В4 Вариант 1Два стальных шара малого радиуса без начальной скорости падают друг за другом по одной вертикали на стальную плиту большой массы с высоты
H = 4 м. Масса нижнего шара
M = 0,5 кг, верхнего —
m = 0,3 кг. Если считать, что расстояние между шарами при движении вниз мало и в результате соударений полная механическая энергия не изменится, то после первого соударения шаров верхний поднимется на максимальную высоту
h, равную …
м.
Решение. Так как в результате соударений полная механическая энергия не изменится, то наблюдается упругий удар, для которого выполняется и закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.
1 процесс: движение двух шаров вниз (рис. 1, а, б). Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность плиты.
В начальный момент энергия одного из шаров
W01 = m⋅g⋅H,
в конечный
W1 = m⋅υ12/2.
Тогда
m⋅g⋅H = m⋅υ12/2, υ12 = 2g⋅H. (1)
Такая же скорость будет и у второго шара.
2 процесс: столкновение нижнего шара с плитой. Так как удар упругий, то нижний шар после удара будет иметь такую же по величину скорость, но направленную вверх (рис. 1, в).
3 процесс: столкновение нижнего и верхнего шаров (рис. 1, в, г). Используем и закон сохранения энергии, и закон сохранения импульса:
\[ m \cdot \vec{\upsilon}_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{1} = m \cdot \vec{\upsilon }_{2} + M \cdot \vec{\upsilon }_{3}, \; \; \; \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{3}^{2}}{2}, \]
-m⋅υ1 + M⋅υ1 = m⋅υ2 + M⋅υ3x, (2)
m⋅υ12 + M⋅υ12 = m⋅υ22 + M⋅υ32, (3)
направление скорости υ
3x нам неизвестно.
Решим систему уравнений (2) и (3) и найдем υ
2. Например,
\[ \upsilon_{3x} = \frac{\left(M - m \right) \cdot \upsilon_{1} - m \cdot \upsilon _{2}}{M}, \]
\[ \left(m + M\right) \cdot \upsilon _{1}^{2} = m \cdot \upsilon _{2}^{2} + M \cdot \left(\frac{\left(M - m \right) \cdot \upsilon _{1} - m \cdot \upsilon _{2}}{M} \right)^{2}. \]
После преобразований (подробнее см. рис. 2) получаем квадратное уравнение
\[ \upsilon _{2}^{2} - \frac{2 \left(M - m\right)}{M + m} \cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} -\frac{3M - m}{M + m} \cdot \upsilon _{1}^{2} = 0. \]
Найдем корни квадратного уравнения и учтем, что υ
2 >0 (по условию «после первого соударения шаров верхний поднимется») (подробнее см. рис. 3)
\[ \upsilon _{2} = \upsilon _{1} \cdot \frac{3M - m}{M + m}.\;\;\; (4) \]
4 процесс: движение верхнего шара вверх (рис. 1, г, д) (движение нижнего шара мы не рассматриваем). Воспользуемся законом сохранения энергии.
В начальный момент энергия шара
W02 = m⋅υ22/2,
в конечный
W2 = m⋅g⋅h,
Тогда
m⋅υ22/2 = m⋅g⋅h, h = υ22/2g.
Подставим в полученное выражение уравнения (4) и (1)
\[ h = \frac{1}{2g} \cdot \upsilon _{1}^{2} \cdot \left(\frac{3M - m}{M + m} \right)^{2} = \frac{1}{2g} \cdot 2g \cdot H \cdot \left(\frac{3M - m}{M + m} \right)^{2} = H \cdot \left(\frac{3M - m}{M + m} \right)^{2}, \]
h = 9 м.
