Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

532. Два разноименных заряда, модули которых   одинаковы и равны 1,8∙10^–8 Кл, расположены в двух вершинах правильного треугольника со стороной a = 2,0 м. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в третьей вершине треугольника. Окружающая среда — воздух (ε = 1).

Решение. В правильном треугольнике все стороны равны a, а углы при вершине α = 60°. Пусть q₁ = q, q₂ = –q (два разноименных заряда, модули которых   одинаковы).
В третьей вершине треугольника (точке С) электрическое поле создано двумя зарядами q₁ и q₂, расположенных в точках A и B (рис. 1). Потенциал электрического поля в точке С найдем по принципу суперпозиции:
\[\varphi =\varphi _{1} +\varphi _{2} =\frac{k\cdot q_{1} }{a} +\frac{k\cdot q_{2} }{a} =\frac{k\cdot q}{a} -\frac{k\cdot q}{a} =0,\]
где φ₁ и φ₂ — потенциалы электростатического поля в точке С, созданные зарядами q₁ и q₂.

Результирующая напряженность полей в точке С (см. рис. 1) найдем так же по принципу суперпозиции
\[\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} ,\; \; \; E_{1} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|}{a^{2} } =k\cdot \frac{q}{a^{2} } ,\; \; \; E_{2} =k\cdot \frac{\left|q_{2} \right|}{a^{2} } =k\cdot \frac{q}{a^{2} } ,\; \; \; E_{1} =E_{2} ,\]
где Е₁ и Е₂ — напряженности полей в точке С, созданные зарядами q₁ и q₂.
Значение вектора Е найдем из ΔCDF по теореме косинусов (учтем, что угол α = 60°):
\[E=\sqrt{E_{1}^{2} +E_{2}^{2} -2E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos \alpha } =\sqrt{2E_{1}^{2} -2E_{1}^{2} \cdot \frac{1}{2} } =E_{1} =\frac{k\cdot q}{a^{2} },\]
E = 40,5 В/м.

[alsak]

560. Электрон, двигаясь в вакууме по силовой линии электрического поля, полностью теряет свою скорость между точками с разностью потенциалов U = 400 В. Определить, какой была скорость электрона, когда он попал в электрическое поле. Заряд электрона e = 1,6∙10^–19 Кл, масса электрона m_е = 9,1∙10^–31 кг.

Решение. Скорость электрона уменьшается под действием электростатического поля. Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона, т.е.

A = ΔW_k = W_k – W_k0,

где W_k = 0, т.к. электрон останавливается,  \( W_{k0} =\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2}. \)

Работа электростатического поля при перемещении заряда q от одной точки к другой связана с разностью потенциалов U между этими точках соотношением

A = q∙U,

где q = –e. Тогда
\[-e\cdot U=-\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{0} =\sqrt{\frac{2e\cdot U}{m_{e}}},\]
υ₀ = 1,2∙10⁷ м/с.
Примечание. Эта скорость составляет 1/25 часть скорости света, поэтому релятивистские эффекты не будем учитывать.

[andrey]

571.572.573 Спасибо

[alsak]

571. На плоский воздушный конденсатор подается напряжение U₁ = 2,0 кВ. Площадь каждой пластины S = 0,24 м², расстояние между ними d₁ = 50 мм. После зарядки конденсатор отключают от источника и затем раздвигают его обкладки так, что расстояние d₂ между ними становится равным 1,5 см. Определить работу, совершенную при раздвигании обкладок конденсатора.

