Найти первоначальное расстояние между предметом и экраном.

[vlados92]

Здравствуйте, помогите решить задачу.

Собирающая линза дает изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Экран придвинули к предмету на 20 см, затем переместили линзу так, что изображение предмета на экране получилось в натуральную величину. Найти первоначальное расстояние между предметом и экраном.

[Kivir]

Воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения:

\[ \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}, \;\;\; \Gamma =\frac{f}{d}. \]

Здесь d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения.
Искомое расстояние:  L=d+f.
1 случай: 

\[ 4=\frac{f}{d}, \;\;\; d=4f, \;\;\; \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{4d}=\frac{5}{4d}. \]

2 случай:

\[ 1=\frac{f_{1}}{d_{1}}, \;\;\; d_1=f_1, \;\;\; \frac{1}{F}=\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{1}}=\frac{2}{d_{1}}. \]

Приравняем:

\[ \frac{5}{4d}=\frac{2}{{{d}_{1}}}, \;\;\; {{d}_{1}}=\frac{8d}{5}. \]

Согласно условия: 

d+f – x= d₁+f₁.  d+4d – x= d₁+d₁ ,  5d – x= 2d₁.

Подставим d₁: 

\[ 5d-x=2\cdot \frac{8d}{5}, \;\;\; d=\frac{5x}{9}, \;\;\; f=4\cdot \frac{5x}{9}. \]

\[ L=d+f=\frac{5x}{9}+\frac{20x}{9}=\frac{25x}{9}=\frac{25\cdot 0,2}{9}=\frac{5}{9}. \]

Ответ. 5/9 м.