Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

371. Определить наименьшую площадь плоской льдины толщиной d = 40 см, способной удержать на воде человека массой m = 75 кг. Плотность льда ρ₁ = 0,9⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1⋅10³ кг/м³.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m₁⋅g), архимедова сила (F_A) и вес человека (m⋅g) (рис. 1). Площадь льдины, способная выдержать человека, будет наименьшей, если льдина почти полностью погрузится в воду. Льдина неподвижна, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

F_A – m₁⋅g – m⋅g = 0,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V, m₁ = ρ₁⋅V, V = S⋅d. Тогда

ρ₂⋅g⋅S⋅d – ρ₁⋅S⋅d g – m⋅g = 0,

\[ S=\frac{m}{\left(\rho _{2} -\rho _{1} \right) \cdot d}, \]

S = 2 м².

[alsak]

372. На плоту, состоящем из n = 20 одинаковых бревен, можно перевозить груз максимальной массой m = 1800 кг. Определить плотность древесины, если объем каждого бревна V = 0,3 м³, а плотность воды ρ₁ = 1⋅10³ кг/м³.

Решение. На плот в воде действуют сила тяжести плота (m₂⋅g), архимедова сила (F_A) и вес груза (m⋅g). При увеличении массы груза плот будет глубже опускаться в воду, и при некоторой максимальной массе m плот полностью погрузится в воду, но еще будет находиться у поверхности воды (рис. 1). Плот неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

F_A – m₂⋅g – m⋅g = 0,

где F_A = ρ₁⋅g⋅V₀, m₂ = ρ₂⋅V₀, V₀ = n⋅V. Тогда

ρ₁⋅g⋅n⋅V – ρ₂⋅n⋅V g – m⋅g = 0,

\[ \rho _{2} = \rho _{1} -\frac{m}{n \cdot V}, \]

ρ₂ = 700 кг/м³.

[alsak]

374. Масса шара-зонда, включая массу газа в нем, m = 50 кг, а объем V = 110 м³. Шар связан с землей веревкой. Плотность воздуха ρ = 1,3 кг/м³. Каково натяжение веревки, когда она: находится в вертикальном положении; под действием ветра отклонилась на угол α = 30° от вертикали?

Решение. 1 случай: веревка в вертикальном положении. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (F_A) и сила натяжения веревки (T₁) (рис. 1). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: F_A – m⋅g – T₁ = 0,

где F_A = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T₁ = 0,  T₁ = (ρ⋅V – m)⋅g,

T₁ = 9,3⋅10² Н.

2 случай: веревка под действием ветра отклонилась на угол α от вертикали. В этом случае на шар в воздухе действуют сила тяжести шара (m⋅g), архимедова сила (F_A), сила ветра (F_b) и сила натяжения веревки (T₂) (рис. 2). Шар неподвижен, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:

0Y: F_A – m⋅g – T₂⋅cos α = 0,

где F_A = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V – m⋅g – T₂⋅cos α = 0,
 
\[ T_2=\frac{\left(\rho \cdot V-m\right)\cdot g}{\cos \alpha }, \]

T₂ = 1,1⋅10³ Н.

[alsak]

376. В озере на глубине h = 5,0 м находится тело массой m = 2,0 кг и объемом V = 1,0⋅10³ см³. Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту Н = 5,0 м над поверхностью воды? Плотность воды ρ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀ = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h₂,

где h₂ = h + H. Тогда

W = m⋅g⋅(h + H). (2)

На тело действуют внешние силы: сила F, которая поднимает тело, и архимедова сила (F_A) (в воде). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

A_A = F_A⋅h,

где F_A = ρ⋅g⋅V. Тогда

A_A = ρ⋅g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:

A + A_A = W – W₀.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:

A + ρ⋅g⋅V⋅h = m⋅g⋅(h + H),      A = (m⋅(h + H) – ρ⋅V⋅h)⋅g,

A = 1,5⋅10² Дж.

