Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

226. На невесомом стержне длиной l = 75 см укреплены два одинаковых шара массой m каждый. Один шар укреплен на конце стержня, другой — посередине (рис. 1). Стержень может колебаться в вертикальной плоскости вокруг точки А. Какую горизонтальную скорость нужно сообщить нижнему концу стержня, чтобы стержень отклонился до горизонтального положения?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится нижний шарик (рис. 2).
Полная механическая энергия двух тел в начальном состоянии. Если сообщить скорость υ₁ нижнему шарику, то верхний шарик также будет иметь некоторую скорость υ₂. Найдем эту скорость (υ₂). Так как шарики закреплены на одном стержне, то при движении стержня (по дуге) у них будет одинаковые угловые скорости, т.е.

ω₁ = ω₂ или υ₁/R₁ = υ₂/R₂,

где R₁ = l, R₂ = l/2 (второй шарик посередине). Поэтому

υ₁/l = 2υ₂/l, υ₂ = υ₁/2.

Тогда
 

\[ W_{0} = m \cdot g\cdot h_{1} +\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{m \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h_{1} + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{8} = m \cdot g \cdot h_{1} + \frac{5m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{8}, \]

где h₁ = l/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 2m⋅g⋅h₂,

где h₂ = l.
Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ m\cdot g\cdot h_{1} + \frac{5m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{8} = 2m \cdot g\cdot h_{2}, \; \; \; g \cdot \frac{l}{2} + \frac{5 \upsilon _{1}^{2}}{8} = 2g \cdot l, \]

\[ \frac{5\upsilon _{1}^{2}}{8} = \frac{3g \cdot l}{2}, \; \; \; \upsilon_{1} = \sqrt{\frac{12g \cdot l}{5}} \],

υ₁ = 4,2 м/с.

[alsak]

227. Шарик подвешен на невесомом прямом стержне длиной l. Какую минимальную скорость в горизонтальном направлении необходимо сообщить шарику, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Примечание. Для груза на жестком стержне минимальная скорость груза (υ₀) в нижней точке соответствует случаю, когда верхняя точка проходится им со скоростью чуть больше нуля, т.е. υ ≈ 0.
Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем нижнюю точку окружности (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
 

\[ W_{0} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h = 2m⋅g⋅l.

Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} = 2m \cdot g \cdot l, \, \, \, \upsilon _{0} = \sqrt{4g \cdot l} = 2 \cdot \sqrt{g \cdot l}. \]

[alsak]

228. Найти количество теплоты, которое выделилось при абсолютно неупругом соударении двух шаров, двигавшихся навстречу друг другу. Масса первого шара m₁ = 0,4 кг, его скорость υ₁ = 3 м/с. Масса второго шара m₂ = 0,2 кг, скорость υ₂ = 12 м/с.

Решение. При неупругом ударе выделяется количество теплоты, равное

Q = W₀ – W.

Найдем энергии W₀ и W. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигаются шары.
Полная механическая энергия тел в начальном состоянии
 

\[ W_{0} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тел в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{\left(m_{1} + m_{2} \right)\cdot \upsilon ^{2}}{2},\;\;\; (1) \]

где υ — скорость шаров после столкновения.
Так как удар неупругий, то выполняется закон сохранения импульса. Воспользуемся им для нахождения скорости шаров υ после столкновения (рис. 1):
 

\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} = \left(m_{1} + m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon}, \]

0Х: m₁⋅υ₁ – m₂⋅υ₂ = (m₁ + m₂)⋅υ_х.

Тогда
 

\[ \upsilon _{x} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} }{m_{1} +m_{2} } . \]

После подстановки в уравнение (1) получаем
 

\[ W=\frac{m_{1} +m_{2}}{2} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} }{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} = \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)}.
 \]

Количество теплоты, которое выделится при неупругом ударе шаров, будет равно (подробнее смотри рис. 2)
 

\[ Q = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} -\frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)} = \frac{m_{1} \cdot m_{2} \cdot \left(\upsilon _{1} + \upsilon _{2} \right)^{2}}{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)}, \]

Q = 15 Дж.

[alsak]

229. Брусок массой m₁ движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью υ₁. Пуля массой m₂, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью υ₂, застревает в бруске. Угол между векторами υ₁ и υ₂ α = 90°. Определить, какое количество теплоты выделилось в бруске.

Решение. При неупругом ударе выделяется количество теплоты, равное

Q = W₀ – W.

Найдем энергии W₀ и W. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигается брусок.
Полная механическая энергия тел в начальном состоянии
 

\[ W_{0} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}.
 \]

Полная механическая энергия тел в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{\left(m_{1} + m_{2} \right)\cdot \upsilon ^{2}}{2},\;\;\; (1) \]

где υ — скорость бруска и пули после столкновения.
Так как удар неупругий, то выполняется закон сохранения импульса. Воспользуемся им для нахождения скорости υ бруска с пулей после столкновения (рис. 1):
 

\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} = \left(m_{1} + m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon}, \]

0Х: m₁⋅υ₁ = (m₁ + m₂)⋅υ_х,

0Y: m₂⋅υ₂ = (m₁ + m₂)⋅υ_y.

