Найдем ускорение системы труба-поршень общей массы
M на наклонной плоскости. На систему действуют сила тяжести (
M⋅g), сила реакции опоры (
N), сила трения скольжения (
Ftr). Из проекции второго закона Ньютона (рис. 1):
0X: M⋅a = M⋅g⋅sin α – Ftr, (1)
0Y: 0 = N – M⋅g⋅cos α, (2)
где
Ftr = μ⋅
N,
N = M⋅g⋅cos α (из уравнения (2)). Тогда из уравнения (1) получаем
M⋅a = M⋅g⋅sin α – μ⋅M⋅g⋅cos α,
a = g⋅(sin α – μ⋅cos α). (3)
Рассмотрим силы, действующие на поршень: сила тяжести (
m⋅g), сила реакции опоры (
N1), сила давления газа слева (
F1 =
p1⋅
S) и сила давления газа справа (
F2 =
p2⋅
S) (рис. 2). Запишем проекцию второго закона Ньютона и выразим из него давление
p1:
0X: m⋅a = m⋅g⋅sin α – p1⋅S + p2⋅S,
\[ p_{1} = \frac{m \cdot \left(g \cdot \sin \alpha - a \right)}{S} + p_{2} = \Delta p + p_{2},\;\;\; (4) \]
где c учетом уравнения (3)
\[ \Delta p = \frac{m \cdot \left(g \cdot \sin \alpha - a \right)}{S} = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S}. \] (5)
Пусть 2
V — объем воздуха во всей трубе, тогда
V — это объем воздуха слева и справа от поршня в горизонтальном положении (поршень занимает среднее положение),
2V = V1 + V2 или V = (V1 + V2)/2. (6)
Запишем уравнения Бойля-Мариотта (изотермический процесс) для воздуха:
слева от поршня p⋅V = p1⋅V1, (7)
справа от поршня p⋅V = p2⋅V2. (8 )
Решим систему уравнений (4), (6)-(8 ). Например,
\[ p_{2} = \frac{p \cdot V}{V_{2}} = \frac{p}{V_{2}} \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2}.
\]
\[ p \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2} = \left(\Delta p + p_{2} \right) \cdot V_{1} = \Delta p \cdot V_{1} + p_{2} \cdot V_{1} = \Delta p \cdot V_{1} + \frac{p}{V_{2}} \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2} \cdot V_{1}, \]
\[ V_{2}^{2} - \frac{2 \Delta p \cdot V_{1}}{p} \cdot V_{2} - V_{1}^{2} = 0. \]
Найдем корни квадратного уравнения и учтем, что объем
V2 > 0:
\[ V_{2} = V_{1} \cdot \left(\frac{\Delta p}{p} + \sqrt{\left(\frac{\Delta p}{p} \right)^{2} + 1} \right). \]
Тогда с учетом уравнения (5) получаем
\[ \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{\Delta p}{p} + \sqrt{\left(\frac{\Delta p}{p} \right)^{2} + 1} = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S \cdot p} + \sqrt{\left(\frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S \cdot p} \right)^{2} + 1}, \]
V2/V1 = 1,2.
