1 способ: динамический.
Изобразим силы, действующие на
шайбу: сила тяжести шайбы (
m⋅g), сила реакции опоры (
N1) и сила трения (
Ftr1) (рис. 1). Скорость шайбы будет уменьшаться, поэтому ускорение
a1 направлено в противоположную сторону скорости.
Изобразим силы, действующие на
доску: сила тяжести доски (
M⋅g), сила реакции опоры (
N2). Еще две силы возникают в результате взаимодействия шайбы и доски: 1) сила давления шайбы на доску (
P1) (по третьему закону Ньютона, с какой силой шайба давит на доску, с такой силой доска действует на шайбу, т.е. численно
P1 =
N1, но эти силы направлены в противоположные стороны); 2) сила трения между шайбой и доской (
Ftr2) (по третьему закону Ньютона, эти силы равны по величине, но противоположны по направлению, т.е.
Ftr1 =
Ftr2) (рис. 2). Скорость доски будет увеличиваться (равнодействующая сил направлена вправо), поэтому ускорение
a2 направлено вправо.
Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (рис. 3):
\[ m \cdot \vec{a}_{1} = m \cdot \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{tr1}, \, \, \, M \cdot \vec{a}_{2} = M \cdot \vec{g}+ \vec{N}_{2} + \vec{F}_{tr2} + \vec{P}_{1}, \]
0Y: 0 = N1 – m⋅g, N1 = m⋅g,
0X: –m⋅a1 = –Ftr1, M⋅a2 = Ftr2,
где
Ftr1 =
Ftr2 = μ⋅
N1 = μ⋅
m⋅g. Тогда ускорения тел будут равны
m⋅a1 = μ⋅m⋅g, a1 = μ⋅g, (1)
\[ M \cdot a_{2} = \mu \cdot m \cdot g, \; \; \; a_{2} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{M}.\;\;\; (2) \]
Шайба перестанет скользить по доске, когда сравняются скорости шайбы и доски (υ
1 = υ
2). Запишем уравнения скоростей этих тел:
υ1x = υ01x + a1x⋅t, υ2x = υ02x + a2x⋅t,
где υ
1x = υ
1, υ
01x = υ
0,
a1x = –
a1, υ
2x = υ
2, υ
02x = 0, a
2x =
a2. Тогда
υ1 = υ0 – a1⋅t, υ2 = a2⋅t.
Найдем время
t1, когда υ
1 = υ
2, с учетом уравнений (1) и (2):
υ0 – a1⋅t1 = a2⋅t1,
\[ t_{1} = \frac{\upsilon_{0}}{a_{1} + a_{2}} = \frac{\upsilon_{0}}{\mu \cdot g + \mu \cdot m \cdot g /M} = \frac{\upsilon_{0} \cdot M}{\mu \cdot g \cdot \left(M + m \right)}, \]
t1 = 0,8 c.