Тогда
 

\[ \upsilon ^{2} = \upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} =\left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} }{m_{1} +m_{2}} \right)^{2} +\left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} =\frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} +\left(m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2} }{\left(m_{1} +m_{2} \right)^{2}}. \]

После подстановки в уравнение (1) получаем
 

\[ W = \frac{m_{1} +m_{2}}{2} \cdot \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} +\left(m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{\left(m_{ 1} +m_{2} \right)^{2}} = \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} +\left(m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)}. \]

Количество теплоты, которое выделится при неупругом ударе шаров, будет равно (подробнее смотри рис. 2)
 

\[ Q = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} -\frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} + \left(m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{2\cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)} = \frac{m_{1} \cdot m_{2} \cdot \left(\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} \right)}{2 \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)}. \]

[alsak]

231. Шар массой m₁, движущийся со скоростью υ₁₀ по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным шаром массой m₂. Между шарами происходит абсолютно упругий центральный удар. Определить скорости шаров после удара.

Решение. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения и импульса системы, и ее механической энергии. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигаются шары.
Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара второй шар начнет двигаться вправо (рис. 1):

0X: m₁⋅υ₁₀ = m₁⋅υ_1x + m₂⋅υ₂,

\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10}^{2} }{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1x}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}.
 \]

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными (υ_1x и υ₂). Решим ее. Например
 

\[ \upsilon _{1x} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} }{m_{1}}, \, \, \, m_{1} \cdot \upsilon _{10}^{2} = m_{1} \cdot \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{10} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2}}{m_{1}^{2}} +m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2},
 \]

υ₂ = 0 м/с или
 

\[ \upsilon _{2} =\frac{2m_{1} \cdot \upsilon _{10}}{m_{1} +m_{2}}. \]

Подробнее решение смотри рис. 2.
Первый ответ (υ₂ = 0 м/с) при упругом ударе невозможен.
Найдем скорость первого шара:
 

\[ \upsilon _{1x} =\frac{1}{m_{1}} \cdot \left(m_{1} \cdot \upsilon _{10} -m_{2} \cdot \frac{2m_{1} \cdot \upsilon _{10}}{m_{1} +m_{2}} \right)=\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{10} -2m_{2} \cdot \upsilon _{10}}{m_{1} +m_{2}} =\frac{\left(m_{1} -m_{2} \right)\cdot \upsilon _{10}}{m_{1} +m_{2}}. \]

Если проекция скорости υ_1x > 0, то первый шар будет двигаться вдоль оси 0Х, т.е. продолжать двигаться в ту же сторону, если υ_1x < 0, то первый шар начнет двигаться в обратную сторону.

[alsak]

232. Самолет пикирует вертикально вниз с высоты h₁ = 1,5 км до высоты h₂ = 500 м. Его начальная скорость υ₁ = 360 км/ч, а при выходе из пике υ₂ = 540 км/ч. Найти силу сопротивления воздуха, считая ее постоянной. Масса самолета m = 2,0 т, двигатель самолета не работает. Ускорение свободного падения g считать равным 10 м/с².

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность Земли.
Полная механическая энергия самолета в начальном состоянии
 

\[ W_{0} = \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot h_{1}.\;\;\; (1) \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot h_{2}.\;\;\; (2) \]

На самолет действует внешняя сила F_c — сила сопротивления воздуха. Работа этой силы равна

A_v = F_c⋅Δr⋅cos α, (3)

где Δr = h₁ – h₂, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения).
Запишем закон изменения механической энергии

А_v = W – W₀.

Распишем данное выражение с учетом уравнений (1)-(3)
 

\[ -F_{c} \cdot \left(h_{1} - h_{2} \right) = \left(\frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot h_{2} \right)-\left(\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot h_{1} \right) = m\cdot \left(\frac{\upsilon _{2}^{2} -\upsilon _{1}^{2}}{2} -g\cdot \left(h_{1} -h_{2} \right)\right),
 \]
 
\[ F_{c} = m\cdot \left(g-\frac{\upsilon_{2}^{2} -\upsilon_{1}^{2}}{2 \cdot \left(h_{1} -h_{2} \right)} \right), \]

F_c = 7,5⋅10³ Н.

[alsak]

233. Камень брошен под углом к горизонту с высоты H с начальной скоростью υ₀. С какой скоростью камень упадет на поверхность земли? Решить без применения кинематических уравнений. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
 

\[ W_{0} =\frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot H. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2}. \]

Так как на систему не действует внешняя сила (сопротивление воздуха не учитывать), то выполняется закон сохранения механической энергии
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} +m \cdot g\cdot H=\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \, \, \, \frac{\upsilon ^{2}}{2} = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2} + g \cdot H, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\upsilon _{0}^{2} +2g \cdot H}.
 \]

[alsak]

234. Пуля, летящая со скоростью υ₀, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске пуля застрянет, если ее скорость после прохождения первой доски υ₁ = 0,8υ₀?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится пуля, поэтому W_p0 = W_p = 0.

