Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.

[djek]

531. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды q₁ = q₂ = q = 4 мкКл. Какой точечный заряд необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды q₁ и q₂, чтобы напряженность электростатического поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?
Решение.
Одинаковые заряды q₁ и q₂ создают в третей вершине треугольника соответствующие напряженности
\[ {{E}_{1}}={{E}_{2}}=E=k\cdot \frac{q}{{{a}^{2}}} \]
Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность Е₀ в этой вершине равна геометрической сумме  напряженностей Е₁ и Е₂. Для того, чтобы напряженность в третей вершине треугольника была равна нулю, в средину стороны, соединяющей заряды q₁ и q₂ следует поместить отрицательный заряд (см. рисунок), который создаст напряженность Е₃, равную по модулю и противоположную по направлению Е₀
Для нахождения Е₀ применим теорему косинусов к треугольнику напряженностей  и учтем, что углы равностороннего треугольника равны 60 градусов. а – сторона треугольника
\[ \begin{align}
  & E_{0}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos 60 \\
 & {{E}_{0}}=\sqrt{3\cdot {{E}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot q}{{{a}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Для нахождения расстояния r₃ от заряда q₃ к третей вершине треугольника применим теорему косинусов к треугольнику АВС
\[ r_{3}^{2}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}-2\cdot \frac{a}{2}\cdot a\cdot \cos 60=\frac{3\cdot {{a}^{2}}}{4} \]
Приравняем Е0 и Е3
\[ \begin{align}
  & \frac{\sqrt{3}\cdot k\cdot q}{{{a}^{2}}}=k\cdot \frac{\left| {{q}_{3}} \right|}{\frac{3\cdot {{a}^{2}}}{4}} \\
 & {{q}_{3}}=-\frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot q \\
\end{align}
 \]
Ответ: -5 мкКл

[Kivir]

537. В цепи, показанной на рис. 170, разность потенциалов между точками A и В U = 250 В. Ёмкости конденсаторов C₁ = 1,5 мкФ, С₂ = 3,0 мкФ, С₃ = 4,0 мкФ. Найти суммарный заряд на обкладках конденсаторов С1, С2 и С3.
Решение: как видно из рисунка, между точками А и В включено три конденсатора: конденсаторы С1 и С2 последовательно, а конденсатор С3 параллельно к ним. Найдём общую ёмкость батареи конденсаторов, используя формулы для расчёта общей ёмкости при последовательном и параллельном соединениях  конденсаторов:
\[ C=\left(\frac{1}{C_{1}} +\frac{1}{C_{2}} \right)^{-1} +C_{3} =\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} +C_{2}} +C_{3}. \]
Теперь воспользуемся понятием электрической ёмкости и определим суммарный заряд, запасённый батареей конденсаторов
\[ \begin{array}{l}{C=\frac{q}{U},} \\ {q=U\cdot \left(\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} +C_{2}} +C_{3} \right).} \end{array} \]
Ответ: 1,25∙10^-3 = 1,3∙10^-3 Кл.

[Kivir]

538. Найти ёмкость батареи, состоящей из двух последовательно соединённых конденсаторов (рис. 171), если известны площадь S каждой обкладки конденсатора, расстояние d между обкладками каждого их конденсаторов, диэлектрическая проницаемость ε изолятора, заполняющего половину конденсатора (краевые эффекты во внимание не принимать).
Решение: конденсатор, наполовину заполненный диэлектриком (по условию), можно рассмотреть как систему двух конденсаторов: один с диэлектриком, а другой без него.
Рассмотрим первый конденсатор (см. рис. 171). Его можно представить как два параллельно соединённых конденсатора, ёмкостью C₁ и С₂,  с площадью пластин S/2, расстоянием между пластинами d, причём один пустой, а второй полностью заполнен диэлектриком. Рассмотрим второй конденсатор. Его можно представить  как два последовательно соединённых конденсатора ёмкостью C₃ и С₄, с площадью пластин S каждый, расстоянием между пластинами d/2, причём один пустой, а второй полностью заполнен диэлектриком. Поэтому перерисуем соединение с учётом вышесказанного (см. рис.). Ёмкость плоского конденсатора можно определить, зная площадь пластин, расстояние между ними, электрическую постоянную ε₀ = 8,85∙10-12 Ф/м, и диэлектрическую проницаемость ε изолятора:
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}. \]
Применим эту формулу для расчёта ёмкости каждого из четырёх конденсаторов с учётом вышесказанного:
\[ C_{1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d\cdot 2},C_{2} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d\cdot 2},C_{3} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot 2}{d},C_{4} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot 2}{d}. \]
Найдём ёмкость батареи конденсаторов, используя формулы для расчёта общей ёмкости при последовательном и параллельном соединениях  конденсаторов:
\[ C=C_{1}+C_{2}+\left(\frac{1}{C_{3}}+\frac{1}{C_{4}}\right)^{-1} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d\cdot 2} +\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d\cdot 2} +\left(\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot 2} +\frac{d}{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S\cdot 2} \right)^{-1}. \]
После преобразований, получим ответ:
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot \left(\left(1+\varepsilon \right)^{2} +4\varepsilon \right)}{2\cdot d\cdot \left(1+\varepsilon \right)}.  \]
Примечание: полученный ответ не сходится с ответом в сборнике. В решении ошибку не нашёл

