Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

236. С верхней точки наклонной плоскости длиной l = 18 м, образующей с горизонтом угол α = 30°, скользит тело массой m = 2,0 кг. Какое количество теплоты выделяется при трении тела о плоскость, если начальная скорость тела равна нулю, а у основания υ = 6 м/с?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания наклонной плоскости (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀ = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = l⋅sin α.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}. \]

На тело действует внешняя сила — сила трения скольжения. Количество теплоты, которое выделится при трении тела о плоскость, будет равно

Q = W₀ – W

или

\[ Q = m \cdot g \cdot l \cdot \sin \alpha -\frac{m \cdot \upsilon^2}{2} = m \cdot \left( g \cdot l \cdot \sin \alpha -\frac{\upsilon^2}{2} \right), \]

Q = 144 Дж.

[alsak]

237. Камень массой m = 20 г, выпущенный вертикально вверх из рогатки, резиновый жгут которой был растянут на Δl = 20 см, поднялся на высоту h = 40 м. Найти коэффициент упругости жгута. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находился вначале камень (рис. 1).
Полная механическая энергия камня в начальном состоянии
 

\[ W_{0} = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h.

Так как на камень не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха не учитывать), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h, \; \; \; k = \frac{2m \cdot g \cdot h}{\Delta l^{2}}, \]

k = 400 Н/м.

[alsak]

225. Тело массой m = 1 кг бросили с некоторой высоты с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с, направленной под углом α = 30° к горизонту. Определить кинетическую энергию тела через t₁ = 2 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 способ.
2 способ. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находилось тело вначале (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

\[ W_0 = \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h + W_k.

Высоту h найдем при помощи уравнения координаты на ось 0Y:
 

\[ y = y_{0} + \upsilon _{0y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2}, \]

где y₀ = 0, υ_0y = υ₀⋅sin α, g_y = –g. Через время t₁ = 2 с координата y = h. Тогда
 

\[ h = \upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot t_{1} -\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}. \]

Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h + W_{k}, \; \; \; W_{k} = m \cdot \left( \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2} - g \cdot h \right) = m \cdot \left( \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2} - g \cdot t_{1} \cdot \left( \upsilon _{0} \cdot \sin \alpha + \frac{g \cdot t_{1}}{2} \right) \right),
 \]

W_k = 200 Дж.

[alsak]

238. Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью υ₀ = 20 м/с, упало на землю через промежуток времени t₁ = 3 с. Определить кинетическую энергию тела в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 

\[ W_{0} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h_{0}. \]

Высоту h₀ найдем при помощи уравнения координаты на ось 0Y:
 

\[ y = y_{0} + \upsilon _{0y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2}, \]

где y₀ = h₀, υ_0y = 0, g_y = –g. Через время t₁ = 3 с координата y = 0 (тело упало на землю). Тогда
 

\[ 0 = h_{0} -\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; \; h_{0} = \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = W_k.

Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h_{0} = W_{k}, \; \; \; W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon_{0}^{2}}{2} + m \cdot g \cdot \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} + g^{2} \cdot t_{1}^{2} \right), \]

W_k = 650 Дж.

[alsak]

240. Деталь, обрабатываемая на станке, прижимается с силой F = 1⋅10³ Н к шлифовальному камню диаметром d = 4⋅10^–1 м. Какая мощность затрачивается на шлифовку, если коэффициент трения камня о деталь μ = 2⋅10^–1 и камень вращается с частотой ν = 2 Гц?

Решение. Так как шлифовальный камень вращается с постоянной частотой, то скорость камня остается постоянной и равной

υ = π⋅d⋅ν. (1)

Следовательно, мощность двигателя будет равна

P = F_d⋅υ, (2)

где F_d — сила тяги двигателя. Найдем эту силу. Предположим, что деталь лежит на шлифовальном камне, и сила, с которой ее прижимают к камню, является равнодействующей силы тяжести и внешней силы (иначе не хватает данных: массы детали).
На деталь действуют внешняя сила (F), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (F_tr) между деталью и камнем, и сила тяги двигателя (F_d). Запишите второй закон Ньютона.

\[ 0 = \vec{N}+\vec{F}+\vec F_d + \vec F_{tr}, \]

0Х: 0 = F_d – F_tr, 0Y: 0 = N – F,

где F_tr = μ⋅N, где N = F (проекции на ось 0Y). Тогда

F_d = F_tr = μ⋅F.