Рассмотрим вначале случай, когда пуля проходит через одну доску.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅υ₀²/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅υ₁²/2.

На пулю действует внешняя сила F_c – сила сопротивления доски. Работа этой силы равна

A_v = F_c⋅Δr⋅cos α,

где Δr = d — толщина доски, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения пули).
Запишем закон изменения механической энергии

А_v = W – W₀,

или
 

\[ -F_{c} \cdot d=\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} -\frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; F_{c} = \frac{m}{2d} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -\upsilon _{1}^{2} \right).\;\;\; (1) \]

Рассмотрим теперь случай, когда пуля проходит через N досок и застревает в последней.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅υ₀²/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0.

Работа силы сопротивления всех досок равна

A_v2 = –F_c⋅N⋅d,

где F_c найдем из уравнения (1).
Запишем закон изменения механической энергии

А_v2 = W – W₀,

или
 

\[ -F_{c} \cdot N\cdot d = -\frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; N = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2d\cdot F_{c}} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} \cdot 2d}{2d \cdot m \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -\upsilon _{1}^{2} \right)} = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{\upsilon _{0}^{2} -\upsilon _{1}^{2}}, \]

\[ N = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{\upsilon _{0}^{2} -0,64\upsilon _{0}^{2}} = \frac{1}{0,36} = 2,8. \]

Ответ. В третьей доске.

[alsak]

235. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью υ, попадает в ящик с песком массой M, подвешенный на жестком невесомом стержне длиной l, который шарнирно укреплен за верхний конец («баллистический маятник»), и застревает в нем. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной направлению скорости пули. Пренебрегая размерами ящика, определить максимальный угол отклонения стержня от вертикали.

Решение. Так как пуля застревает в ящике, то применять сразу закон сохранения энергии нельзя. Рассмотрим вначале процесс столкновения пули и ящика (неупругий удар), затем движение системы ящик-пуля на стержне.
Процесс столкновения пули и ящика (рис. 1). Так как удар неупругий, то для нахождения скорости системы ящик-пуля воспользуемся законом сохранения импульса:
 

\[ m\cdot \vec{\upsilon } = \left(m+M \right) \cdot \vec{\upsilon }_{1}, \]

0Х: m⋅υ = (m + M)⋅υ₁

или

\[ \upsilon _{1} = \frac{m \cdot \upsilon }{m+M}. \]  (1)

Процесс движения системы ящик-пуля на стержне. Силой сопротивления, по умолчанию, пренебрегаем, поэтому теперь можем применять закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится ящик в нижнем положении (рис. 2).
Полная механическая энергия системы ящик-пуля в начальном состоянии (с учетом уравнения (1))
 

\[ W_{0} = \frac{\left(m+M\right) \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = \frac{m+M}{2} \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{m+M} \right)^{2} = \frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2\cdot \left(m+M\right)}. \]

Полная механическая энергия системы ящик-пуля в конечном состоянии. Максимальный угол α отклонения стержня от вертикали будет в тот момент, когда система достигнет максимальной высоты и их скорость υ₂ = 0, т.е.

W = (m + M)⋅g⋅h,

где h = AB = OB – OA = l – l⋅cos α = l⋅(1 – cos α).

Из закона сохранения механической энергии следует, что
 

\[ \frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m+M\right)} = \left(m+M \right) \cdot g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right), \, \, \, 1-\cos \alpha = \frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m+M \right)^{2} \cdot g \cdot l}, \]

\[ \cos \alpha = 1-\frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m+M\right)^{2} \cdot g \cdot l}, \; \; \; \alpha = \arccos \left(1-\frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m+M\right)^{2} \cdot g \cdot l} \right).\;\;\; (2) \]

Примечание. Так как –1 ≤ cos α ≤ 1, то уравнение (2) можно применять если
 

\[ -1 \le 1-\frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m+M \right)^{2} \cdot g \cdot l}, \; \; \; \frac{m^{2} \cdot \upsilon ^{2}}{\left(m+ M \right)^{2} \cdot g \cdot l} \le 4. \]

Если это неравенство не выполняется, то угол α = 180°, и система совершает полный оборот.

[alsak]

239. Конькобежец массой M = 60 кг, стоя на льду, бросает в горизонтальном направлении шайбу массой m = 0,3 кг со скоростью υ = 40 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед μ = 0,004?

Подобная задача (с другими числовыми значениями) решена на форуме: Конькобежец на коньках бросает мяч.

Ответ. 0,5 м.