Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

361. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится ртуть. Отношение диаметров сосудов n = d₁/d₂ = 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота столба воды h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и на сколько он поднимется в широком? Плотность воды ρ₁ = 1,0⋅10³ кг/м³, ртути ρ₂ = 13,6⋅10³ кг/м³.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

р_А = р_В,

где p_А = ρ₂⋅g⋅h₂, p_В = ρ₁⋅g⋅h. Тогда

ρ₂⋅g⋅h₂ = ρ₁⋅g⋅h или ρ₁⋅h = ρ₂⋅h₂. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h₂ = Δh₁ + Δh₂, (2)

где Δh₁ — высота, на которую опустится ртуть в узком сосуде, Δh₂ — высота, на которую поднимется ртуть в широком сосуде.

Из условия не сжимаемости воды

ΔV₁ = ΔV₂,  S₁⋅Δh₁ = S₂⋅Δh₂,

где  \[ S_{1} = \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4}, \; \; \; S_{2} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \] — площади поперечного сечения сосудов, d₁/d₂ = n — по условию. Тогда
 

\[ \frac{\pi \cdot d_{1}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{1} =\frac{\pi \cdot d_{2}^{2} }{4} \cdot \Delta h_{2}, \; \; \; \Delta h_{2} =\Delta h_{1} \cdot \left(\frac{d_{1} }{d_{2} } \right)^{2} =n^{2} \cdot \Delta h_{1}.
 \]

После подстановки в уравнение (2) получаем:

h₂ = Δh₁ + n₂⋅Δh₁ = Δh₁⋅(1 + n₂).

Подставим в уравнение (1)
 

\[ \rho _{1} \cdot h=\rho _{2} \cdot \Delta h_{1} \cdot \left(1+n^{2} \right), \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{\rho _{1} \cdot h}{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \; \; \; \Delta h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot h \cdot n^{2} }{\rho _{2} \cdot \left(1+n^{2} \right)}, \]

Δh₁ = 5,5⋅10^–2 м, Δh₂ = 3,5⋅10^–3 м.

[alsak]

362. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней ртути Δh = 20 мм. Плотность ртути ρ₁ = 13,6⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³. Найти высоту столба воды.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

р_А = р_В,

где p_А = ρ₁⋅g⋅Δh, p_В = ρ₂⋅g⋅h₂. Тогда

ρ₁⋅g⋅Δh = ρ₂⋅g⋅h₂ или ρ₁⋅Δh = ρ₂⋅h₂,
 
\[ h_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot \Delta h}{\rho _{2}}, \]

h₂ = 0,27 м.

[alsak]

363. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковыми поперечными сечениями площадью S = 1⋅10^–2 м² находится ртуть. В одни из сосудов поверх ртути наливают воду массой m₁ = 20 кг и опускают в нее плавать груз массой m₂ = 7,2 кг. На сколько поднимется уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρ = 13,6⋅10³ кг/м³.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

р_А = р_В,

где p_А = ρ⋅g⋅h. Давление в точке В можно найти разными способами.
1 способ. Давление p_В = ρ₁⋅g⋅h₃, где ρ₁ — плотность воды, h₃ = h₁ + h₂, h₁ — высота столбца воды массой m₁, h₂ — высота столбца воды, вытесненная при погружении в воду тела массой m₂ и т.п.
2 способ. Так как тело плавает в воде, то давление воды и плавающего тела в точке В
 

\[ p_{B} = \frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}. \]

Тогда
 

\[ \rho \cdot g \cdot h=\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g}{S}, \;\; \; \rho \cdot h=\frac{m_{1} +m_{2} }{S}.\;\;\; (1) \]

Из рисунка 1 видно, что

h = Δh₁ + Δh₂,

где Δh₁ — высота, на которую поднимется ртуть, Δh₂ — высота, на которую ртуть опустится.
Из условия не сжимаемости воды

ΔV₁ = ΔV₂,  S⋅Δh₁ = S⋅Δh₂,  Δh₁ = Δh₂.

