Репетиционное тестирование 2 этап 2010/2011

[alsak]

В8. Вариант 1.
При подключении к источнику постоянного тока, внутреннее сопротивление которого r = 4 Ом, двух одинаковых резисторов во внешней цепи выделяется одна и та же мощность, как при последовательном, так и параллельном их соединении. Полное сопротивление R₀ цепи при параллельном соединении резисторов равно … Ом.

Решение. Мощность тока во внешней цепи равна
 

\[ P=I_{0}^{2} \cdot R_{0v} =\left(\frac{E}{R_{0v} +r} \right)^{2} \cdot R_{0v}, \]

где I₀ — общая сила тока цепи, R_0v — общее сопротивление внешней цепи. При последовательном соединении R_0v = 2R, при параллельном — R_0v = R/2 (т.к. резисторы одинаковые). По условию
 

\[ P_{1} =P_{2},\; \; \; \left(\frac{E}{2R+r} \right)^{2} \cdot 2R=\left(\frac{2E}{R+2r} \right)^{2} \cdot \frac{R}{2}, \]
\[ \left(\frac{1}{2R+r} \right)^{2} \cdot 2=\left(\frac{2}{R+2r} \right)^{2} \cdot \frac{1}{2}, \]

(2R + r)2 = (R + 2r)2,  2R + r = R + 2r, R = r.

Полное сопротивление всей цепи (это сумма общего сопротивления внешней цепи и внутренней) при параллельном соединении будет равно:

R₀ = R/2 + r,

R₀ = 6 Ом.

[djeki]

А1 Вариант 1,2
На рисунке изображены графики зависимости пути s от времени t для трех тел. Модули скоростей тел связаны соотношением:

Из графика зависимости пройденного пути от времени можно определить значение скорости. Поскольку
 \[ \upsilon =\frac{s}{t} \]
то скорость численно равна тангенсу угла наклона графика пути к оси времени.
Вариант 1
Ответ 1) υ₁ < υ₂ < υ₃
Вариант 2
Ответ 3) υ₃ < υ₂ < υ₃

[djeki]

А2 Вариант 1
Зависимость проекции скорости υх материальной точки, движущейся вдоль оси Ох, от времени t имеет вид υ_x=A + Bt, где А = 9,0 м/с, В = -2,0 м/с². За промежуток времени от t₁ = 1,0 с до t₂ = 3,0 с материальная точка совершила перемещение, проекция которого Δr_x на ось Ох равна:
А2 Вариант 2
Зависимость проекции скорости υх материальной точки, движущейся вдоль оси Ох, от времени t имеет вид υ_x=A + Bt, где А = 5,0 м/с, В = 1,0 м/с². За промежуток времени от t₁ = 2,0 с до t₂ = 4,0 с материальная точка совершила перемещение, проекция которого Δr_x на ось Ох равна:
Решение:
Запишем формулу мгновенной скорости для равноускоренного движения для момента времени t (в проекции на ось ОХ)

υ_х = υ_0х + а_х·t

Из сравнения с

υ_x=A + Bt

следует, что υ_0х = А, а_х = В
Координата тела при равноускоренном движении в момент времени t₂ и t₁ соответственно
\[ {{x}_{2}}={{\upsilon }_{0x}}\cdot {{t}_{2}}+\frac{{{a}_{x}}\cdot t_{2}^{2}}{2};{{x}_{1}}={{\upsilon }_{0x}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{{{a}_{x}}\cdot t_{1}^{2}}{2} \]
Учитывая, что

Δr = x₂ – x₁

Вариант 1
Ответ 1 Δr = 10 м
Вариант 2
Ответ 2 Δr = 16 м

[djeki]

А3 Вариант 1
Тело равномерно движется по окружности, радиус которой R = 5,1 м. За четверть периода вращения тело проходит путь s, равный:
А3 Вариант 2
Тело равномерно движется по окружности, радиус которой R = 3,3 м. Если период вращения тела T=2,0 с, то за промежуток времени Δt = 3 с тело проходит путь s, равный:
Решение:
При равномерном движении тела по окружности радиуса R линейная скорость
\[ \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T} \]
Тогда пройденный телом путь
\[ s=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T}\cdot \Delta t \]
Вариант 1
\[ s=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T}\cdot \frac{T}{4}=\frac{\pi \cdot R}{2} \]
Ответ 4 s = 8 м
Вариант 2
Ответ 4 s = 31 м

[djeki]

А4 Вариант 1
Если при помощи веревки можно равномерно поднимать груз, масса которого не превышает m₁ = 24 кг, то модуль максимального ускорения а, с которым на этой же веревке можно начать поднимать груз массой m₂ = 20 кг, равен:
А4 Вариант 2
Если на веревке удается поднять груз массой m₁ = 5 кг с максимальным ускорением, модуль которого а = 2 м/с², то с помощью этой же веревки равномерно можно поднять груз, масса которого не превысит m₂, равную:
Решение:
На груз действуют сила тяжести mg, сила натяжения веревки Т. Груз движется с ускорением а (см. рисунок)
По второму закону Ньютона

m·a = T - m·g

Если тело движется равномерно, то

T = m·g

Тогда
Вариант 1

m₂·a = T – m₂·g;

Натяжение веревки должно быть таким, как при равномерном подъеме

T = m₁·g

Следовательно
\[ a=\frac{g\cdot ({{m}_{1}}-{{m}_{2}})}{{{m}_{2}}} \]
Ответ 3 а = 2 м/с²
Вариант 2

m₁·a = T – m₁·g;
T = m₂·g

\[ {{m}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot (a+g)}{g} \]
Ответ 1 m₂ = 6 кг

[djeki]

