Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

553. В вакууме между пластинами заряженного плоского конденсатора находится в состоянии равновесия заряженный шарик. Найти ускорение, с которым будет двигаться этот шарик после увеличения расстояния между пластинами на 10%. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести (m⋅g) и сила (F), с которой электростатическое поле пластин конденсатора действует на заряженное тело. При расстоянии d₁ между пластин шарик неподвижен (поэтому сила F должна компенсировать силу тяжести, следовательно, направлена вверх) (рис. 1), при расстоянии d₂ двигается с ускорением (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для каждого случая:
\[ 0=\vec{F}_{1} +m\cdot \vec{g}, \; \; \; m\cdot \vec{a}=\vec{F}_{2} +m\cdot \vec{g}, \]

0Y: 0 = F₁ – m⋅g,    m⋅a_y = F₂ – m⋅g. (1)

Пусть q — заряд частицы. Тогда (см. примечание)
\[ F_{1} =q\cdot E_{1} =q\cdot \frac{U}{d_{1}}, \;\;\; F_{2} =q\cdot \frac{U}{d_{2}}, \]
где d₂ = 1,1d₁ (по условию, расстояние между пластинами увеличилось на 10%). После подстановки в уравнения (1) получаем
\[ q\cdot \frac{U_{1} }{d} -m\cdot g=0, \; \; \; q\cdot U=m\cdot g\cdot d_{1}, \]
\[ m\cdot a_{y} =q\cdot U\cdot \frac{1}{d_{2} } -m\cdot g=\frac{m\cdot g\cdot d_{1} }{d_{2}} -m\cdot g, \]
\[ a_{y} =\left(\frac{d_{1} }{d_{2} } -1\right)\cdot g=\left(\frac{d_{1} }{1,1d_{1} } -1\right)\cdot g=-\frac{g}{11}, \]
a_y = –0,91 м/с². Знак «–» указывает, что ускорение направлено против оси 0Y, т.е. вниз.

Примечание. В условии задачи не указано подключен ли конденсатор к источнику тока или нет. Если не подключен, то изменение расстояний между пластинами не изменит напряженность поля между ними (у отключенного конденсатора заряд пластин не изменяется, а напряженность поля пластин не зависит от расстояния), и шарик останется в равновесии. Если подключен, то постоянным остается напряжение на пластинах, но изменяется напряженность поля, и сила, действующая на шарик.

[alsak]

565. Шарик массой m = 2 г, имеющий положительный заряд q, начинает скользить без начальной скорости из точки А по сферической поверхности радиуса R = 10 см (рис. 1). Потенциальная энергия взаимодействия заряда q и неподвижного отрицательного заряда Q в начальный момент W_A = –2∙10^–3 Дж. Определить потенциальную энергию взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В, если в этом случае результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F = 0,1 Н. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с². Трением между шариком и сферической поверхностью пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится точка В (рис. 2).
Полная энергия системы шарик-заряд Q в начальном состоянии

W₀ = m⋅g⋅h₀ + W_A,

где h₀ = R.
Полная энергия системы шарик-заряд Q в конечном состоянии
\[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} +W_{B}, \]
где υ — скорость шарика в точке В, W_B — потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В. Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения энергии:
\[ m\cdot g\cdot R+W_{A} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{B}, \; \; \; W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{A}. \; \; \; (1)  \]

На шарик действуют сила тяжести (m⋅g), сила кулоновского взаимодействия (F_k) и сила реакции опоры (N) (см. рис. 2). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0Y:

m⋅a_c = N – m⋅g – F_k,

где a_c = υ²/R, N – F_k = F (по условию «результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F»). Тогда
\[ m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} =F-m\cdot g, \; \; \; m\cdot \upsilon ^{2} =R\cdot \left(F-m\cdot g\right).  \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{R\cdot \left(F-m\cdot g\right)}{2} +W_{A} =\frac{3m\cdot g-F}{2} \cdot R+W_{A}, \]
W_B = –4⋅10^–3 Дж.