[djek]

540. Конденсатор емкостью С₁ = 2 мкФ заряжают до напряжения U₁ = 110 В. Затем, отключив от источника тока, замыкают этот конденсатор на конденсатор неизвестной емкости, который при этом заряжается до напряжения U₂ = 44 В. Определить емкость второго конденсатора.
Решение.
При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи:
C = C₁ +C₂
При параллельном соединении конденсаторов на их обкладках установится одинаковое напряжение, а общий заряд равен сумме зарядов

Q = q₁ + q₂= C₁·U₂ + C₂·U₂

Так как второй конденсатор не был заряжен, то общий заряд равен заряду первого конденсатора:

Q = C₁·U₁

Из этого следует, что

C₁·U₁ = C₁·U₂ + C₂·U₂

\[ {{C}_{2}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot \left( {{U}_{1}}-{{U}_{2}} \right)}{{{U}_{2}}} \]
Ответ: 3 мкФ

[djek]

541. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между обкладками которого d₁ = 1 см, зарядили до разности потенциалов U₁ = 100 В, а затем отключили от источника напряжения и раздвинули обкладки до расстояния d₂ = 2 см. Определить разность потенциалов между обкладками после того, как их раздвинули.
Решение.
Емкость конденсатора в первом и втором случае равны соответственно
\[ {{C}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}};{{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}} \]
Конденсатор воздушный, поэтому ε = 1.
Под емкостью конденсатора понимают физическую величину, численно равную отношению заряда конденсатора q к разности потенциалов между его обкладками. Поскольку при отключении конденсатора от источника напряжения заряд на нем не изменяется, то
\[ \frac{q}{{{U}_{1}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{1}}};\frac{q}{{{U}_{2}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{{{d}_{2}}} \]
Решив систему уравнений, получим
\[ {{U}_{2}}=\frac{{{U}_{1}}\cdot {{d}_{2}}}{{{d}_{1}}}  \]
Ответ: 200 В

[Kivir]

546. Между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора подвешен на тонкой шёлковой нити маленький шарик, несущий заряд q₀ = 3,0 нКл. Какой заряд надо сообщить конденсатору, чтобы нить составила с вертикалью угол α = 45º? Масса шарика m = 4,0 г, площадь каждой пластины конденсатора S = 314 см².
Решение: если сообщить заряд конденсатору, между его обкладками возникнет электрическое поле, которое будет действовать силой на заряженный шарик, и он отклонится от вертикали. На шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити, F – сила со стороны электростатического поля конденсатора (см. рис). Шарик находится в равновесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на него равна нулю
\[ \vec{T}+m\vec{g}+\vec{F}=0. \]
Спроецируем условие равновесия на выбранную систему координат, учтём, что сила, действующая на заряд со стороны поля, равна

F = q₀∙E,

где E – напряжённость электростатического поля, созданного заряженным конденсатором.
\[ \begin{array}{l} {x:-T\cdot \sin \alpha +q_{0} \cdot E=0,T\cdot \sin \alpha =q_{0} \cdot E,} \\ {y:T\cdot \cos \alpha -mg=0,T\cdot \cos \alpha =mg.} \end{array} \]
Разделив уравнения, выразим напряжённость поля:
\[ \begin{array}{l} {\frac{T\cdot \sin \alpha }{T\cdot \cos \alpha } =\frac{q_{0} \cdot E}{mg} ,} \\ {E=\frac{mg\cdot tg\alpha }{q_{0} } .} \end{array} \]
С другой стороны электроёмкость конденсатора по определению:
\[ C=\frac{q}{U}. \]
Здесь q – заряд конденсатора, U – напряжение между обкладками, которое связано с напряжённостью

U = E∙d

Где d – расстояние между пластинами. Ёмкость плоского конденсатора можно также определить, зная площадь пластин, расстояние между ними, электрическую постоянную ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м, и диэлектрическую проницаемость ε изолятора (в нашем случае воздух, ε = 1):
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d} =\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d}. \]
Тогда получим для напряжённости
\[ \begin{array}{l} {\frac{\varepsilon _{0} \cdot S}{d} =\frac{q}{E\cdot d}} \\ {E=\frac{q}{\varepsilon _{0} \cdot S}.} \end{array} \]
Приравняв полученные выражения для напряжённости, найдём заряд
\[ q=\frac{\varepsilon _{0} \cdot S\cdot mg}{q_{0}} \cdot tg\alpha. \]
Ответ: 3,6∙10^-6 Кл.