В итоге получаем, с учетом уравнения (1):
 

\[ h=2\Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{S\cdot \rho }, \; \; \; \Delta h_{1} =\frac{m_{1} +m_{2} }{2S\cdot \rho }, \]

Δh₁ = 0,1 м.

[alsak]

364. Шарик массой m = 40 г плавает в одном из двух одинаковых цилиндрических сообщающихся сосудов, заполненных водой (рис. 1). Площадь поперечного сечения каждого сосуда S = 20 см². На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик? Плотность воды ρ = 1,0 г/см³.

Решение. На шарик действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (F_A). Запишем условие плавания тела:

F_A = m⋅g,

где F_A = ρ⋅g⋅V_n, V_n — объем части шарика, погруженного в воду. Тогда

ρ⋅g⋅V_n = m⋅g или ρ⋅V_n = m.

Если шарик вынуть из воды, то объем воды уменьшиться на V_n. Так как вода занимается два сообщающихся сосуда площадью S каждый, то уровень воды (высота столбца) уменьшиться на
 

\[ \Delta h=\frac{V_n}{2S}=\frac{m}{2\rho \cdot S}, \]

Δh = 1⋅10^–2 м.

[alsak]

365. Два цилиндрических сосуда соединены у дна тонкой трубкой с краном (рис. 1). Один сосуд имеет площадь поперечного сечения S₁ = 15 см², второй — S₂ = 5,0 см². Сосуды заполнены водой: первый до высоты h₁ = 20 см, второй до высоты h₂ = 40 см. Каков будет уровень воды в сосудах, если открыть кран К в соединительной трубке?

Решение. Так как давление на дно сосуда больше в правом сосуде, то после открытия кран К вода будет перетекать с правого сосуда в левый. Пусть высота столбца жидкости в сосудах станет равной h₃, уровень воды в сосуде площадью S₁ увеличится на Δh₁, в сосуде площадью S₂ уменьшится на Δh₂ (рис. 2). Из рисунка видно, что

Δh₁ = h₃ – h₁, (1)

Δh₂ = h₂ – h₃. (2)

Из условия не сжимаемости воды

ΔV₁ = ΔV₂,  S₁⋅Δh₁ = S₂⋅Δh₂. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

S₁⋅(h₃ – h₁) = S₂⋅(h₂ – h₃),  h₃⋅(S₁ + S₂) = S₁⋅h₁ + S₂⋅h₂,
 
\[ h_{3} =\frac{S_{1} \cdot h_{1} +S_{2} \cdot h_{2} }{S_{1} +S_{2}}, \]

h₃ = 0,25 м.

[alsak]

366. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определить, сколько процентов по объему составляют железо и никель, а также объем всей детали, если в воздухе деталь весит Р₁ = 33,52 Н, а в воде — Р₂ = 29,60 Н. Плотность железа ρ₁ = 7,9⋅10³ кг/м³, никеля ρ₂ = 8,9⋅10³ кг/м³, воды ρ₃ = 1,0⋅10³ кг/м³. Архимедову силу в воздухе не учитывать.

Решение. Будем считать, что вес детали определяют при помощи динамометра. Тогда вес детали — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m₁ + m₂)⋅g) и сила упругости (F_y1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P₁ = F_y1 = (m₁ + m₂)⋅g,

где m₁ = ρ₁⋅V₁ — масса железа в детали, V₁ — объем железа, m₂ = ρ₂⋅V₂ — масса никеля в детали, V₂ — объем никеля. Тогда

P₁ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅V₂)⋅g. (1)

В воде на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m₁ + m₂)⋅g), сила упругости (F_y2) и архимедова сила (F_A) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P₂ = F_y2 = (m₁ + m₂)⋅g – F_A,

где F_A = ρ₃⋅g⋅V, V = V₁ + V₂ — объем всей детали. Тогда

P₂ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅V₂)⋅g – ρ₃⋅g⋅(V₁ + V₂). (2)

Решим систему уравнений (1)-(2) и найдем V₁, V₂ и V. Например,
 

\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]

V = 4⋅10^–4 м³.