[alsak]

377. Со дна водоема глубиной h = 11 м подъемным краном равномерно поднимают бетонный куб массой m = 2200 кг. Определить механическую работу по подъему этого куба до касания его верхней грани поверхности воды. Плотность бетона ρ₁ = 2,2⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность дна водоема (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀ = 0. (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h₁,

где h₁ = h – a, а — высота бетонного куба. Размеры куба найдем следующим способом:
 

\[ V=a^{3} =\frac{m}{\rho _{1}}, \;\;\; a=\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}}. \]

Тогда
 

\[ W=m \cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1}}} \right).\;\;\; (2) \]

На тело действуют внешние силы: сила тяги подъемного крана (F) и архимедова сила (F_A). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены в одну сторону (вверх), то работа архимедовой силы равна

A_A = F_A⋅h₁,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V, V = m/ρ₁. Тогда
 

\[ A_{A} =\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1}} \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right).\;\;\; (3) \]

Работа внешних сил равна:

A + A_A = W – W₀,  A = W – W₀ – A_A.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 

\[ A=m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)-\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} } \cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)= \]

\[ =m\cdot g\cdot \left(h-\sqrt[{3}]{\frac{m}{\rho _{1} } } \right)\cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \right), \]

A = 1,2⋅10⁵ Дж.

[alsak]

379. На какую глубину погрузится тело при падении в воду с высоты H и за какое время оно всплывет на поверхность? Трение тела о воздух и воду не учитывать. Плотность воды ρ₁, плотность тела ρ₂ < ρ₁. Начальная скорость тела υ₀ = 0.

Решение. Найдем глубину погружения h тела.
Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀ = m⋅g⋅h₁,

где h₁ = h + H, m — масса тела. Тогда

W₀ = m⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (F_A) (только в воде, трение тела о воздух и воду не учитывать). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

A_A = –F_A⋅h,

где F_A = ρ₁⋅g⋅V, V = m/ρ₂. Тогда
 

A_A = –ρ₁⋅g⋅h⋅m/ρ₂. (3)

Работа внешних сил равна:

A_A = W – W₀.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 

\[ -\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2}} \cdot h=-m\cdot g\cdot \left(h+H\right), \;\;\; \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{2}} \cdot h = H, \;\;\; h=\frac{H\cdot \rho _{2}}{\rho _{1} -\rho _{2}}.\;\;\; (4) \]

Найдем время, за которое тело всплывет на поверхность. В воде на тело действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (F_A) (рис. 2). Так как ρ₂ < ρ₁, тело будет всплывать вверх. Запишем проекцию второго закона Ньютона на вертикальную ось:

0Y: m⋅a = F_A – m⋅g или

 

\[ m\cdot a=\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{2} } -m\cdot g, \;\;\; a=\left(\frac{\rho _{1}}{\rho _{2} } -1\right)\cdot g = \frac{\rho _{1} -\rho _{2}}{\rho _{2} } \cdot g.\;\;\; (5) \]

Составим уравнение движения тела в воде:
 

\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \]

где y₀ = 0, υ_0y = 0, a_x = a. Пусть время t₁ — это время, за которое тело достигнет поверхности воды (y = h₂ = h). Тогда с учетом уравнений (4) и (5)
 

\[ h=\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2}, \;\;\; t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{a} } =\sqrt{\frac{2h\cdot \rho _{2} }{\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g} } = \frac{\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot \sqrt{\frac{2H}{g} }. \]

[alsak]

380. С какой высоты падал шарик, если он погрузился в воду на глубину h = 0,1 м? Плотность шарика ρ₁ = 0,4⋅10³ кг/м³, его начальная скорость υ₀ = 0, плотность воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³. Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту точки, находящейся на глубине h (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W₀ = m⋅g⋅h₁,

где h₁ = h + H, m = ρ₁⋅V — масса тела, H — высота, с которой падало тело, V — объем тела. Тогда

W₀ = ρ₁⋅V⋅g⋅(h + H). (1)

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0. (2)

На тело действует внешняя сила — архимедова сила (F_A) (только в воде), сопротивлением воздуха и воды пренебречь. Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

A_A = –F_A⋅h,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V. Тогда

A_A = – ρ₂⋅g⋅V⋅h. (3)

Работа внешних сил равна:

A_A = W – W₀.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(3), получаем:
 

\[ -\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h=-\rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot \left(h+H\right), \; \; \; h+H=\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \cdot h, \;\;\; H=\left(\frac{\rho _{2} }{\rho _{1}} -1\right)\cdot h,
 \]

H = 0,15 м.