[Kivir]

547. В электростатическом поле плоского воздушного конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, находится во взвешенном состоянии капелька масла, несущая заряд, равный заряду электрона. Определить радиус капельки, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 5∙10³ В, расстояние между пластинами d = 5∙10^-4 м, плотность масла ρ = 900 кг/м³. Заряд электрона e = 1,6∙10^-19 Кл.
Решение: на капельку, находящуюся в электростатическом поле конденсатора действует две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F - сила со стороны электростатического поля конденсатора

F = q∙E = e∙E.

где E – напряжённость электростатического поля (см. рис). Капелька находится в равновесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на неё равна нулю, а т.к. сил только две, то эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Условие равновесия в проекции на ось y:
\[ \begin{array}{l} {F-mg=0,} \\ {e\cdot E=mg.} \end{array} \]
Напряжённость поля конденсатора определим, зная  напряжение между обкладками U  и расстояние между пластинами d:
\[ E=\frac{U}{d}. \]
Массу капельки определим, зная плотность масла и считая её шаром
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3}. \]
Подставив значения E и m в условие равновесия, получим
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \frac{U}{d} =\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^{3} \cdot g,} \\ {r=\sqrt[{3}]{\frac{3\cdot e\cdot U}{4\pi \cdot d\cdot \rho \cdot g}}.} \end{array} \]
Ответ: 3,51∙10^-6 = 4∙10^-6 м

[djek]

543. На дне широкого сосуда с жидким диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого ε, закреплена пластина конденсатора. Другая пластина, имеющая вид бруска высотой Н, плавает над ней в диэлектрике. Площади пластин одинаковы и равны S. На каком расстоянии от поверхности жидкости будет находиться нижняя плоскость бруска, если на пластины подать одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды q? Плотность жидкости ρ₁, плотность бруска ρ (ρ₁ > ρ₂). Поле между пластинами считать однородным.
Решение.
На пластину конденсатора, которая плавает в диэлектрике, действуют силы: mg – сила тяжести, выталкивающая архимедова сила F_A, F – сила со стороны электрического поля, созданного другой пластиной. Под действием этих сил, пластина находится в равновесии (плавает).
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{F}}\,+{{\overset{\to }{\mathop{F}}\,}_{A}}+m\cdot \overset{\to }{\mathop{g}}\,=0 \\
 & OX:{{F}_{A}}=m\cdot g+F(1) \\
\end{align}
 \]
Сила Архимеда равна

F_A = ρ₁·g·V₁ = ρ₁·g·S·h (2)

где ρ₁ – плотность диэлектрика, V₁ объём погруженной в диэлектрик части пластины в виде бруска, S – площадь пластины, h – искомая высота погруженной части пластины. Произведение площади пластины на высоту погруженной части даст нам объем погруженной части бруска.
Масса бруска

m = ρ₂·V = ρ₂·S·H: m·g = ρ₂·S·H·g (3)

где ρ2 – плотность бруска, V – объем бруска, S – площадь пластины, H – высота бруска.
Лежащая на дне пластина, имеющая заряд q, создает электрическое поле, которое действует с силой F = q·E на другою пластину. Напряженность электрического поля плоской пластины
\[ \begin{align}
  & E=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}};\sigma =\frac{q}{S} \\
 & F=q\cdot E=\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}(4) \\
\end{align}
 \]
Где σ – поверхностная плотность электрического заряда.
Подставим уравнения (2), (3), (4) в уравнение (1)
\[ \begin{align}
  & {{\rho }_{1}}\cdot g\cdot S\cdot h={{\rho }_{2}}\cdot g\cdot S\cdot H+\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S} \\
 & h=H\cdot \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}+\frac{{{q}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{S}^{2}}\cdot {{\rho }_{1}}\cdot g} \\
\end{align}
 \]

[djek]

544. Два одинаковых конденсатора соединили параллельно, зарядили до напряжения U₁ и отключили от источника. Каким стало напряжение на конденсаторах, когда в один из них ввели пластину с диэлектрической проницаемостью ε, заполняющую весь объем конденсатора?
Решение.
При параллельном соединении конденсаторов напряжение на всех обкладках одинаковое, емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, заряд на батарее равен алгебраической сумме зарядов отдельных конденсаторов

