Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

Задача решена неверно.

А по какому признаку вы определяете, решена задача правильно или нет? А не допускаете ли вы такой вариант, что задача решена другим способом, чем у вас?

Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами??? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил.

Укажите, пожалуйста, источник, где сказано, что понятие "внешние силы" устарело и им пользоваться нельзя? 

[alsak]

Вопрос к alsak: что вы понимаете под внешними силами??? Давно уже этими терминами не пользуются. Пользуются понятиями консерватив. и неконсервативн. сил.

В спорных вопросах я чаще всего использую учебник для углубленного изучения физики Мякишева Г.Я. Данный автор использует понятия «внешних и внутренних сил» (например, см. С. 289-292, 338-340), и «консервативные силы» (например, «…когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т.е. сохраняющимися» [C. 329]). Ссылки даны по книге Мякишев Г.Я. Физика: Механика. 10 кл.: учебник для углубленного изучения физики. — М.: Дрофа, 2004. — 496 с.

В большой технической энциклопедии читаем: «В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех остальных точек) называются те силы, к-рые представляют собою действие на эту систему других тел (других систем материальных точек), не включенных нами в состав данной системы. Внутренними силами являются силы взаимодействия между отдельными материальными точками данной системы.»

[alsak]

375. Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним концом крепится к шарниру. Снизу под стержень подводится ванна с водой. Стержень наклоняется так, что в воде находится половина его длины (рис. 1). Определить плотность материала стержня. Плотность воды ρ₁ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. На стержень действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (F_A) и сила упругости шарнира (момент этой силы относительно точки крепления О равен нулю, поэтому на рисунке не указана) (рис. 2).
Запишем условие равновесия для стержня относительно точки крепления О:

m⋅g⋅l₁ = F_A⋅l₂,

где m = ρ⋅V, ρ — плотность стержня, V — объем стержня, F_A = ρ₁⋅g⋅V/2 (учли, что стержень наполовину в воде). Найдем плечи, при этом учтем, что точка А — середина стержня, точка В — середина погруженной части стержня (т.е. середина половины стержня):

l₁ = OC = OA⋅cos α = l/2⋅cos α,

l₂ = OF = OB⋅cos α = 3l/4⋅cos α,

где l — длина стержня. Тогда
\[ \rho \cdot V\cdot g\cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha =\rho _{1} \cdot \frac{V}{2} \cdot g\cdot \frac{3l}{4} \cdot \cos \alpha, \; \; \; \rho =\frac{3}{4} \rho _{1}, \]
ρ = 750 кг/м³.

[alsak]

355. На концах лёгкого стержня длиной l = 20 см помещены два шарика: первый из свинца, второй из алюминия. Стержень шарнирно закреплен посередине и опущен в воду, где он находится в равновесии, занимая горизонтальное положение. На сколько нужно передвинуть по стержню второй шарик, чтобы равновесие восстановилось в воздухе? Плотность свинца ρ₁ = 11,3 ∙ 10³ кг/м³, алюминия ρ₂ = 2,7 ∙ 10³ кг/м³,воды ρ₃ = 1,0 ∙ 10³ кг/м³.
Решение:
на шарики, погружённые в воду, действуют силы (см. рис.):
на свинцовый - m₁g – сила тяжести, направленная вниз, m₁ – масса свинцового шарика, F₁ = ρ₃∙g∙V₁ - выталкивающая сила направленная вверх, V₁ = m₁/ρ₁ – объём свинцового шарика;
на алюминиевый – m₂g – сила тяжести, направленная вниз, m₂ – масса шарика, F₂ = ρ₃∙g∙V₂ - выталкивающая сила направленная вверх, V₂ = m₂/ρ₂ – объём алюминиевого шарика;
на шарики, расположенные в воздухе действуют силы (см. рис.):
на свинцовый - m₁g – сила тяжести, направленная вниз;
на алюминиевый – m₂g – сила тяжести, направленная вниз, при этом алюминиевый шарик передвинули на расстояние x к центру стержня (к шарнирному соединению)
   Т.к. стержень находится в равновесии, и, у него есть ось вращения (шарнирное соединение в центре). Условие равновесия для тела, имеющего ось вращения – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Учтём, что момент силы находится как произведение модуля силы на плечо (расстояние от линии действия силы до оси вращения) и будем считать момент положительным, если он вызывает вращение системы по часовой стрелке (в противном случае – момент силы будем считать отрицательным). Запишем правило моментов для двух ситуаций.
Условие равновесия стержня, находящегося в воде:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot \frac{l}{2} -m_{1} g\cdot \frac{l}{2} +m_{2} g\cdot \frac{l}{2} -F_{2} \cdot \frac{l}{2} =0,} \\ {\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{1} }{\rho _{1} } -m_{1} g+m_{2} g-\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } =0,} \\ {m_{2} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \right)=m_{1} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right).} \end{array} \]
Условие равновесия стержня, находящегося в воздухе:
\[ \begin{array}{l} {-m_{1} g\cdot \frac{l}{2} +m_{2} g\cdot \left(\frac{l}{2} -x\right)=0,} \\ {m_{2} \cdot \left(\frac{l}{2} -x\right)=m_{1} \cdot \frac{l}{2}.} \end{array} \]
Разделим полученные уравнения дуг на друга (при этом сократятся неизвестные нам массы шариков) и выразим искомое расстояние x:
\[ \frac{1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } }{\frac{l}{2} -x} =\frac{1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } }{\frac{l}{2}}. \]
Из полученного уравнения выразим расстояние x, например
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{2} \cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \right)=\left(\frac{l}{2} -x\right)\cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right),} \\ {x\cdot \left(1-\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right)=\frac{l}{2} \cdot \left(\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } -\frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \right),} \\ {x=\frac{l\cdot \rho _{3} }{2\cdot \rho _{2} } \cdot \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{3} } .} \end{array} \]
Ответ: 3,1 ≈ 3 см.