Решение. Так как при раздвигании обкладок конденсатор отключают от источника, то на конденсаторе не изменяется электрический заряд. Исходя из этого найдем напряжение U₂:

q = C₁∙U₁ = C₂∙U₂,

\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d}, \; \; \; U_{2} =\frac{C_{1} }{C_{2} } \cdot U_{1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{d_{2} }{\varepsilon _{0} \cdot S} \cdot U_{1} =\frac{d_{2} }{d_{1} } \cdot U_{1}, \;\;\; (1) \]
где ε = 1 (конденсатор воздушный).
Работа по раздвиганию обкладок конденсатора — это работа внешних сил. Она равна изменению энергии конденсатора при раздвигании:

А = ΔW = W₂ – W₁,

где (с учетом уравнения (1))
\[W_{1} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{U_{1}^{2} }{2} ,\; \; \; W_{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{2} } \cdot \frac{U_{2}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot d_{2} \cdot U_{1}^{2} }{2d_{1}^{2} } .\]
Тогда
\[A=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot d_{2} \cdot U_{1}^{2} }{2d_{1}^{2} } -\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d_{1} } \cdot \frac{U_{1}^{2} }{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot U_{1}^{2} }{2d_{1} } \cdot \left(\frac{d_{2} }{d_{1} } -1\right),\]
A = 1,7∙10^–3 Дж.

[alsak]

572. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, соединили параллельно с таким же незаряженным конденсатором. Определить изменение энергии системы после соединения.

Решение. Определим энергию двух конденсаторов до соединения:
\[W_{1} =\frac{C\cdot U^{2} }{2} +0=\frac{C\cdot U^{2} }{2} \; \; \; (1)\]
(второй конденсатор был не заряжен).

Определим энергию двух конденсаторов после соединения.
При соединении конденсаторов выполняется закон сохранения электрического заряда (конденсаторы отключены от источника тока), т.е.

q₁ + q₂ = q,

где q₁ = C∙U, q₂ = 0 —заряды на конденсаторах до соединения, q — суммарный заряд на конденсаторах после соединения. Тогда

q = q₁ = C∙U.   (2)

При параллельном соединении двух конденсаторов емкости С получим батарею емкостью С₀ = 2C. Тогда энергия двух конденсаторов после соединения (с учетом уравнения (2)) равна:
\[W_{2} =\frac{C_{0} \cdot U_{0}^{2} }{2} =\frac{q^{2} }{2C_{0} } =\frac{\left(C\cdot U\right)^{2} }{4C} =\frac{C\cdot U^{2}}{4}. \; \; \; (3)\]

С учетом уравнений (1) и (3) получаем, что изменение энергии системы после соединения равно:
\[\Delta W=W_{2} -W_{1} =\frac{C\cdot U^{2} }{4} -\frac{C\cdot U^{2} }{2} =-\frac{C\cdot U^{2}}{4}.\]
Знак «–» указывает на то, что энергия системы уменьшилась.

[alsak]

573. Конденсатор емкость С = 100 мкФ заряжают постоянным током через резистор, сопротивление которого R = 100 кОм. Через какое время после начала зарядки энергия, запасенная в конденсаторе, станет равной энергии, выделенной в резисторе?

Решение. Пусть Δt₁ — это промежуток времени, за которое энергия, запасенная в конденсаторе, станет равной энергии, выделенной в резисторе; Δq₁ — это заряд конденсатора через Δt₁.
Так как конденсатор заряжают постоянным током I (см. примечание), то

Δq₁ = I∙Δt₁.

Конденсатор и резистор соединены последовательно (рис. 1), поэтому такой же ток I пройдет через резистор. Тогда энергия конденсатора W_k и энергия W_r, выделенная на резисторе, будут равны:
\[\begin{array}{r} {W_{k} =\frac{\Delta q_{1}^{2} }{2C} =\frac{\left(I\cdot \Delta t_{1} \right)^{2} }{2C},\; \; \; W_{r} =I^{2} \cdot R\cdot \Delta t_{1} ,} \\ {\frac{\left(I\cdot \Delta t_{1} \right)^{2} }{2C} =I^{2} \cdot R\cdot \Delta t_{1}, \; \; \; \Delta t_{1} =2C\cdot R,} \end{array}\]
Δt₁  = 20 с.
Примечание. Словосочетание «заряжают постоянным током» можно понимать по разному:
1) заряжают током с постоянной силой тока I. Решение задачи основано на этом понимании;
2) заряжают от источника не переменного тока. В этом случае сила тока в цепи будет изменяться и решение задачи будет другое. Но для решения понадобятся еще параметры источника тока (ЭДС, внутреннее сопротивление).