V₂ = V – V₁, P₁ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅(V – V₁))⋅g,

(ρ₁ – ρ₂)⋅V₁⋅g = P₁ – ρ₂⋅V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} -\frac{\rho _{2} \cdot V}{\rho _{1} -\rho _{2} }, \; \; \; \frac{V_{1} }{V} =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{1}{V} -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } = \]
 
\[ =\frac{P_{1} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot g}{P_{1} -P_{2} } -\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } =\left(\frac{P_{1} \cdot \rho _{3} }{P_{1} -P_{2} } -\rho _{2} \right)\cdot \frac{1}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

V₁/V = 0,35  (35%),  V₂/V = 1 – 0,35 = 0,65  (65%).

[alsak]

367. Браслет массой М = 80 г сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота, содержащегося в браслете, располагая следующими данными: плотность золота ρ₁ = 19,3 г/см³, плотность серебра ρ₂ = 10,5 г/см³; при погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания S = 25 см², уровень воды поднимается на h = 2,0 мм.

Решение. Масса браслета равна

M = m₁ + m₂,

где m₁ = ρ₁⋅V₁ — масса золота в браслете, V₁ — объем золота, m₂ = ρ₂⋅V₂ — масса серебра в браслете, V₂ — объем серебра. Тогда

M = ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅V₂. (1)

При погружении в воду браслет вытесняет объем воды, равный объему тела, т.е.

V = S⋅h = V₁ + V₂. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

V₂ = S⋅h – V₁,  M = ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅(S⋅h – V₁),

(ρ₁ – ρ₂)⋅V₁ = M – ρ₂⋅S⋅h,

\[ V_{1} =\frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{M-\rho _{2} \cdot S\cdot h}{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

m₁ = 6,0⋅10^–2 кг.

[alsak]

368. Согласно желанию сиракузского властителя, Архимед должен был определить содержание золота в короне, состоящей из золотых и серебряных частей, не разрушая ее. Для этого Архимед взвесил корону в воздухе и получил вес P₁ = 25,4 Н, а затем в воде, получив вес Р₂ = 23,4 Н. Зная плотность золота, серебра и воды (соответственно ρ₁ = 19,3 г/см³, ρ₂ = 10,5 г/см³ и ρ₃ = 1,00 г/см³), определить, как и Архимед, массу золота, содержащегося в этой короне. Ускорение свободного падения считать равным g = 10,0 м/с².

Решение. Будем считать, что вес короны определяли при помощи динамометра. Тогда вес короны — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m₁ + m₂)⋅g) и сила упругости (F_y1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P₁ = F_y1 = (m₁ + m₂)⋅g,

где m₁ = ρ₁⋅V₁ — масса золота в короне, V₁ — объем золота, m₂ = ρ₂⋅V₂ — масса серебра в детали, V₂ — объем серебра. Тогда

P₁ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅V₂)⋅g. (1)

В воде на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m₁ + m₂)⋅g), сила упругости (F_y2) и архимедова сила (F_A) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:

P₂ = F_y2 = (m₁ + m₂)⋅g – F_A,

где F_A = ρ₃⋅g⋅V, V = V₁ + V₂ — объем всей короны. Тогда

P₂ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅V₂)⋅g – ρ₃⋅g⋅(V₁ + V₂). (2)

Решим систему уравнений (1)-(2), найдем V₁ и m₁. Например,

\[ P_{2} =P_{1} -\rho _{3} \cdot g\cdot \left(V_{1} +V_{2} \right), \; \; \; V=V_{1} +V_{2} =\frac{P_{1} -P_{2} }{\rho _{3} \cdot g}, \]

V₂ = V – V₁, P₁ = (ρ₁⋅V₁ + ρ₂⋅(V – V₁))⋅g,

(ρ₁ – ρ₂)⋅V₁⋅g = P₁ – ρ₂⋅V⋅g,

\[ V_{1} =\frac{P_{1} -\rho _{2} \cdot V\cdot g}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} =\frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\rho _{1} \cdot \frac{\rho _{3} \cdot P_{1} -\rho _{2} \cdot \left(P_{1} -P_{2} \right)}{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot \rho _{3} \cdot g} , \]

m₁ = 0,965 кг.