[alsak]

356. Сосуд с водой уравновешен на одной из чашек рычажных весов. В сосуд опускают подвешенный брусок массой m так, что он оказывается полностью погружённым в воду, но не касается стенок и дна сосуда. Груз какой массы и на какую чашку надо положить, чтобы восстановить равновесие? Плотность металла ρ₁, воды ρ₂.
Решение:на брусок со стороны воды действует сила Архимеданаправленная вертикально вверх и равная
\[ F_{a} =\rho _{2} \cdot g\cdot V=\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} }, \]
здесь учли, что объём бруска можно определить, зная его массу и плотность: 

V = m/ρ₁.

По третьему закону Ньютона на воду со стороны бруска (а соответственно и на сосуд с водой, стоящий на чашке весов) действует такая же сила, но направленная вниз. Значит, на другую чашку весов надо положить груз, вес которого равен по модулю силе Архимеда (P = m₁g=F_a). В этом случае масса этого груза будет равна:
\[ m_{1} =\frac{F_{a} }{g} =m\cdot \frac{\rho _{2} }{\rho _{1}}. \]

[alsak]

357. На чашах погруженных в воду равноплечих весов находятся алюминиевый и железный шары, массы которых одинаковы и равны m. Определить массу сплошного шара из меди, который надо добавить для восстановления равновесия. Плотность алюминия ρ₁ = 2,7 ∙ 10³ кг/м³, железа ρ₂ = 7,9 ∙ 10³ кг/м³, меди ρ₃ = 8,9 ∙ 10³ кг/м³, воды ρ₄ = 1,0 ∙ 10³ кг/м³.
Решение: т.к. массы шаров одинаковы, то в воздухе равновесие весов нарушено не будет. При погружении в воду равновесие нарушится, т.к. плотность алюминия меньше плотности железа, то при одинаковых массах, объём алюминиевого шарика будет больше, и, как следствие, выталкивающая сила (сила Архимеда) на него будет больше, чем выталкивающая сила на железный шарик. Это приведёт к тому, что чаша, на которой находится алюминиевый шарик, приподнимется и для восстановления равновесия на неё нужно положить медный шарик.
  На шары, погружённые в воду, действуют силы (см. рис.):
на алюминиевый - mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F₁ = ρ₄∙g∙V₁ - выталкивающая сила направленная вверх, V₁ = m/ρ₁ – объём шарика;
на железный – mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F₂ = ρ₄∙g∙V₂ - выталкивающая сила направленная вверх, V₂ = m/ρ₂ – объём шарика;
на медный – m_xg – сила тяжести, направленная вниз, m_x – масса шарика, F₂ = ρ₄∙g∙V - выталкивающая сила направленная вверх, V = m_x/ρ₃ – объём медного шарика;
Условие равновесия весов – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Момент силы находится как произведение модуля силы на плечо (в нашем случае весы равноплечие, поэтому плечи у всех сил одинаковы и равны l), и будем считать момент положительным, если он вызывает вращение системы по часовой стрелке (в противном случае – момент силы будем считать отрицательным).
Запишем правило моментов для весов, находящихся в воде:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot l+F_{3} \cdot l+mg\cdot l-mg\cdot l-m_{x} g\cdot l-F_{2} \cdot l=0,} \\ {\rho _{4} \cdot \frac{m}{\rho _{1} } +\rho _{4} \cdot \frac{m_{x} }{\rho _{3} } -m_{x} -\rho _{4} \cdot \frac{m}{\rho _{2} } =0,} \\ {m_{x} \cdot \left(1-\frac{\rho _{4} }{\rho _{3} } \right)=m\cdot \rho _{4} \cdot \left(\frac{1}{\rho _{1} } -\frac{1}{\rho _{2} } \right),} \\ {m_{x} =m\cdot \frac{\left(\frac{1}{\rho _{1} } -\frac{1}{\rho _{2} } \right)}{\left(\frac{1}{\rho _{4} } -\frac{1}{\rho _{3} } \right)}.} \end{array} \]
Ответ: 0,27∙m ≈ 0,3∙m.