[alsak]

567. Атом неона ионизируется при столкновении с электроном, если энергия электрона W = 21,6 эВ (энергия ионизации). Длина свободного пробега электрона в неоновой лампе между двумя последовательными соударениями l = 1 мм. Расстояние между плоскими электродами лампы d = 1 см. Определить напряжение, при котором зажигается неоновая лампа (будет происходить процесс ионизации). Считать, что при ударе электрон полностью передает энергию атому неона. Заряд электрона e = 1,6⋅10^–19 Кл, 1 эВ = 1,6⋅10^–19 Дж.

Решение. Работа электростатического поля по перемещению электрона вдоль силовой линии равна

A = q⋅E⋅Δx,

где q = –e — заряд электрона, Δx = –l — электрон перемещается в противоположную сторону силой линии, E = U/d. Тогда
\[ A=e\cdot \frac{U}{d} \cdot l. \; \; \; (1) \]
Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона

A = ΔW = W_k – W_k0 = W_k,   (2)

так как при ударе электрон полностью передает энергию, т.е. останавливается, и электрическое поле дальше разгоняет электрон с нулевой скорости.
Неоновая лампа начнет светиться (будет происходить процесс ионизации), если электрическое поле в лампе сообщит электрону энергию не меньше W, т.е.

W_k ≥ W.

С учетом уравнения (1) получаем
\[ e\cdot \frac{U}{d} \cdot l\ge W, \; \; \; U\ge \frac{W\cdot d}{e\cdot l}, \]
U ≥ 216 В.

[alsak]

539. Какой электрический заряд пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора, при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора S = 150 см², расстояние между пластинами d = 5,0 мм, ЭДС аккумулятора E = 9,42 В, диэлектрическая проницаемость керосина ε₂ = 2,1.

Решение. Погружение конденсатора в керосин приведет к изменению диэлектрика конденсатора и, следовательно, к изменению его электроемкости. Запишем уравнения для электроемкости плоского конденсатора с воздухом (ε₁ = 1) и с керосином (ε₂):
\[ C_{1} \; =\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} ,\; \; \; C_{2} \; =\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \;\;\; (1) \]
(остальные параметры конденсатора не изменились).

Заряды на конденсаторе будут равны:

q₁ = C₁⋅U,   q₂ = C₂⋅U,   (2)

где напряжение на конденсаторах не изменилось, т.к. конденсатор подключен к зажимам аккумулятора, и U = E (сопротивлением аккумулятора, по умолчанию, пренебрегаем). Так как электроемкость конденсатора увеличилась, то увеличится и заряд на нем. Этот заряд конденсатор получит от аккумулятора, и он будет равен

Δq = q₂ – q₁.

С учетом уравнений (1)-(2) получаем
\[ \Delta q=\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E-\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E=\left(\varepsilon _{2} -\varepsilon _{1} \right)\cdot \frac{{\rm \; }\varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E, \]
Δq = 2,5⋅10^–10 Кл.

[alsak]

545. На рис. 1 показана электрическая цепь, в которой напряжение источника U = 10 В, а конденсаторы С₁ и С₂ имеют одинаковую емкость: С₁ = С₂ = С = 10 мкФ. Какой заряд пройдет через источник после замыкания ключа К? Каким станет при этом заряд конденсатора С₁?

Решение. До замыкания ключа два конденсатора соединены последовательно (рис. 2), поэтому общая электроемкость цепи C₀₁ будет равна
\[ \frac{1}{C_{01} } =\frac{1}{C_{1} } +\frac{1}{C_{2} }, \; \; \; C_{01} =\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2}}. \]
Их общий заряд
\[ q_{01} =C_{01} \cdot U=\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \cdot U.  \]

После замыкания ключа конденсатор C₁ будет закорочен (обкладки конденсатора замкнуты проводом с нулевым сопротивлением), поэтому напряжение и заряд на нем равны нулю. Общая электроемкость цепи C₀₂ (рис. 3) и общий заряд q₀₂ равны

C₀₂ = C₂, q₀₂ = C₂⋅U.

Тогда через источник тока пройдет заряд
\[ \Delta q=\left|q_{02} -q_{01} \right|=\left|C_{2} -\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \right|\cdot U=\frac{C_{2}^{2} \cdot U}{C_{1} +C_{2}}, \]
Δq = 5,0⋅10^–5 Кл, q₁ = 0.

