В9 Вариант 6Электростатическое поле создано двумя равными одноименными точечными зарядами, расположенными в двух вершинах равностороннего треугольника. Если модуль напряженности и потенциал поля в третьей вершине треугольника
E = 300 В/м и φ = –60,0 В соответственно, то длина
a его стороны равна …
мм.
Решение. В третьей вершине (точке
С) электрическое поле создано двумя зарядами
q, расположенных в точках
A и
B (рис.). Потенциал электрического поля в точке
С найдем по формуле
φ = φ1 + φ2,
где φ
1 и φ
2 – потенциалы электростатического поля в точке
С, созданные каждым точечным зарядом
q, и равные
φ1 = φ2 = k⋅q/a.
Тогда общий потенциал найдем по формуле
φ = 2k⋅q/a (1).
Так как по условию потенциал меньше нуля, то заряды
q отрицательные.
Результирующая напряженность полей в точке
С (см. рис.) найдем по формуле
\[ \vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}, \]
где
Е1 и
Е2 – напряженности полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом
q, и равными
E1 = E2 = k⋅q/a2.
Модуль вектора
Е найдем, воспользовавшись теоремой косинусов
\[ E = \sqrt{E_{1}^{2} + E_{2}^{2} - 2E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos \beta}, \]
где учтем, что угол α = 60° (равносторонний треугольник), а угол β найдем по формуле
cos β = cos (180° – α) = –cos α = –1/2.
Тогда для
Е получаем уравнение
\[ E = \sqrt{2E_{1}^{2} + 2E_{1} \cdot E_{2} \cdot \frac{1}{2}} =
E_{1} \sqrt{3} = \frac{k \cdot q \sqrt{3}}{a^{2}} \, \, (2). \]
Решим систему уравнений (1) и (2) относительно стороны
а. Например,
\[ \frac{\phi}{E} = \frac{2k \cdot q}{a} \cdot \frac{a^{2}}{k \cdot q \sqrt{3}} =
\frac{2a}{\sqrt{3}}, \, \, a = \frac{\phi \sqrt{3}}{2E}, \, \,
a = \frac{\sqrt{3}}{10} \approx 0,173. \]
Ответ.
173 мм.