[alsak]

358. К коромыслу равноплечих весов подвешены два сплошных однородных шарика равной массы, сделанных из разных материалов. Если одновременно поместить один из шариков в жидкость плотностью ρ₁ = 1 ∙ 10³ кг/м³, а другой – в жидкость плотностью ρ₂ = 0,8 ∙ 10³ кг/м³, то равновесие сохранится. Считая, что плотности шариков больше плотностей жидкостей, найти отношение плотностей шариков.
Решение:
на шарики, погружённые в жидкости, действуют силы (см. рис.):
первый шарик: mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F₁ = ρ₁∙g∙V₁ - выталкивающая сила направленная вверх, V₁ = m/ρ₃ – объём первого шарика, ρ₃ – плотность материала, из которого он сделан;
второй шарик: mg – сила тяжести, направленная вниз, m – масса шарика, F₂ = ρ₂∙g∙V₂ – выталкивающая сила направленная вверх, V₂ = m/ρ₄ – объём шарика, ρ₄ – плотность материала, из которого сделан второй шарик.
Условие равновесия весов – правило моментов сил относительно оси вращения (сумма моментов равна нулю). Момент силы находится как произведение модуля силы на плечо l весов. Будем считать момент положительным, если он вызывает вращение по часовой стрелке (в противном случае – момент будем считать отрицательным). Имеем:
\[ \begin{array}{l} {F_{1} \cdot l-mg\cdot l+mg\cdot l-F_{2} \cdot l=0,} \\ {F_{1} =F_{2} ,} \\ {\rho _{1} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{3} } =\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{4} } ,} \\ {\frac{\rho _{1} }{\rho _{3} } =\frac{\rho _{2} }{\rho _{4} } ,} \\ {\frac{\rho _{3} }{\rho _{4} } =\frac{\rho _{1} }{\rho _{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,25.

[alsak]

373. Для взятия пробы грунта на дно океана на стальном тросе опускают прибор. Найти предельную глубину погружения, если предел прочности на разрыв стали σ = 4,8 ∙ 10⁸ Па. Массой прибора по сравнению с массой троса пренебречь. Плотность стали ρ₁ = 7,8 ∙ 10³ кг/м³, плотность океанской воды ρ₂ = 1,03 ∙ 10³ кг/м³.
Решение: рассмотрим силы, действующие на трос:  mg –сила тяжести, направленная вниз, где m – масса троса, F_a – выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх. Под действием этих сил трос испытывает натяжение. Пусть F_y – сила натяжения троса, которую определим как модуль разности силы тяжести и выталкивающей силы (т.к. они имеют противоположное направление) т.е.

F_y = mg – F_a.  (1)

Максимальную силу упругости определим, зная предел прочности

F_y = σ∙S.

Выталкивающая сила, по закону Архимеда

F_a = ρ₂∙g∙V = ρ₂∙g∙S∙h,

где V – объём троса, h – его длина, S – площадь поперечного сечения.
Масса троса

m = ρ₁∙V = ρ₁∙S∙h.

Таким образом, поле подстановки в формулу (1), получим

σ∙S = ρ₁∙g∙S∙h – ρ₂∙g∙S∙h.

Отсюда искомая длина троса (глубина)
\[ h=\frac{\sigma }{g\cdot \left(\rho _{{\rm 1}} - {\rm \; }\rho _{{\rm 2}} \right)}. \]
Ответ: 7,2 ∙ 10³ м (g = 9,8 м/с²)