В4. Вариант 1.К вершине гладкого прямого кругового конуса, который может вращаться с угловой скоростью ω = 7,0 рад/с вокруг своей оси, расположенной вертикально, прикреплен небольшой шарик (рис. 1). Угол при вершине конуса 2α = 120°. Если при вращении конуса, модуль силы натяжения нити в три раза больше модуля силы тяжести, действующей на шарик, то длина
l нити равна …
см.
Решение. На шарик действуют сила тяжести (
m⋅g), сила натяжения подвеса (
Т) и сила реакции опоры (конуса) (
N). Так как конус, а вместе с ним и шарик, вращаются с постоянной угловой скоростью ω, то есть только центростремительное ускорение
аc, направленное к центру вращения, горизонтально. Оси направим так, как показано на рис. 2. Из второго закона Ньютона:
\[ m \cdot \vec{a}_{c} = m \cdot \vec{g} + \vec{T} + \vec{N},
\]
0Y: 0 = –m⋅g + Т⋅cos α + Ny,
где
T = 3
m⋅g (по условию). Найдем
NyNy = m⋅g – Т⋅cos α.
Если подставить данные условия, то получаем, что
Ny < 0. Это указывает на то, что шарик не давит на конус, и угол наклона нити β > α. В этом случае на шарик действуют только сила тяжести (
m⋅g) и сила натяжения подвеса (
Т) (рис. 3). Из второго закона Ньютона:
\[ m \cdot \vec{a}_{c} = m \cdot \vec{g} + \vec{T}, \]
0X: m⋅aс = Т⋅sin β,
где
ac = ω
2⋅
R, R = l⋅sin β,
T = 3
m⋅g. Тогда
m⋅ ω2⋅l⋅sin β = 3m⋅g⋅sin β,
l = 3g/ω2,
l = 0,612 м =
61 см.
