При упругом ударе выполняется и закон сохранения импульса системы, и закон сохранения механической энергии. Введем следующие обозначения:
m1,
m2 — массы атомов гелия и водорода соответственно, υ
10 и υ
1 — скорости атома гелия до столкновения и после, υ
2 — скорость атома водорода после столкновения.
Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара второе тело (атом водорода) начнет двигаться вправо, куда будет двигаться атом гелия мы не знаем (рис. 1):
0X: m1⋅υ10 = m1⋅υ1x + m2⋅υ2, (1)
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{10}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1x}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \] или
m1⋅υ102 = m1⋅υ1x2 + m2⋅υ22. (2)
Решим систему двух уравнений. Например, выразим скорость υ
2 из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):
\[ \upsilon_{2} = \frac{m_{1} \cdot \left(\upsilon_{10} - \upsilon_{1x} \right)}{m_{2}}, \, \, \, m_{1} \cdot \upsilon_{10}^{2} = m_{1} \cdot \upsilon_{1x}^{2} + m_{2} \cdot \frac{m_{1}^{2} \cdot \left(\upsilon_{10} - \upsilon_{1x} \right)^{2}}{m_{2}^{2}}, \]
(m12 + m1⋅m2)⋅υ1x2 – 2m12⋅υ10⋅υ1x + (m12 – m1⋅m2)⋅υ102 = 0.
Учтем, что по условию
m1 = 4
m2:
20m2⋅υ1x2 – 32m12⋅υ10⋅υ1x + 12m2⋅υ102 = 0,
5υ1x2 – 8υ10⋅υ1x + 3υ102 = 0,
\[ \upsilon_{1x} = \frac{4 \upsilon_{10} \pm \sqrt{16 \upsilon_{10}^{2} - 15\upsilon_{10}^{2}}}{5} = \frac{4\upsilon_{10} \pm \upsilon_{10}}{5}, \]
m1⋅m2⋅υ102 = m1⋅m2⋅υ1x2 + m12⋅(υ10 – υ1x)2,
υ1x = 0,6υ10 или υ1x = υ10.
Второй ответ не возможен, так как в этом случае υ
2 = 0 (атом водорода не сдвинется). Тогда
\[ \frac{\upsilon_{10}}{\upsilon_{1x}} = \frac{1}{0,6} = \frac{5}{3}. \]
Ответ. Скорость атома гелия уменьшится в 5/3 раза.
