг и головного защитного конуса массой m = 10 кг. Конус отбрасывается вперед сжатой пружиной. При испытаниях на Земле с закрепленной ракетой пружина сообщала конусу скорость υ₀ = 5,1 м/с. Какова будет относительная скорость конуса и ракеты, если их разделение произойдет на орбите?

Решение. Задачу будем решать, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту на которой находится ракета.

1 процесс. Испытания на Земле с закрепленной ракетой.
Полная механическая энергия системы пружина-конус в начальном состоянии (при сжатой пружине) (рис. 1) равна

W₀ = W_{p max}.

Полная механическая энергия системы пружина-конус в конечном состоянии

W₁ = m⋅υ₀²/2.

Так как на систему не действует внешняя сила (закреплена только ракета), то выполняется закон сохранения механической энергии

W_{p max} = m⋅υ₀²/2.  (1)

2 процесс. Испытания на орбите.
Полная механическая энергия системы ракета-конус в начальном состоянии (при сжатой пружине) (рис. 2) равна

W₀ = W_{p max}.

Полная механическая энергия системы ракета-конус в конечном состоянии

W₂ = m⋅υ₁²/2 + M⋅υ₂²/2.

И из закона сохранения механической энергии получаем

W_{p max} = m⋅υ₁²/2 + M⋅υ₂²/2.  (2)

Так же будет выполняться и закон сохранения импульса
 

\[ 0 = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: 0 = m⋅υ₁ – M⋅υ₂. (3)

Решим систему уравнение (1)-(3). Например,
 

\[ \upsilon _{1} = \frac{M \cdot \upsilon _{2}}{m}, \; \; \; \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}, \]

\[ m \cdot \upsilon_{0}^{2} = m \cdot \left(\frac{M \cdot \upsilon _{2}}{m} \right)^{2} + M \cdot \upsilon _{2}^{2}, \; \; \; m^{2} \cdot \upsilon _{0}^{2} = M^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} + m \cdot M \cdot \upsilon _{2}^{2} = \left(M + m \right) \cdot M \cdot \upsilon _{2}^{2},
 \]

\[ \upsilon _{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}}{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}}, \, \, \, \upsilon _{1} = \frac{M \cdot \upsilon _{0}}{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}}. \]

Относительную скорость найдем через закон сложения скоростей (см. рис. 2):
 

\[ \vec{\upsilon }_{1} = \vec{\upsilon }_{2} + \vec{\upsilon }_{1/2}, \]

0X: υ₁ = –υ₂ + υ_1/2х,

\[ \upsilon _{1/2x} = \upsilon _{1} + \upsilon _{2} = \frac{\left(M + m\right) \cdot \upsilon _{0} }{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}} = \upsilon _{0} \sqrt{\frac{M + m}{M}} \],

υ_1/2х = 5,6 м/с.

[alsak]

218. Снаряд массой m = 40 кг, летевший в горизонтальном направлении со скоростью υ = 600 м/с, разорвался на 2 части массами m₁ = 30 кг и m₂ = 10 кг. Большая часть стала двигаться в прежнем направлении со скоростью υ₁ = 900 м/с. Определить модуль и направление скорости меньшей части снаряда.

Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса (рис. 1):
 

\[ m \cdot \vec{\upsilon } = m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: m⋅υ = m₁⋅υ₁ + m₂⋅υ_2x, (1)

0Y: 0 = m₂⋅υ_2y или υ_2y = 0.

Из уравнения (1) получаем

\[ \upsilon _{2x} = \frac{m \cdot \upsilon - m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{2}}, \]

υ_2x = –300 м/с. Так как υ_2y = 0, а υ_2x < 0, то скорость υ₂ направлена в противоположную сторону оси 0Х. Значение (модуль) этой скорости равно 300 м/с.

