Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.

[djek]

555. Анодное напряжение двухэлектродной электронной лампы (диода) U = 180 В. С какой скоростью электрон подлетает к аноду, если начальная скорость электрона (вблизи катода) равна нулю? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, масса электрона m_е = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Напряжение U равно отношению работы электрического поля по перемещению заряда к величине перемещаемого заряда.
\[ U=\frac{A}{e};A=e\cdot U \]
С другой стороны, на электрон действует сила, со стороны электрического поля и работа этой силы равна  изменению кинетической энергии (теорема о кинетической энергии). Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ, то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:
\[ \begin{align}
  & A={{E}_{k2}}-{{E}_{k1}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-0=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \\
 & e\cdot U=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}} \\
\end{align}
 \]
Ответ:Ответ: 8·10⁶ м/с

[Kivir]

542. Конденсатор ёмкостью C1 = 3 мкФ заряжен до разности потенциалов U₁ = 300 В. Конденсатор ёмкостью C₂ = 2 мкФ заряжен до разности потенциалов U₂ = 200 В. Разноимённо заряженные обкладки конденсаторов соединили попарно. Определить среднюю силу тока, возникающего при соединении конденсаторов, если длительность его прохождения τ = 1 с.
Решение: при соединении разноимённых обкладок конденсаторов алгебраическая сумма зарядов на них остаётся неизменной. Пусть положительно заряженную обкладку первого конденсатора соединили с отрицательно заряженной обкладкой второго, тогда
\[ q_{1} -q_{2} =q_{3} +q_{4}. \]
Здесь q₁ и q₂ заряды конденсаторов до соединения, q₃ и q₄ после соединения соответственно. Для нахождения зарядов, воспользуемся формулой ёмкости конденсатора, учтём, что после соединения мы получаем два параллельно соединённых конденсатора, напряжение на которых будет одинаковым и равным U, тогда
\[ \begin{array}{l} {C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} =\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U,} \\ {U=\frac{C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot} \end{array} \]
Тогда заряд на первом конденсаторе станет равным
\[ q_{3} =C_{1} \cdot U=\frac{C_{1}^{2} \cdot U_{1} -C_{1} \cdot C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot  \]
Силу тока, возникающую в момент перераспределения заряда после соединения конденсаторов, найдём из следующих соображений: до соединения заряд первого конденсатора q₁, после соединения он равен q₃, тогда по соединительному проводу прошёл заряд равный их разности, т.е.

Δq = q₁ - q₃.

Сила тока, по определению, равна отношению заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени прохождения. Имеем
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{\Delta q}{\tau } =\frac{q_{1} -q_{3} }{\tau } =\frac{C_{1} \cdot U_{1} }{\tau } -\frac{\left(C_{1}^{2} \cdot U_{1} -C_{1} \cdot C_{2} \cdot U_{2} \right)}{\tau \cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)} ,} \\ {I=\frac{C_{1} \cdot C_{2} \cdot \left(U_{1} +U_{2} \right)}{\tau \cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 6∙10^-4 А

[Kivir]

570. Определить количество электрической энергии, перешедшей в теплоту при соединении одноимённо заряженных обкладок конденсаторов ёмкостями C₁ = 2 мкФ и C₂ = 0,5 мкФ, заряженных до напряжений U₁ = 100 В и U₂ = 50 В соответственно.
Решение: при соединении одноимённо заряженных обкладок конденсаторов алгебраическая сумма зарядов на них остаётся неизменной
\[ q_{1} +q_{2} =q_{3} +q_{4}. \]
Здесь q₁ и q₂ заряды конденсаторов до соединения, q₃ и q₄ после соединения соответственно. Для нахождения зарядов, воспользуемся формулой ёмкости конденсатора, учтём, что после соединения мы получаем два параллельно соединённых конденсатора, напряжение на которых будет одинаковым и равным U, тогда
\[ \begin{array}{l} {C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} =\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U,} \\ {U=\frac{C_{1} \cdot U_{1} -C_{2} \cdot U_{2} }{C_{1} +C_{2}} \cdot} \end{array} \]
Количество электрической энергии, перешедшей в теплоту при соединении конденсаторов (выделившаяся энергия) будет равна разности энергий конденсаторов до и после соединения. Энергия конденсаторов до соединения
\[ W_{1} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} +\frac{C_{2} \cdot U_{2}^{2}}{2}. \]
Энергия конденсаторов после соединения
\[ W_{2} =\frac{\left(C_{1} +C_{2} \right)\cdot U^{2} }{2} =\frac{\left(C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}. \]
Тогда искомое количество теплоты
\[ \begin{array}{l} {Q=W_{1} -W_{2} =\frac{C_{1} \cdot U_{1}^{2} }{2} +\frac{C_{2} \cdot U_{2}^{2} }{2} -\frac{\left(C_{1} \cdot U_{1} +C_{2} \cdot U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)} ,} \\ {Q=\frac{C_{1} \cdot C_{2} \left(U_{1} -U_{2} \right)^{2} }{2\cdot \left(C_{1} +C_{2} \right)}.}\end{array} \]
Ответ: 5∙10^-4 Дж.

