Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.

[djek]

525. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковые заряды q = 3,3·10^-6 Кл,
подвешены на одной высоте на тонких невесомых нитях равной длины. На одинаковом расстоянии от этих шариков и на h = 20 см ниже их расположен заряд Q. Определить этот заряд, если известно, что нити висят вертикально, а расстояние между ними d = 30 см.
Решение.
Одноименные заряды q₁ и q₂ (q₁ = q₂ = q) отталкиваются. Поскольку нити висят вертикально, то заряд Q должен быть отрицательным, чтобы компенсировать силу отталкивания между одноименными зарядами.
На заряд q₂ действуют силы F₁ - взаимодействия между зарядами q₁ и q₂ и F₂ – взаимодействия между Q и q₂
Под действием этих сил шарик находится в равновесии. Направим ось ОХ по направлению действия силы F₁ и рассмотрим проекции сил на эту ось.
F₁ = F₂·cosα.
Силы F₁ и F₂ определим из закона Кулона
\[ {{F}_{1}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{2}}};{{F}_{2}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Q\cdot q}{A{{C}^{2}}} \]
Расстояние АС и cosα найдем из прямоугольного треугольника АВС
\[ \begin{align}
  & AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{d}^{2}}}{4}} \\
 & \cos \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{d}^{2}}}{4}}}=\frac{d}{\sqrt{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}} \\
\end{align}
 \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & \frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{2}}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| Q \right|\cdot \left| q \right|}{\frac{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}{4}}\cdot \frac{d}{\sqrt{4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}}}} \\
 & \frac{{{q}^{2}}}{4\cdot {{d}^{2}}}=\frac{\left| Q \right|\cdot \left| q \right|\cdot d}{\sqrt{{{\left( 4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}^{3}}}} \\
 & Q=-\frac{q}{4\cdot {{d}^{3}}}\cdot \sqrt{{{\left( 4\cdot {{h}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}^{3}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ:-3.8·10^-6 Кл

[djek]

526. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной а = 30 см находятся заряды q = 2·10^-7 Кл. Найти напряженность электростатического поля в двух других вершинах квадрата.
Решение.
Модуль напряженности поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от него равен
 \[ E=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| q \right|}{{{r}^{2}}} \]
Если поле создано системой точечных зарядов, то имеет место принцип суперпозиции полей: напряженность поля в любой точке пространства равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами. Поскольку q₁ = q₂, то Е₁ = Е₂ = Е. Тогда
 \[ \begin{align}
  & {{E}_{0}}=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}=\sqrt{2\cdot {{E}^{2}}}=\sqrt{2}\cdot E \\
 & {{E}_{0}}=\frac{\sqrt{2}\cdot q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{a}^{2}}} \\
\end{align}
 \]

Напряженность поля в другой вершине рассчитывается аналогично
Ответ: 3·10⁴ В/м

[Kivir]

533. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: два из них положительные и два отрицательные, модули зарядов одинаковы и равны q. Определить напряжённость электростатического поля в точке пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возможные случаи.
Решение: возможны два случая, на концах диагонали квадрата находятся одноимённые заряды, либо на концах диагонали разноимённые. Оба варианта изображены на рисунке.
Напряжённость электростатического поля точечного заряда:
\[ E=\frac{k\cdot q}{r^{2}}. \]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности, q – заряд, создающий поле, r – расстояние от заряда до точки, в которой рассчитывается напряжённость поля (в нашем случае половина диагонали квадрата) т.е.
\[ r=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Напряжённость электростатического поля системы зарядов подчиняется принципу суперпозиции:
\[ \vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} +\vec{E}_{3} +\vec{E}_{4}. \]
Все заряды равны по модулю, расстояние от них до центра одинаковое, поэтому напряжённости равны по модулю.
\[ E_{1} =E_{2} =E_{3} =E_{4} =\frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Ситуация 1. Положительные заряды создают поле, напряжённость которого направлена «от них», отрицательные – «к ним» (см. рис.). Вектора напряжённости попарно компенсируют друг друга, и суммарная напряжённость в центре квадрата будет равна нулю.
Ситуация 2. Векторы напряженности E₁ и E₃ совпадают по направлению, тогда их сумма равна:
\[ E_{13} =E_{1} +E_{3} =2\cdot \frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Тоже самое и вектора напряжённости E₂ и E₄, и их сумма равна:
\[ E_{24} =E_{2} +E_{4} =2\cdot \frac{2\cdot k\cdot q}{a^{2}}. \]
Искомую напряжённость в центре определим по теореме Пифагора:
\[ E=\sqrt{E_{13}^{2} +E_{24}^{2} } =\frac{4\cdot k\cdot q}{a^{2} } \cdot \sqrt{2} \].
Ответ: E = 0, если в диагонально противоположных вершинах находятся одноимённые заряды и \( E=\frac{4\cdot k\cdot q}{a^{2}} \cdot \sqrt{2} \), если разноимённые.

[Kivir]

534. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда q = 2∙10^-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r = 1 см от поверхности проводящего шара радиуса R  = 1 см  с поверхностной плотностью заряда σ = 1∙10^-9 Кл/см²?
Решение: система зарядов (точечного и заряженного шара) не замкнута т.к. в системе есть внешняя сила, которая движет заряды. Работа внешней силы равна изменению энергии системы. В нашем случае – изменению потенциальной энергии электростатического взаимодействия зарядов.

A = ΔW_p = W₂ – W₁.

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия
\[ W_{p} =\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{r}. \]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности, q₁ = q   - точечный заряд, q₂  - заряд проводящего шара, r – расстояние между зарядами.
В нашем случае:
расстояние r₁ = ∞, т.е потенциальная энергия W₁ = 0, 
расстояние r₂ = R + r. 
Заряд проводящего шара найдём через поверхностную плотность заряда и площадь поверхности шара
\[ q_{2} =\sigma \cdot S=\sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2}. \]
Тогда искомая работа
\[ A=\frac{k\cdot q\cdot \sigma \cdot 4\pi \cdot R^{2} }{R+r} =\frac{q\cdot \sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \left(R+r\right)}. \]
Вторя запись ответа  - подставлено выражение для коэффициента пропорциональности
\[ k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} =9\cdot 10^{9}. \]
Ответ: 1,1∙10^-8 Дж

[Kivir]

535. Металлический шар радиуса R₁ = 5,0 см заряжен до потенциала φ = 150 В. Чему равна напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии r = 10 см от поверхности шара? Какова будет напряжённость поля в этой точке, если данный шар соединить тонкой проволокой с незаряженным шаром, радиус которого R₂ = 10 см, а затем второй шар убрать?
Решение: напряжённость электростатического поля равномерно заряженной сферы (шара) определяется следующим образом:
\[ E=\frac{\left|q\right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot a^{2} } =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Здесь a =  R₁ + r – расстояние от центра шара до точки, в которой рассчитывается напряжённость поля, ε = 1 – диэлектрическая проницаемость окружающей среды (нет оговорок в условии, поэтому будем считать, что шар находится в вакууме), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м  - электрическая постоянная, q – заряд шара, который определим, зная его потенциал:
\[ \begin{array}{l} {\phi =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot R_{1} } ,} \\ {q=\phi \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} \end{array} \]
Тогда напряжённость поля заряженного шара равна
\[ E_{1} =\frac{\phi \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Ситуация вторая, шар соединили тонкой проволокой с другим шаром. В этом случае потенциалы шаров станут одинаковыми, и суммарный заряд системы останется без изменений (система двух шаров замкнута). Воспользуемся законом сохранения заряда.
\[ q=q_{1} +q_{2}. \]
Здесь q – заряд первого шара до соединения (мы его уже определили выше, воспользовавшись определением потенциала), q₁ – заряд первого шара после соединения со вторым, q₂ – заряд второго шара, который он приобрёл, после соединения с первым. Пусть потенциал шаров после соединения станет равным φ₁, тогда, снова воспользовавшись определением потенциала шара, перепишем закон сохранения заряда
\[ \begin{array}{l} {\phi \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} =\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} +\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2} ,} \\ {\phi \cdot R_{1} =\phi _{1} \cdot \left(R_{1} +R_{2} \right),} \\ {\phi _{1} =\frac{\phi \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)}.} \end{array} \]
Зная потенциал первого шара после соединения, найдём его заряд
\[ q_{1} =\phi _{1} \cdot 4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1} =\frac{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \phi \cdot R_{1}^{2} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)}. \]
Тогда напряжённость поля шара в точке после соединения и удаления второго шара, равна:
\[ E_{2} =\frac{\phi \cdot R_{1}^{2} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)\cdot \left(R_{1} +r\right)^{2}}. \]
Ответ: 3,3∙10² В/м, 1,1∙10² В/м.