[alsak]

220. Плот массой m₁ плывет по реке со скоростью υ₁. На плот с берега перпендикулярно направлению движения плота прыгает человек массой m₂ со скоростью υ₂. Определить скорость плота с человеком. Силой трения плота о воду пренебречь.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости плот, ось 0Y — вдоль начальной скорости человека, т.к. векторы скорости плота и человека составляют прямой угол (рис. 1). Воспользуемся законом сохранения импульса:
 

\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} = \left(m_{1} + m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon }, \]

0Х: m₁⋅υ₁ = (m₁ + m₂)⋅υ_х, (1)

0Y: m₂⋅υ₂ = (m₁ + m₂)⋅υ_y (2)

(направление скорости υ нам не известно). Скорость системы «плот-человек» υ будет равна
 

\[ \upsilon = \sqrt{\upsilon _{x}^{2} + \upsilon _{y}^{2}}. \]

Выразим проекции скорости υ из уравнений (1) и (2) и подставим в последнее выражение:
 

\[ \upsilon_{x} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{1} + m_{2}}, \, \, \, \upsilon _{y} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}}, \]

\[ \upsilon = \sqrt{\left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} + \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{\left(m_{1} \cdot \upsilon_{1} \right)^{2} + \left(m_{2} \cdot \upsilon_{2} \right)^{2}}}{m_{1} + m_{2}}. \]

Для определения направления скорости υ найдем угол α к оси 0Х (рис. 2):
 

\[ {\rm tg}\alpha = \frac{\upsilon _{y}}{\upsilon _{x}}, \, \, \, \alpha = {\rm arctg} \frac{\upsilon _{y}}{\upsilon_{x}} = {\rm arctg}\left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot \upsilon _{1}} \right) = {\rm arctg}\left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} \cdot \upsilon _{1}} \right). \]

Примечание. 1. Угол α можно было определить и через sin, и через cos.
2. Скорость векторная величина, поэтому вопрос «определить скорость плота» требует нахождения и значения скорости, и ее направления. Автор сборника дает ответ только для значения.

[alsak]

221. Движущийся шар сталкивается с покоящимся шаром. После удара модуль импульса каждого из шаров равен модулю импульса системы до удара. Определить, под каким углом разлетаются шары.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости шара, ось 0Y — перпендикулярно оси 0Х. Пусть один из импульсов шаров после удара направлен под углом α к оси 0Х, второй — под углом β (рис. 1). Воспользуемся законом сохранения импульса:
 

\[ \vec{p}_{01} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}, \]

0Х: p₀₁ = p₁⋅cos α + p₂⋅cos β, (1)

0Y: 0 = p₁⋅sin α – p₂⋅sin β, (2)

где p₀₁ = p₁ = p₂ = p (по условию). Тогда из уравнения (2) получаем, что

sin α = sin β или α = β.

С учетом этого, уравнение (1) примет вид

p = 2p⋅cos α, cos α = 1/2, α = 60°.

Тогда угол γ, под каким разлетаются шары, будет равен

γ = α + β, γ = 120 °.

[alsak]

222. В прямую призму, масса которой M, а поперечное сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, попадает шарик массой m < M, летящий горизонтально со скоростью υ, и после удара движется вертикально вверх (рис. 1). Считая удар абсолютно упругим, найти скорость шарика υ₁ и призмы υ₂ после удара. Сопротивлением воздуха и трением призмы о горизонтальную подставку пренебречь. До удара призма покоилась.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости шарика, ось 0Y — перпендикулярно оси 0Х. Воспользуемся законом сохранения импульса и энергии для системы шарик-призма. За нулевую высоту примем высоту горизонтальной подставки.
Вначале (до столкновения) двигается только один шарик массой m со скоростью υ. Пусть центр тяжести призмы находится на высоте h₁, а шарик — на высоте h₂ (рис. 1). Тогда полная механическая энергия системы шарик-призма и начальный импульс системы будут равны
 

\[ W_{0} = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; \vec{p}_{0} = m \cdot \vec{\upsilon}. \]

Затем (сразу же после столкновения) двигаются и шарик со скоростью υ₁, и призма со скоростью υ₂. Высота центра тяжести призмы не изменится, т.е. остается на высоте h₁, высота шарика в момент отскока так же останется прежней, т.е. h₂. Тогда полная механическая энергия системы шарик-призма и конечный импульс системы будут равны
 

\[ W = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}, \; \; \; \vec{p} = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}. \]

Так как на систему не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха и трением призмы о горизонтальную подставку пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии и импульса:
 

\[ M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} \]

или

\[ \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2},\;\;\; (1) \]

\[ m \cdot \vec{\upsilon } = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: m⋅υ = M⋅υ₂. (2)