С = С₁ + С₂

\[ {{C}_{1}}={{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d} \]

Q = q₁ + q₂

\[ {{U}_{1}}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}+\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}}=\frac{Q\cdot d}{2\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}(1) \]
Поскольку конденсаторы отключены от источника, то общий заряд батареи конденсаторов останется неизменным. А при введении диэлектрика с диэлектрической проницаемость ε между пластинами одного из конденсаторов, емкость этого конденсатора изменится. Тогда для этого случая

С = С₁ + С₂

\[ {{C}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot S}{d};{{C}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d} \]

Q = q₁ + q₂

\[ {{U}_{2}}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot \varepsilon \cdot S}{d}+\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}}=\frac{Q\cdot d}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S\cdot \left( \varepsilon +1 \right)}(2) \]
Решив совместно уравнения (1) и (2) получим результат
\[ {{U}_{2}}=\frac{2\cdot {{U}_{1}}}{\varepsilon +1} \]

[djek]

554. В горизонтально расположенном плоском воздушном конденсаторе, заряженном до разности потенциалов U = 1 кВ, от положительно заряженной верхней пластины по направлению поля двигалась без начальной скорости
частица с зарядом q = 0,1 нКл. Когда она прошла некоторое расстояние, полярность пластин была мгновенно изменена на противоположную. Когда частица все же достигла нижней пластины, она обладала кинетической энергией W_k = 6·10^-8 Дж. Расстояние между пластинами d = 2 см. Какое расстояние прошла частица к моменту изменения полярности пластин? Силой тяжести, действующей на частицу, пренебречь.
Решение.
Рассмотрим первый случай, когда частица движется по направлению поля без начальной скорости. На частицу действует сила F = q·E, со стороны электростатического поля, которая сообщает частице ускорение а.
\[ F=m\cdot a;a=\frac{F}{m}=\frac{q\cdot E}{m} \]
Определим скорость частицы в момент смены полярности пластин. Направим ось OX вдоль траектории движения. Начало координат совместим с точкой начала движения и время будем отсчитывать с этого момента. Тогда уравнения скорости в проекциях на ось ОХ и координаты тела в любой момент времени примут вид
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}+{{a}_{x}}\cdot t(1) \\
 & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Выражая из уравнения (1) время t и подставляя его в уравнение (2), получим
\[ \begin{align}
  & \upsilon _{x}^{2}=\upsilon _{0x}^{2}+2\cdot {{a}_{x}}\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)(3) \\
 & \upsilon _{x}^{2}-\upsilon _{0x}^{2}=2\cdot {{a}_{x}}\cdot l \\
 & \upsilon _{x}^{2}=2\cdot {{a}_{x}}\cdot l \\
\end{align}
 \]
здесь мы учли, что тело движется без начальной скорости (υ_0х = 0) и пройденный путь равен изменению
координаты
Рассмотрим второй случай, когда полярность пластин изменилась. Изменилось направление действия силы на противоположное, следовательно, изменилось направление ускорения частицы, и частица имеет начальную скорость, равную скорости, которую она приобрела до момента смены полярности пластин
Воспользуемся соотношением (3) в проекциях на ось ОХ с учетом того, что пройденный путь s = d – l, начальная скорость равна скорости на момент смены полярности пластин и конечную скорость определим полагаясь на то, что нам известна кинетическая энергия возле нижней пластины
 \begin{align}
  & \upsilon _{x}^{2}=\upsilon _{0x}^{2}-2\cdot {{a}_{x}}\cdot s \\
 & \upsilon _{x}^{2}-\upsilon _{0x}^{2}=-2\cdot {{a}_{x}}\cdot (d-l) \\
 & \upsilon _{x}^{2}=\frac{2\cdot {{W}_{k}}}{m};\upsilon _{0x}^{2}=2\cdot a\cdot l;a=\frac{q\cdot E}{m} \\
 & \frac{2\cdot {{W}_{k}}}{m}-2\cdot \frac{q\cdot E}{m}\cdot l=-2\cdot \frac{q\cdot E}{m}\cdot (d-l) \\
\end{align}
Решив это уравнение, получим
\[ l=\frac{{{W}_{k}}}{2\cdot q\cdot E}+\frac{d}{2} \]
Учитывая связь между напряженностью Е и напряжением U
\[ \begin{align}
  & l=\frac{{{W}_{k}}}{2\cdot q\cdot \frac{U}{d}}+\frac{d}{2} \\
 & l=\frac{d}{2}\cdot \left( \frac{{{W}_{k}}}{q\cdot U}+1 \right) \\
\end{align}
 \]
Ответ:1.6 см