[Kivir]

569. Напряжённость электростатического поля плоского воздушного конденсатора ёмкостью C = 4 мкФ E = 10 В/см. Расстояние между обкладками d = 1 мм. Определить энергию электростатического поля конденсатора и её плотность.
Решение: энергия заряженного конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot U^{2}}{2}. \]
Здесь U – напряжение на конденсаторе, которое можно определить, используя связь между напряжённостью электростатического поля E и разностью потенциалов (напряжением)

U = E∙d.

Тогда энергия конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot E^{2}\cdot d^{2}}{2}. \]
Объёмная плотность энергии, по определению
\[ \omega =\frac{W}{V}. \]
здесь V = S∙d – объём конденсатора, S – площадь пластин. Электроемкость плоского конденсатора находится по формуле
\[ C=\frac{\varepsilon\cdot\varepsilon _{0}\cdot S}{d}. \]
Здесь ε – диэлектрическая проницаемость изолятора (ε = 1 – воздух), ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная. Тогда объёмная плотность
\[ \begin{array}{l}{\omega =\frac{\frac{C\cdot E^{2}\cdot d^{2}}{2}}{S\cdot d} =\frac{\varepsilon \cdot \varepsilon _{0} \cdot S\cdot E^{2} \cdot d^{2}}{2\cdot S\cdot d^{2}},} \\ {\omega =\frac{\varepsilon \cdot \varepsilon _{0}\cdot E^{2}}{2}.} \end{array} \]
Ответ: 2∙10^-6 Дж, 4∙10^-6 Дж/м³

[djek]

556. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость υ = 1·10⁷ м/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами d = 2 см, длина каждой пластины l = 2 см. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, его масса m_е = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Совместим начало координат с точкой, в которой находился электрон в момент влета в конденсатор, ось ОХ направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз (см. рис). В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью^→ υ_х = ^→υ₀ в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением ^→а вдоль оси OY. Наличие ускорения вдоль оси OY объясняется тем, что на электрон в этом направлении действует электрическая сила F = e·E. (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем по сравнению с силой F).
Проекцию ускорения на ось OY найдем по второму закону Ньютона:
\[ e\cdot E={{m}_{e}}\cdot a;a=\frac{e\cdot E}{{{m}_{e}}}=\frac{e\cdot U}{d\cdot {{m}_{e}}} \]
Здесь мы учли соотношение между напряженностью Е и напряжением U.
По условию задачи, электрон должен упасть на краю пластины конденсатора (минимальное значение напряжения, при большем значении падение будет раньше).
Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Тогда в момент падения электрона на край пластины конденсатора, уравнения определяющие зависимость координат от времени, будут иметь вид:
\[ \begin{align}
  & x=l={{\upsilon }_{0}}\cdot t(1) \\
 & y=\frac{d}{2}=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Подставим в уравнение (2) ранее полученное выражение для ускорения и время, которое выразим из уравнения (1)
\[ \begin{align}
  & d=\frac{e\cdot U\cdot {{l}^{2}}}{d\cdot {{m}_{e}}\cdot \upsilon _{0}^{2}} \\
 & U=\frac{{{d}^{2}}\cdot {{m}_{e}}\cdot \upsilon _{0}^{2}}{e\cdot {{l}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 6·10² В

[djek]