Из уравнения (2) найдем скорость υ₂:
 

\[ \upsilon _{2} = \frac{m \cdot \upsilon }{M}, \]

из уравнения (1) — скорость υ₁:
 

\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \upsilon _{2}^{2} } = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{M} \right)^{2} } = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{M}} = \upsilon \cdot \sqrt{1-\frac{m}{M}}. \]

[alsak]

223. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубляется в дощатый барьер на l = 10 см. На сколько углубится в тот же барьер такая же пуля, имеющая вдвое большую скорость? Сила сопротивления барьера в обоих случаях одинаковая.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится пуля, поэтому W_p0 = W_p = 0.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W = W_k0 = m⋅υ₁²/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0.

На пулю действует внешняя сила F_c – сила сопротивления барьера. Работа этой силы равна

A_v = F_c⋅Δr⋅cos α,

где Δr = l, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения пули).
Запишем закон изменения механической энергии

А_v = W – W₀,

или

–F_c⋅l = –m⋅υ₁²/2,    F_c⋅l = m⋅υ₁²/2. (1)

Если пуля будет лететь со скоростью υ₂ = 2υ₁ (вдвое большая скорость), то уравнение (1) примет вид:

F_c⋅l₂ = m⋅υ₂²/2. (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ \frac{F_{c} \cdot l_{2}}{F_{c} \cdot l} = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}, \, \, \, \frac{l_{2}}{l} = \frac{\upsilon_{2}^{2}}{\upsilon_{1}^{2}} = \frac{\left(2\upsilon _{1} \right)^{2}}{\upsilon _{1}^{2}} = 4, \, \, \, l_{2} = 4l, \]

l₂ = 0,4 см.

[alsak]

224. Тело массой m = 100 г падает с высоты h = 5 м на чашу пружинных весов (рис. 1) и сжимает пружину жесткостью k = 1⋅10³ Н/м на величину x. Определить x, если массы чаши и пружинных весов пренебрежимо малы.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется чаша весов вместе с телом (рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = h + x.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = k⋅x²/2.

Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:

\[ m\cdot g\cdot \left( h+x \right) = \frac{k \cdot x^{2}}{2}, \, \, \, \frac{k \cdot x^{2}}{2}-m\cdot g\cdot x-m\cdot g\cdot h=0. \]

Найдем корни квадратного уравнения и учтем при этом, что x > 0 (подробнее см. рис. 3).

\[ x=\frac{m\cdot g}{k}+\sqrt{{{\left( \frac{m\cdot g}{k} \right)}^{2}}+\frac{2m\cdot g\cdot h}{k}}=\frac{m\cdot g}{k}\cdot \left( 1+\sqrt{1+\frac{2k\cdot h}{m\cdot g}} \right), \]

x = 0,1 м.

[alsak]

225. Тело массой m = 1 кг бросили с некоторой высоты с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с, направленной под углом α = 30° к горизонту. Определить кинетическую энергию тела через t₁ = 2 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 способ. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y₀ = h, x₀ = 0 (рис. 1).
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.

На ось 0Х: υ_х = υ_0х = υ₀⋅cos α (рис. 2), т.к. a_x = 0.

На оси 0Y: υ_y = υ_0y + g_y⋅t, где υ_0y = υ₀⋅sin α, g_y = –g.

Тогда

υ_y = υ₀⋅sin α – g⋅t (1).

Обозначим υ₁ — скорость тела через время t₁ = 2 c (рис. 3):

\[ \upsilon _{1}^{2} = \upsilon _{1x}^{2} + \upsilon _{1y}^{2}, \]    (2)

где υ_1х = υ_0х = υ₀⋅cos α. Найдем υ_1у из уравнения (1):

υ_1y = υ₀⋅sin α – g⋅t₁.

Из уравнения (2)
 

\[ \upsilon _{1}^{2} = \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \right)^{2} + \left(\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t_{1} \right)^{2} = \]

\[ =\upsilon _{0}^{2} \cdot \left(\cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha \right)-2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} + \left(g \cdot t_{1} \right)^{2} = \upsilon _{0}^{2} -2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} +\left(g \cdot t_{1} \right)^{2}. \]

В итоге кинетическая энергия тела равна
 

\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} + \left(g \cdot t_{1} \right)^{2} \right), \]

W_k = 200 Дж.

2 способ.