[iliya]

ПОЖАЛУЙСТА!!!!
 помогите решить задачу №524 .

[Kivir]

524. В каждой вершине квадрата находится положительный заряд q. Какой заряд следует поместить в центре квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?
Решение: система зарядов в равновесии означает, что сумма сил, действующих на каждый заряд со стороны других должна быть равна нулю. На заряд, помещённый в центр, какой бы он ни был, сумма сил всегда будет равна нулю (все заряды в вершинах одинаковые, расстояние от них, до центра квадрата одинаково, поэтому силы кулоновского взаимодействия равны и попарно противоположно направлены – они скомпенсируют друг друга). Т.к. все вершины равноправны, достаточно проверить условие равновесия только для одной. Заряды в вершинах – положительные, между ними действуют кулоновские силы отталкивания, тогда в цент квадрата нужно поместить отрицательный заряд такой, чтобы сумма сил, действовавших на заряд в вершине,  стала равной нулю. Пусть это будет заряд q₀. Сделаем рисунок.
 На заряд в первой вершине действуют силы: F₂, F₃ , F₄  – силы со стороны зарядов, расположенных в остальных вершинах, F₀ – сила со стороны заряда, расположенного в центре квадрата. Сложим силы F₂, и F₄  (вектора под прямы углом, сумму F_2,4 можно определить по теореме Пифагора):
\[ F_{2,4} =\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Вектор F3 направлен так же, как и вектор F2,4, тогда их сумма:
\[ F_{3} +F_{2,4} =F_{3} +\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Вектор F0 должен быть равен по модулю (противоположен по направлению) этой сумме, тогда:
\[ F_{0} =F_{3} +\sqrt{F_{2}^{2} +F_{4}^{2}}. \]
Распишем силы по закону Кулона:
\[ F=\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}. \]
 q₁ и q₂  -взаимодействующие заряды, r – расстояние между ними. Учтём, что сторона квадрата равна a, расстояние от центра квадрата до вершины r = a√2/2, тогда:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q_{0} \cdot q}{r^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q}{\left(2r\right)^{2} } +\sqrt{\left(\frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } \right)^{2} +\left(\frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } \right)^{2} } ,} \\ {\frac{2\cdot k\cdot q_{0} \cdot q}{a^{2} } =\frac{k\cdot q\cdot q}{2a^{2} } +\sqrt{2} \cdot \frac{k\cdot q\cdot q}{0^{2} } ,} \\ {q_{0} =\frac{1+2\sqrt{2} }{4} \cdot q.} \end{array} \]
Ответ: q₀ < 0, и \( q_{0} =\frac{1+2\sqrt{2} }{4} \cdot q \).

[iliya]

спасибо.

[djek]

521. В воздухе на тонкой непроводящей нити подвешен шарик массой m = 2,0 г, имеющий заряд q₁ = 20 нКл. Снизу на расстоянии r = 50 мм по вертикали от него укреплен одноименный заряд q₂ = 120 нКл. Точка подвеса, заряд и шарик находятся на одной прямой. Определить силу натяжения нити.
Решение.
На шарик действуют сила тяжести mg, кулоновская сила (одноименные заряды отталкиваются), сила натяжения нити. В результате действия всех сил, шарик находится в равновесии. Рассмотрим проекции сил на ось OY.

F_k + T - m·g = 0
T = m·g - F_k

Учитывая, что
\[ {{F}_{k}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} \]
Тогда с учетом этого перепишем
\[ T=m\cdot g-\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}_{1}}\cdot {{q}_{2}}}{{{r}^{2}}} \]
Ответ:1.1·10^-2 Н