[alsak]

381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см³ равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ₁ = 2,5⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется шарик при перемещении на h. Пусть скорость равномерного падения шарика равна υ (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 

\[ W_{0} = m\cdot g\cdot h_{0} + \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \]

где h₀ = h, m = ρ₁⋅V — масса тела. Тогда
 

\[ W_{0} = \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (1) \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 

\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = \frac{\rho _{1} \cdot V \cdot \upsilon ^{2}}{2}.\;\;\; (2) \]

На тело действуют внешние сила — сила сопротивление (F_c) и архимедова сила (F_A). Так как архимедова сила и перемещение тела в воде направлены разные стороны (сила направлена вверх, тело движется вниз), то работа архимедовой силы равна

A_A = –F_A⋅h,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V. Тогда

A_A = – ρ₂⋅g⋅V⋅h. (3)

Количество теплоты Q, которое выделится при перемещение шарика в воде, будет численно равно работе сил сопротивления А, но с противоположным знаком (т.к. A < 0), т.е.

Q = – А. (4)

Работа всех внешних сил равна:

A + A_A = W – W₀

или

Q = – А = A_A – W + W₀.

В итоге, с учетом уравнений (1)-(4), получаем:
 

\[ Q =-\rho _{2} \cdot g\cdot V\cdot h-\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} + \rho _{1} \cdot V\cdot g\cdot h+\frac{\rho _{1} \cdot V\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)\cdot g\cdot V\cdot h, \]

Q = 4,5⋅10^–2 Дж.

[alsak]

382. Сколько будет весить гиря массой m = 1,0 кг, взвешиваемая на пружинных весах в гондоле аэростата при его равноускоренном подъеме, если масса гондолы с оболочкой М = 500 кг? Оболочка имеет объем V = 1000 м³ и наполнена водородом, плотность которого ρ₁ = 0,10 кг/м³. Плотность воздуха ρ₂ = 1,3 кг/м³.

Решение. Предположим, что ускорение гондолы направлено вверх (ниже мы это определим). Тогда вес гири будет равен:

P = m⋅(g + a). (1)

Найдем ускорение гондолы. На гондолу с оболочкой действуют сила тяжести ((M + m + m_v)⋅g) (m_v — масса водорода)  и архимедова сила (F_A) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:

0Y: (M + m + m_v)⋅a = F_A – (M + m + m_v)⋅g,

где m_v = ρ₁⋅V, F_A = ρ₂⋅g⋅V. Тогда

\[ a=\frac{F_{A} }{M+m+m_{v} } -g=\frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V} -g \]

(a > 0, т.е. ускорение направлено вверх).
После подстановки в уравнение (1) получаем:

\[ P=m\cdot \frac{\rho _{2} \cdot g\cdot V}{M+m+\rho _{1} \cdot V}, \]

P = 22 Н.

Примечание. Силу тяжести гири, которая в 500 раз (?!) меньше силы тяжести гондолы, можно не учитывать.  Более точные расчеты дают такие ответы: с учетом силы тяжести гири — P = 21,63 Н, без учета — P = 21,67 Н. Расхождение 0,2 %.

[Styx]

381. Сплошной однородный стеклянный шарик объемом V = 0,5 см³ равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на h = 6 м? Плотность стекла ρ₁ = 2,5⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Задача решена неверно. W₂-W₁=A_{неконс сил}=А_сопр. С другой стороны:
W₂-W₁=Q. => Q = A_сопр=F_сопр*h*cos 180 = -F_сопр*h.
 Т.к. ускорение а=0, то F_сопр=mg - F_Арх.
=> Q = (p₁*g*V - p₂ *g*V)*h = (p₁ - p₂)*h*g*V.
Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами??? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил. Почему на чертеже не  обознач. сила тяжести??? На шарик действуют 3 силы.