[alsak]

369. В цилиндрическом сосуде с не смешивающейся с водой жидкостью, плотность которой ρ = 1,2 г/см³, при температуре t = 0 °С плавает льдинка массой m = 1 кг. На сколько изменится уровень этой жидкости в сосуде, когда льдинка растает? Площадь основания сосуда S = 0,1 м².

Решение. После того как льдинка растаяла, объем жидкости в сосуде увеличился на объем воды V, полученной из льдинки. Но плотность воды меньше плотности жидкости, поэтому вся вода окажется сверху, и уровень жидкости опустится до первоначальной высоты h.
1 способ. Объем вытесненной жидкости
\[V_{vt} =V_{1} +V_{2} =\frac{m\cdot g}{\rho \cdot g} =\frac{m}{\rho } =S_{1} \cdot \left(h_{1} +h_{2} \right).\]
Объем жидкости, которая поднялась — это
\[V_{1} =\left(S-S_{1} \right)\cdot h_{2} =S_{1} \cdot h_{1} .\]
Из второго уравнения получаем
\[S_{1} \cdot \left(h_{1} +h_{2} \right)=S\cdot h_{2} .\]
И тогда
\[S_{1} \cdot \left(h_{1} +h_{2} \right)=S\cdot h_{2} =\frac{m}{\rho } ,\; \; h_{2} =\frac{m}{S\cdot \rho } .\]
2 способ. Изменение давления на дно сосуда равно
\[\Delta p=\frac{m\cdot g}{S} =\rho \cdot g\cdot \Delta h,\; \; \Delta h=h_{2} =\frac{m}{\rho \cdot S} .\]
Ответ. Уровень жидкости опустится на h₂ = 8,3⋅10^–3 м.

[alsak]

370. Теплоход, войдя в гавань, выгрузил часть груза; при этом его осадка уменьшилась на h = 0,6 м. Найти массу груза, оставленного теплоходом в гавани, если площадь поперечного сечения теплохода на уровне ватерлинии S = 5400 м². Плотность воды ρ = 1⋅10³ кг/м³.

Решение. На теплоход с грузом действуют сила тяжести теплохода (m₁⋅g), архимедова сила (F_A1) и вес груза (m₂⋅g) (рис. 1, а). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

F_A1 – m₁⋅g – m₂⋅g = 0,

где F_A1 = ρ⋅g⋅V₁, V₁ = S⋅h₁, h₁ — глубина погружения теплохода с грузом. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅h₁ – m₁⋅g – m₂⋅g = 0. (1)

На теплоход без груза действуют сила тяжести теплохода (m₁⋅g), архимедова сила (F_A2) (рис. 1, б). В проекции на вертикальную ось получаем:

F_A2 – m₁⋅g = 0,

где F_A2 = ρ⋅g⋅V₂, V₂ = S⋅h₂, h₂ — глубина погружения теплохода без груза, h₂ = h₁ – h. Тогда

ρ⋅g⋅S⋅(h₁ – h) – m₁⋅g = 0. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

ρ⋅g⋅S⋅h₁ – m₁⋅g = m₂⋅g,  ρ⋅g⋅S⋅h₁ – m₁⋅g – ρ⋅g⋅S⋅h = 0,

m₂⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h,  m₂ = ρ⋅S⋅h,

m₂ = 3,2⋅10⁶ кг.