А5 Вариант 1
Тело движется вдоль оси Ох. Если под действием постоянной силы, проекция которой F_x = 4,0 Н, в течение промежутка времени Δt = 2,0 с проекция импульса тела увеличилась до р_х = 20 кг м/с, то первоначальная проекция импульса р_ох равна:
А5 Вариант 2
Тело движется вдоль оси Ох. Если под действием постоянной силы, проекция которой F_x = 4,0 Н, в течение промежутка времени Δt = 1,5 с проекция импульса тела увеличилась до р_х = 20 кг м/с, то первоначальная проекция импульса р_ох равна:
Решение:
Для изменения импульса тела сила должна действовать некоторый промежуток времени
\[ \Delta \vec{p}=\vec{F}\cdot \Delta t \]
Поскольку тело движется вдоль оси Ох, то

p_x – p_0x = F·Δt;
 p_0x = p_x  - F·Δt

Вариант 1
Ответ 2 p_0x = 12 кг м/с
Вариант 2
Ответ 3 p_0x = 14 кг м/с

[djeki]

А6 Вариант 1
Координата х тела массой m = 2,0 кг, движущегося вдоль оси Ох, зависит от времени t по закону х = А + Bt + Сt², где А = 4 м, В = - 2,0 м/с, С = - 2,0 м/с². За промежуток времени от t₁ = 2,0 с до t₂ = 3,0 с изменение кинетической энергии ΔЕ_к тела равно:
А6 Вариант 2
Координата х тела массой m = 2,0 кг, движущегося вдоль оси Ох, зависит от времени t по закону х = А + Bt + Сt², где А = 8 м, В = - 4,0 м/с, С = - 1,0 м/с². За промежуток времени от t₁ = 2,0 с до t₂ = 3,0 с изменение кинетической энергии ΔЕ_к тела равно:
Решение:
Изменение кинетической энергии тела
\[ \Delta E=\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} \]
Зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
сравнивая это выражение с

х = А + Bt + Сt²

делаем вывод, что А = х₀ , В = υ_0х, с=а_х/2
Скорость тела при равноускоренном движении в любой момент времени можно посчитать как

υ_х = υ_0х + а_х·t

Вариант 1
υ_0х = -2 м/с, а_х = - 4 м/с², υ_1х = -10 м/с, υ_2х = -14 м/с, ΔЕ = 96 Дж
ответ 2
Вариант 2
υ_0х = -4 м/с, а_х = - 2 м/с², υ1х = -8 м/с, υ_2х = -10 м/с, ΔЕ = 36 Дж
ответ 2

[djeki]

А7 Вариант 1
Чтобы деревянный (ρ₁ = 0,60 г/см³) брусок полностью погрузился в воду(ρ₂ = 1,0 г/см³), на него необходимо положить груз, минимальная масса которого m = 0,24 кг. Если площадь основания бруска S = 80 см², то высота h бруска равна:
А7 Вариант 2
Чтобы деревянный брусок высотой h = 7,5 см полностью погрузился в воду (ρ_в = 1,0 г/см³), на него необходимо положить груз, минимальная масса которого m = 0,21. Если площадь основания бруска S = 70 см², то плотность дерева ρ₂ равна:
Решение:
Запишем условие равновесия деревянного бруска, когда на нем лежит груз

F_А = (m_б + m)·g

где m_б  - масса бруска, m – масса груза.
Выразим массу бруска через плотность и объем и раскроем скобки

ρ_в·g·V = ρ_б·V·g + m·g; V = S·h
ρ_в·g· S·h = ρ_б· S·h g + m·g;

Вариант 1
ρ₂·g· S·h = ρ₁· S·h g + m·g;
\[ h=\frac{m}{S\cdot ({{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}})} \]
Ответ 3 h = 7,5 см
Вариант 2

ρ_в·g· S·h = ρ₂· S·h g + m·g;

\[ {{\rho }_{2}}={{\rho }_{B}}-\frac{m}{S\cdot h} \]
Ответ 3 ρ₂ = 0,6 кг/м³

[djeki]

А8 Вариант 1
С идеальным газом, количество вещества которого постоянно, проводят циклический процесс, изображенный на рисунке. Изобарному расширению газа соответствует участок графика:
А8 Вариант 2
С идеальным газом, количество вещества которого постоянно, проводят циклический процесс, изображенный на рисунке. Изобарному сжатию газа соответствует участок графика:
Решение:
Изобарный процесс – проходящий при постоянном давлении
Вариант 1
Расширение газа подразумевает увеличение объема. Давление газа постоянно, при увеличивающемся объеме на участке 1 → 2
Ответ 1
Вариант 2
Давление газа постоянно, при уменьшении  объема на участке 4 → 5
Ответ 4

[djeki]

А9 Вариант 1
Молярная масса алюминия М = 27,0 г/моль, его плотность ρ = 2,70 г/см³ Если однородный кусок алюминия содержит N = 30,1·10²³ атомов, то объем V куска равен:
А9 Вариант 2
Молярная масса алюминия М = 27,0 г/моль, его плотность ρ = 2,70 г/см³. Если объем однородного куска алюминия V = 15,0 см³, то число атомов N,
содержащихся в нем, равно:
Решение:
Число атомов алюминия определим по формуле
\[ \begin{align}
  & N=\frac{m}{M}\cdot {{N}_{A}};m=\rho \cdot V \\
 & N=\frac{\rho \cdot V}{M}\cdot {{N}_{A}} \\
\end{align}
 \]
Тогда
Вариант 1
\[ V=\frac{M\cdot N}{\rho \cdot {{N}_{A}}} \]
Ответ 3 V = 50 см³
Вариант 2
N = 9,03·10²³