557. Заряженный шарик массой m = 10 г, подвешенный на изолирующей нерастяжимой нити, движется с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад/с по окружности радиуса r = 5,0 см. Под точкой подвеса А находится другой, неподвижный заряженный, шарик В, причем расстояния АО и ВО до центра окружности О одинаковы, а угол α = 45°. Заряды обоих шариков одинаковы. Найти эти заряды.
Решение.
На шарик действуют силы: сила тяжести mg, F_k -  кулоновская сила отталкивания (заряды шариков одинаковы) и сила натяжения нити Т. Cумма этих сил придает шарику центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для данного случая и уравнения движения шарика в проекциях на оси координат
\[ \begin{align}
  & \overset{\to }{\mathop{{{F}_{k}}}}\,+\overset{\to }{\mathop{T}}\,+m\overset{\to }{\mathop{g}}\,=m\overset{\to }{\mathop{a}}\,;a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{r}={{\omega }^{2}}\cdot r \\
 & OX:T\cdot \sin \alpha -{{F}_{k}}\cdot \sin \alpha =m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot r(1) \\
 & OY:T\cdot \cos \alpha +{{F}_{k}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0(2) \\
\end{align}
 \]
Воспользуемся законом Кулона, для определения силы взаимодействия двух зарядов. Учтем, что заряды одинаковы и расстояние между зарядами найдем из прямоугольного треугольника ВОС, зная катет r  противолежащий ему угол α
\[ {{F}_{k}}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{\left( \frac{r}{\sin \alpha } \right)}^{2}}} \]
Выразим из уравнения (2) силу натяжения нити и подставим в уравнение (1)
\[ \begin{align}
  & T=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha }-{{F}_{k}};\left( \frac{m\cdot g}{\cos \alpha }-{{F}_{k}} \right)\cdot \sin \alpha -{{F}_{k}}\cdot \sin \alpha =m\cdot {{\omega }^{2}}\cdot r \\
 & \frac{g}{\cos \alpha }-\frac{2\cdot {{F}_{k}}}{m}=\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha };\frac{2\cdot {{F}_{k}}}{m}=\frac{g}{\cos \alpha }-\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha } \\
 & q=\pm \frac{r}{\sin \alpha }\cdot \sqrt{2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot m\cdot \left( \frac{g}{\cos \alpha }-\frac{{{\omega }^{2}}\cdot r}{\sin \alpha } \right)} \\
\end{align}
 \]
Ответ:1.3·10^-7 Кл

[djek]

559. Два одинаковых заряженных шарика, масса каждого из которых m = 10 г, а заряд q = 5·10^-7 Кл, соединены двумя изолирующими нитями длиной l =  10 см и 2l. Систему удерживают за середину длинной нити, а затем точку подвеса О начинают поднимать вверх с ускорением а, равным по модулю ускорению свободного падения g . Определить силу натяжения короткой нити, соединяющей шарики, во время их подъема.
Решение.
На шарик действуют силы: сила тяжести mg, сила кулоновского отталкивания F, сила натяжения короткой нити Т и сила натяжения участка длинной нити Т₁. Вся система движется вверх с ускорением а. Ось OY направим вертикально вверх, а ось ОХ – горизонтально. Спроецируем силы и запишем полученные уравнения.

OX: T₁·cosα – F +T = 0;
OY: T₁·cosβ - m·g = m·a;

Решим систему уравнений:

T = F - T₁·cosα; T₁·cosβ= m·a + m·g = m·(a + g) = 2·m·g;

\[
\begin{align}
  & {{T}_{1}}=\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }; \\
 & T=F-\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }\cdot \cos \alpha  \\
\end{align}
 \]
Силу F найдем из закона Кулона:
\[ F=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}} \]
Угол α равен 60̊, как один из углов равностороннего треугольника.
Угол β = 180 – 90 – α = 30̊.
Тогда
\[ \begin{align}
  & T=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}}-\frac{2\cdot m\cdot g}{\cos \beta }\cdot \cos \alpha  \\
 & T=\frac{{{q}^{2}}}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{l}^{2}}}-\frac{2\cdot m\cdot g}{\sqrt{3}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 0.3 Н

[djek]

563. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью υ = 2·10⁷ м/с, направленной параллельно обкладкам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время полета внутри конденсатора, если расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора l = 5 см и разность потенциалов между обкладками U = 200 В? Отношение заряда электрона к его массе е/m_е = 1,76·10¹¹ Кл/кг.
Решение.
Совместим начало координат с точкой, в которой находился электрон в момент влета в конденсатор, ось ОХ направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз (см. рис). В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью^→ υ_х = ^→υ₀ в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением ^→а вдоль оси OY. Наличие ускорения вдоль оси OY объясняется тем, что на электрон в этом направлении действует электрическая сила F = e·E. (силой тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем по сравнению с силой F).
Проекцию ускорения на ось OY найдем по второму закону Ньютона:
\[ e\cdot E={{m}_{e}}\cdot a;a=\frac{e\cdot E}{{{m}_{e}}}=\frac{e\cdot U}{d\cdot {{m}_{e}}} \]
Здесь мы учли соотношение между напряженностью Е и напряжением U.
Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀, υ_0у = 0. Тогда в момент вылета электрона из конденсатора, уравнения определяющие зависимость координат от времени, будут иметь вид:
\[ \begin{align}
  & x=l={{\upsilon }_{0}}\cdot t(1) \\
 & y=h=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
Подставим в уравнение (2) ранее полученное выражение для ускорения и время, которое выразим из уравнения (1)
\[ h=\frac{U\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot d\cdot \upsilon _{0}^{2}}\cdot \frac{e}{{{m}_{e}}} \]
Ответ: 6·10-3 м