[Kivir]

536. Какую работу требуется совершить для того, чтобы два одноимённых заряда q₁ = 2 мкКл и q₂ = 3 мкКл, находящихся в воздухе (ε = 1) на расстоянии r₁ = 60 см друг от друга, сблизить до расстояния r₂ = 30 см?
Решение: работа по сближению зарядов будет равна работе электростатического поля, взятой с противоположным знаком (внешняя сила совершает работу против сил электростатического отталкивания одноимённых зарядов при сближении). Будем считать, что двигаем первый заряд в электростатическом поле, созданным вторым зарядом, из точки с потенциалом φ₁ на расстоянии r₁ от второго заряда в точку с потенциалом φ₂ на расстоянии r₂ от второго заряда, тогда:
\[ A=-A_{ep} =-q_{1} \cdot \left(\phi _{1} -\phi _{2} \right)=q_{1} \cdot \left(\phi _{2} -\phi _{1} \right). \]
Потенциал поля точечного заряда
\[ \phi =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r}. \]
Здесь r – расстояние до точки, в которой рассчитывается потенциал поля, ε  – диэлектрическая проницаемость окружающей среды (ε = 1 по условию), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м  - электрическая постоянная, q – заряд, создающий поле. Тогда искомая работа
\[ A=q_{1} \cdot \left(\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r_{2} } -\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot r_{1} } \right)=\frac{q_{1} \cdot q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon } \cdot \left(\frac{1}{r_{2} } -\frac{1}{r_{1}} \right). \]
Ответ: 9∙10^-2 Дж.

[djek]

527. Расстояние между зарядами диполя l = 2 мкм, а напряженность поля в точке, удаленной от каждого заряда на расстояние d = 1 см, Е = 2 В/м. Вычислить модуль зарядов диполя.
Решение.
Электрический диполь – система двух равных по величине зарядов +q и –q, находящихся на расстоянии друг от друга. Согласно принципа суперпозиции полей, в рассматриваемой точке напряженность поля равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами +q и –q. Е₊ = Е_- = E_+/-, так как расстояния от зарядов до рассматриваемой точки равны и сами заряды равны по модулю. Воспользуемся теоремой косинусов
\[ \begin{align}
  & {{E}^{2}}=E_{+}^{2}+E_{-}^{2}-2\cdot {{E}_{+}}\cdot {{E}_{-}}\cdot \cos \alpha  \\
 & {{E}^{2}}=2\cdot E_{+/-}^{2}\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right)(1) \\
\end{align}
 \]
Запишем теорему косинусов для «большого» треугольника

l² = d² + d² - 2·d·d·cosα
l² = 2·d² ·(1 – cosα) (2)