[alsak]

533. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: два из них положительные и два отрицательные, модули зарядов одинаковы и равны q. Определить напряженность электростатического поля в точке пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возможные случаи.

Из геометрии. 1) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
2) Точка пересечения диагоналей O лежит на одинаковом расстоянии b от вершин квадрата.

Решение. В точке O электрическое поле создано несколькими зарядами q₁, q₂, q₃, q₄. Результирующая напряженность полей в точке О будет равна
\[ \vec{E}_{O} =\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} +\vec{E}_{3} +\vec{E}_{4}, \]
где
\[ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}, \;\;\; E_{1} =E_{2} =E_{3} =E_{4} =\frac{k\cdot q}{b^{2}} = \frac{2k\cdot q}{a^{2}} \; \; \; (1) \]
(так как модули всех зарядов одинаковы и находятся на одном и том же расстоянии от точки О).

1 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 1. Вектора E₁ и E₄ равны по величине, противоположны по направлению, следовательно, их векторная сумма равна нулю. Аналогично для векторов E₂ и E₃. Тогда

E_O = 0.

2 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 2. Вектора E₁ и E₄ равны по величине, и направлены в одну сторону, следовательно, их сумма равна 2E₁. Аналогично получаем, что сумма E₂ и E₃ равна 2E₂ (рис. 3). Тогда E_O — это диагональ квадрата OBCA и ее значение равно (с учетом уравнения (1) 2E₂ = 2E₁)
\[ E_{O} =\sqrt{\left(2E_{1} \right)^{2} +\left(2E_{2} \right)^{2}} =2E_{1} \cdot \sqrt{2} = \frac{4k\cdot q\cdot \sqrt{2} }{a^{2}}. \]

Все остальные расположения зарядов будут аналогичны или случаю 1, или случаю 2.

[andrey]

Интересует решение номера 550,551

[alsak]

550. Шар, диаметр которого d = 1 см и заряд q = 1∙10^–6 Кл, помещен в масло плотностью ρ₁ = 0,8∙10³ кг/м³. Плотность материала шара ρ₂ = 8,6∙10³ кг/м³. Определить направленную вертикально вверх напряженность электростатического поля, в которое надо поместить шар, чтобы он плавал в масле.

Решение. На шар действуют сила тяжести (m∙g), кулоновская сила (F_k), Архимедова сила (F_A). Запишем второй закон Ньютона для плавающего тела (рис. 1):
\[0=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} +\vec{F}_{A} ,\]

0Y: 0 = –m∙g + F_k + F_A,

где m = ρ₂∙V, F_A = ρ₁∙g∙V (считаем, что шар полностью в масле), F_k = q∙E, V = 4/3π∙R³ = 1/6π∙d³.

0 = –ρ₂∙V∙g + ρ₁∙g∙V + q∙E,

\[E=\frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot V=\frac{1}{6} \pi \cdot \frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot d^{3},\]
E = 4,1∙10⁴ В/м.

[alsak]

551. Как изменится ускорение падающего шарика массой m = 4,0 г, если ему сообщить заряд q = 3,2∙10^–8 Кл? Напряженность электрического поля Земли Е = 120 В/м и направлена вертикально вниз.

Решение. Когда шарик был без заряда, на него действовала только сила тяжести (m∙g), и ускорение шарика равнялось g (ускорение направленно вниз). В электрическом поле на шарик действуют сила тяжести (m∙g) и кулоновская сила, которая направлена вниз (т.к. напряженность направлена вниз, а заряд положительный) (F_k). Запишем второй закон Ньютона для шарика (считаем, что ускорение будет направлено вниз) (рис. 1):
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} ,\]

0Y: m∙a = m∙g + F_k,

где F_k = q∙E. Изменение ускорение

Δa = a – g

или
\[\Delta a=a-g=\frac{m\cdot g+q\cdot E}{m} -g=\frac{q\cdot E}{m} ,\]
Δa = 9,6∙10^–4 м/с². Увеличится.

[andrey]

Если можно решение задач 532,560. Спасибо.