[djek]

566. Два одинаковых плоских конденсатора, один из которых воздушный, а другой заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, соединены, как показано на рис, и заряжены до напряжения U. Какую работу надо совершить, чтобы извлечь диэлектрическую пластинку из конденсатора? Емкость воздушного конденсатора равна С.
Решение.
Поскольку конденсаторы одинаковы, соединены параллельно, но один из них заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то емкость С₁₁ батареи конденсаторов:

С₁₁ = С₁ + С₂ = ε·С + С = С·(ε+1).

Начальная энергия системы конденсаторов равна
\[ {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{11}}\cdot {{U}^{2}}}{2} \]
При зарядке конденсаторов им был сообщен заряд

Q = C₁₁·U

Поскольку общий заряд на отключенной от источника батарее конденсаторов не меняется, то при извлеченном диэлектрике энергия батареи конденсаторов станет равна
\[ {{W}_{2}}=\frac{{{Q}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}}=\frac{C_{11}^{2}\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}} \]
Где С₂₂ = 2·С – емкость батареи конденсаторов при извлеченном диэлектрике.
Тогда работа по извлечению диэлектрика из конденсатора равна
\[ \begin{align}
  & A={{W}_{2}}-{{W}_{1}}=\frac{C_{11}^{2}\cdot {{U}^{2}}}{2\cdot {{C}_{22}}}-\frac{{{C}_{11}}\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{{{C}^{2}}\cdot {{(\varepsilon +1)}^{2}}\cdot {{U}^{2}}}{4\cdot C}-\frac{C\cdot (\varepsilon +1)\cdot {{U}^{2}}}{2} \\
 & A=C\cdot {{U}^{2}}\cdot \left( \frac{{{(\varepsilon +1)}^{2}}}{4}-\frac{\varepsilon +1}{2} \right) \\
 & A=({{\varepsilon }^{2}}-1)\cdot \frac{C\cdot {{U}^{2}}}{4} \\
\end{align}
 \]

[djeki]

568. Стеклянная пластинка целиком заполняет зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого при отсутствии пластинки равна C₀. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо совершить, чтобы извлечь пластинку из конденсатора. Какую работу совершит при этом источник? Диэлектрическая проницаемость стекла равна ε.
Решение.
Для извлечения пластины из конденсатора необходимо совершить работу против электрических сил. При этом емкость конденсатора уменьшается, следовательно, уменьшается и заряд конденсатора (т.к. U – const). Это означает, что заряд проходит через источник против направления действия сторонних сил и источник совершает работу отрицательную работу.

A_ist = Δq·U (1)

Согласно закону сохранения энергии

A_m + A_ist = ΔW (2)

Где A_m – совершенная внешними силами механическая работа против электрических сил; A_ist – работа источника; ΔW – изменение энергии конденсатора.
Из формулы для энергии конденсатора
\[ W=\frac{C\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{q\cdot U}{2} \]
Следует, что при U – const
\[ \Delta W=\frac{\Delta C\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{\Delta q\cdot U}{2}(3) \]
Из сравнения формул (3) и (1) следует

A_ist = 2·ΔW

Подставляя последнее в (2) получим
\[ \begin{align}
  & {{A}_{m}}=-\Delta W={{W}_{1}}-{{W}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2}-\frac{{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2} \\
 & {{A}_{m}}=\frac{{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}}{2}\cdot (\varepsilon -1) \\
 & {{A}_{ist}}=\Delta q\cdot U=({{q}_{2}}-{{q}_{1}})\cdot U=({{C}_{0}}\cdot U-\varepsilon \cdot {{C}_{0}}\cdot U)\cdot U=-{{C}_{0}}\cdot {{U}^{2}}\cdot (\varepsilon -1) \\
\end{align}
 \]