После подстановки полученного выражения и уравнения (1) в (2) получаем:

P = μ⋅F⋅υ = μ⋅F⋅π⋅d⋅ν,

P = 502 Вт.

Примечание. 1. В условии не указано мощность какой силы нужно найти: силы трения, силы F, … Приходится заниматься чуть ли не филологическими исследованиями (например, какая сила «затрачивается на шлифовку»?), чтобы определить, что же нужно искать.
2. Не указано, как расположена деталь относительно шлифовального камня: лежит на нем, прижимается сбоку, под углом, … Все это может существенно изменить решение задачи.

[alsak]

241. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости с высоты H = 1,2 м. Наклонная плоскость переходит в «мертвую петлю» (рис. 1). Найти работу силы трения, если известно, что сила, с которой действует тело на петлю в верхней точке, равна нулю, масса тела m = 10 г, радиус петли R = 0,4 м. Ускорение свободного падения g считать равным 10 м/с².

Решение. Так как сила, с которой тело действует на петлю в верхней точке В равна нулю, то и сила N, с которой петля будет действовать на тело, также будет равна нулю (из третьего закона Ньютона). Тогда в этой точке на тело действует только сила тяжести m⋅g (рис. 2). Запишем 2-й закон Ньютона.

\[ m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g}, \]

0Y: a = g,

где a = υ²/R. Тогда

υ²/R = g, υ² = g⋅R. (1)

Дальше воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту нижней точки окружности (см. рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = H.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h, \]

где h = 2R.
На тело действует внешняя сила — сила трения, которая и совершает работу А_v. Запишем закон изменения механической энергии, с учетом уравнения (1)

А_v = W – W₀,

\[ A_{v} = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h-m \cdot g \cdot h_{0} = \frac{m}{2} \cdot g \cdot R+m \cdot g \cdot 2R-m \cdot g \cdot H = m \cdot g \cdot \left(\frac{5R}{2} - H \right), \]

A_v = –0,02 Дж.

[alsak]

242. С какой наименьшей высоты должен скатываться велосипедист, не вращая педалей, чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиуса R = 4,0 м, не отрываясь от дорожки в верхней точке петли?

Решение. Найдем скорость велосипедиста в верхней точке В «мертвой петли» из уравнений динамики. В этой точке на велосипедиста действуют сила тяжести (m⋅g) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Запишем 2-й закон Ньютона.
 

\[ m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} + \vec{N}, \]

0Y: m⋅a = m⋅g + N,

где a = υ²/R, N > 0 (чтобы проехать по дорожке, не отрываясь). Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon^2}{R} = m \cdot g + N, \,\,\, \upsilon^2 = \left( g + \frac{N}{m} \right) \cdot R.\;\;\; (1) \]

Дальше воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту нижней точки окружности (см. рис. 1).
Полная механическая энергия велосипедиста в начальном состоянии равна

W = m⋅g⋅h₀.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h, \]

где h = 2R.
Так как на велосипедиста не действует внешняя сила (по умолчанию), то выполняется закон сохранения механической энергии. С учетом уравнения (1) получаем

W = W₀,

 

\[ m \cdot g \cdot h_{0} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h, \; \; \; h_{0} = \frac{1}{2g} \cdot \upsilon ^{2} + h = \frac{1}{2g} \cdot \left(g+\frac{N}{m} \right) \cdot R + 2R.\;\;\; (2) \]

Так как N > 0, то если мы уменьшим силу N до нуля, то мы уменьшим правую часть уравнения (2) и получим, что
 

\[ h_{0} > \frac{1}{2g} \cdot g \cdot R + 2R = \frac{5}{2} R \]

или

h_{0 min} = 5/2R,

h_{0 min} = 10 м.

Примечание. Данный ответ нарушает требования условия «не отрываясь от дорожки в верхней точке петли», т.к. мы взяли N = 0. Ответ можно дать h₀ > 10 м, но этим мы нарушим требования наименьшей высоты.

[alsak]

243. Груз массой m = 2 кг, падающий с высоты h = 5 м, проникает в мягкий грунт на глубину l = 5 см. Определить среднюю силу сопротивления грунта. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется груз в конечном состоянии (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀,

где h₀ = h + l.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0.