Выразим из уравнения (2) (1 – cosα) и подставим в (1).
\[ {{E}^{2}}=2\cdot E_{+/-}^{2}\cdot \frac{{{l}^{2}}}{2\cdot {{d}^{2}}}=\frac{E_{+/-}^{2}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{2}}} \]
Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии d от него равен
\[ {{E}_{+/-}}=k\cdot \frac{q}{{{d}^{2}}} \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{E}^{2}}=\frac{{{k}^{2}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{d}^{4}}}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{2}}}=\frac{{{k}^{2}}\cdot {{q}^{2}}\cdot {{l}^{2}}}{{{d}^{6}}} \\
 & {{q}^{2}}=\frac{{{d}^{6}}\cdot {{E}^{2}}}{{{k}^{2}}\cdot {{l}^{2}}};q=\frac{{{d}^{3}}\cdot E}{k\cdot l} \\
\end{align}
 \]
С учетом того, что
\[ \begin{align}
  & k=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}} \\
 & q=\frac{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{d}^{3}}\cdot E}{l} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 1·10-10 Кл

[djek]

530. Шарик массой m = 0,1 г, имеющий заряд q = 9,8 нКл, подвешен на нити в однородном электростатическом поле, напряженность которого направлена горизонтально, а ее модуль Е = 1·10⁵ В/м. Найти угол отклонения нити от
вертикали.
Решение.
На шарик действуют: сила F с которой поле действует на заряд, сила тяжести mg и сила натяжения нити Т. Шарик находится в равновесии, поэтому
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{F}}\,+m\overset{\to }{\mathop{g+}}\,\overset{\to }{\mathop{T}}\,=0 \\
 & OX:F-T\cdot \sin \alpha =0;F=T\cdot \sin \alpha (1) \\
 & OY:T\cdot \cos \alpha -mg=0;mg=T\cdot \cos \alpha (2) \\
\end{align}
 \]
Разделим первое уравнение на второе и учтем, что

F = q·E

\[ \begin{align}
  & tg\alpha =\frac{q\cdot E}{m\cdot g} \\
 & \alpha =arctg\frac{q\cdot E}{m\cdot g}={{45}^{\circ }} \\
\end{align}
 \]

[djek]

529. По поверхности проводящего шара равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ. Найти напряженность поля в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру. Электрическая постоянная равна ε₀.
Решение.
Модуль напряженности поля, созданного равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R и зарядом q на расстоянии r от центра сферы равен
\[ E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}:r>R \]
По условию задачи r = 3R. Заряд определим используя поверхностную плотность
\[ \begin{align}
  & \sigma =\frac{q}{S};q=\sigma \cdot S \\
 & q=\sigma \cdot 4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}} \\
\end{align}
 \]
Здесь мы учли, что площадь сферы S = 4·π·R².
Тогда
\[ E=\frac{\sigma \cdot 4\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot 9\cdot {{R}^{2}}}=\frac{\sigma }{9\cdot {{\varepsilon }_{0}}} \]

[djek]

528. Две бесконечные одноименно и равномерно заряженные плоскости пересекаются под прямым углом. Найти напряженность электростатического поля в точке А, расположенной вблизи линии пересечения. Поверхностная плотность заряда σ = 1,0 ·10^-9 Кл/м² и одинакова для обеих плоскостей. Плоскости находятся в воздухе (ε = 1). Электрическая постоянная ε₀ = 8,85 ·10^-12 Ф/м.
Решение
Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
\[ E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}} \]
Горизонтальная плоскость создает в точке А поле напряженностью Е1. Вертикальная плоскость создает в точке А поле напряженностью Е2. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке А равна геометрической сумме напряженностей Е1 и Е2. Так как векторы Е1 и Е2 взаимно перпендикулярны и равны по модулю, то
\[ E=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}=\sqrt{2}\cdot E=\frac{\sqrt{2}\cdot \sigma }{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon } \]
Результирующая напряженность  направлена под углом 45 градусов к горизонту.