На груз действует внешняя сила F_c – средняя сила сопротивления грунта. Работа этой силы равна

A_v = F_c⋅Δr⋅cos α,

где Δr = l, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону движения груза).
Запишем закон изменения механической энергии

А_v = W – W₀,

или
 

\[ -F_c \cdot l =-m \cdot g \cdot \left( h + l \right), \,\,\, F_c = \frac{m \cdot g \cdot \left( h + l \right)}{l}, \]

F_c = 2⋅10³ Н.

[alsak]

244. В закрепленную вертикальную трубку вставлена невесомая пружина, верхний конец которой прикреплен к подвижному поршню массой М (рис. 1). Нижний конец пружины упирается в дно трубки. Пружина сжата до длины l и удерживается в сжатом состоянии с помощью защелки. На поршень положили шарик массой m. На какую высоту подскочит шарик, если освободить пружину, сдвинув защелку? Пружина в недеформированном состоянии имеет длину L. Жесткость пружины k. Трением пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится вначале шарик (рис. 2).
В задаче можно рассмотреть два процесса: 1) движение поршня вместе с шариком; 2) движение одного шарика.

Процесс 1: движение поршня вместе с шариком.
Полная механическая энергия системы поршень-шарик в начальном состоянии (рис. 2, а)

W₀ = k⋅Δl²/2,

где Δl = L – l.
Отрыв шарика от поршня произойдет в тот момент, когда пружина полностью выпрямится (дальше пружина начнет растягиваться и тормозить поршень).
Полная механическая энергия системы поршень-шарик в конечном состоянии (пружина полностью выпрямилась) (рис. 2, б)
 

\[ W=\left(m+M\right)\cdot g \cdot h_{1} +\frac{\left(m+M\right) \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},
 \]

где h₁ = L – l.
Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии (подробнее см. рис. 3):
 

\[ \frac{k \cdot \Delta l^{2} }{2} = \left(m+M\right) \cdot g \cdot h_{1} + \frac{\left(m+M\right) \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1}^{2} = \left(\frac{k \cdot \left(L-l\right)}{m+M} -2g \right) \cdot \left(L-l\right).\;\;\; (1) \]

Процесс 2: движение шарика.
Полная механическая энергия шарика в начальном состоянии (рис. 2, б)

W₀ = m⋅υ₁²/2 + m⋅g⋅h₁,

где h₁ = L – l.
Полная механическая энергия шарика в конечном состоянии (рис. 2, в)

W = m⋅g⋅h.

Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии (с учетом уравнения (1), подробнее см. рис. 4):
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot h_{1} = m \cdot g \cdot h, \, \, \, h = \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2g} +\left(L-l\right) = \frac{k \cdot \left(L-l\right)^{2}}{2g \cdot \left(m+M \right)}.
 \]

[alsak]

245. С какой начальной скоростью необходимо бросать вертикально вниз тело массой m = 2,0 кг, чтобы через t₁ = 1,0 с его кинетическая энергия W_k была равна 2,5 кДж? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 способ. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, где тело окажется через t₁ = 1,0 с (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 

\[ W_{0} =\frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} +m \cdot g \cdot h_{0}.
 \]

Высоту h₀ найдем при помощи уравнения координаты y:
 

\[ y = y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \]

где y₀ = h₀, υ_0y = –υ₀, g_y = –g. Через время t₁ = 1,0 с координата y = 0 (наш выбор нулевой высоты). Тогда
 

\[ 0 = h_{0} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2}, \; \; \; h_{0} = \upsilon _{0} \cdot t_{1} + \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = W_k.

Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} +m \cdot g \cdot h_{0} = W_{k}, \; \; \; \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} + m \cdot g \cdot \left(\upsilon _{0} \cdot t_{1} +\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} \right) = W_{k}, \]

\[ \upsilon _{0}^{2} + 2g \cdot \left(\upsilon _{0} \cdot t_{1} +\frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2} \right)-\frac{2W_{k} }{m} = \upsilon _{0}^{2} +2g \cdot t_{1} \cdot \upsilon _{0} +g^{2} \cdot t_{1}^{2} -\frac{2W_{k}}{m} = 0. \]

Получили квадратное уравнение, корни которого равны (учтем, что υ₀ > 0):
 

\[ \upsilon _{0} = -g \cdot t_{1} + \sqrt{g^{2} \cdot t_{1}^{2} - g^{2} \cdot t_{1}^{2} + \frac{2W_{k}}{m}} = \sqrt{\frac{2W_{k} }{m} } - g \cdot t_{1}, \]

υ₀ = 40 м/с.

2 способ.