Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

	401	402	403	404	405	406	407	408	409
410	411	412	413	414	415	416	417	418	419
420	421	422	423	424	425	426	427	428	429
430	431	432	433	434	435	436

[alsak]

401. Сколько молекул содержится в насыщенном водяном паре массой m = 1 кг и сколько в ненасыщенном водяном паре, имеющем такую же массу? Молярная масса воды Μ = 18⋅10^-3 кг/моль. Постоянная Авогадро Ν_A = 6,02⋅10²³ моль^–1.

Решение. Число молекул и масса вещества связаны соотношением
\[ N= \frac{m}{M} \cdot N_{A}, \]

N = 3⋅10²⁵.
И как видно из формулы, число молекул не зависит от того в каком состоянии находится вещество (пар).

[alsak]

402. Водород массой m = 0,3 г находится в сосуде вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода. Молярная масса водорода Μ = 2⋅10^–3 кг/моль, постоянная Авогадро Ν_A = 6,02⋅10²³ моль^–1.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)

\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m₀ = m/V — плотность газа. Тогда

\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \;\;\; (1)  \]

<υ> = 2⋅10³ м/с.

Примечание. По условию не понятно какую энергию надо искать: энергию 1) всех молекул водорода или 2) одной молекулы. Автор рассматривает последний вариант, хотя в условии написано «среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода».

1 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа

\[ E = N \cdot \left\langle E_{k} \right\rangle =N\cdot \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m₀ = m/N — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

\[ E = N \cdot \frac{m}{2N} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{m}{2} \cdot \frac{3p\cdot V}{m} =\frac{3p\cdot V}{2}, \]

Е = 600 Дж.

2 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

\[ \left\langle E_{k} \right\rangle = \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m₀ = M/N_A — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

\[ \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \frac{3p\cdot V}{m}, \]

Е = 6,6⋅10^–21 Дж.

[alsak]

404. Под каким давлением находится в баллоне кислород, если вместимость баллона V = 5 л, а средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул кислорода Ε = 6 кДж?

Решение. Давление газа и средняя кинетическая энергия одной молекулы связаны соотношением

\[ p=\frac{2}{3} n\cdot \left\langle E_{k} \right\rangle, \]

где

\[ n=\frac{N}{V} ,\; \; \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{E}{N}, \]

N – число молекул газа. Тогда

\[ p=\frac{2N}{3V} \cdot \frac{E}{N} =\frac{2E}{3V}, \]

p = 8∙10⁵ Па.

Примечание. Информация, что в баллоне кислород, в решении не используется.

[alsak]

405. Определить массу водорода и число молекул, содержащихся в сосуде вместимостью V = 20 л при давлении p = 2,5⋅10⁵ Па и температуре t = 27 °С. Молярная масса водорода M = 2⋅10^–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К). Постоянная Авогадро Ν_A = 6,02⋅10²³ моль^–1.

Решение. Массу газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева

\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,\; \; \; m=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}, \;\;\; (1)  \]

m = 4⋅10^–3 кг.

Число молекул и масса вещества связаны соотношением (учтем при этом уравнение (1))

\[ N=\frac{m}{M} \cdot N_{A} =\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T} \cdot \frac{N_{A} }{M} =\frac{p\cdot V\cdot N_{A} }{R\cdot T}, \]

N = 1,2⋅10²⁴.

[alsak]

406. Газ массой m = 2,0 кг занимает объем V = 9,03 м³ при давлении p = 100 кПа. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул этого газа.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)
 

\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m₀ = m/V — плотность газа. Тогда
 

\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \]

<υ> = 1,2⋅10³ м/с.

[alsak]

408. Цилиндрический сосуд высотой l = 40 см разделен на две части невесомым тонким поршнем, скользящим без трения. Поршень находится на высоте h = 26,7 см над дном цилиндра. Под поршнем находится водород, а над поршнем — газ с неизвестной молярной массой. Масса этого газа равна массе водорода. Найти молярную массу газа. Молярная масса водорода Μ₁ = 2⋅10^–3 кг/моль. Температура газов одинаковая.

Решение. Так как поршень неподвижен и невесом, то давления газов снизу и сверху равные, т.е.

p₁ = p₂. (1)

Пусть S — площадь сечения цилиндрического сосуда, тогда объемы газов равны (рис. 1)

V₁ = S⋅h,  V₂ = S⋅(l – h) (2)

(т.к. поршень тонкий, то его толщиной пренебрегаем).
Распишем уравнения Клапейрона-Менделеева (с учетом (2)) для каждого газа

\[  p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \; \; \; p_{1} \cdot S\cdot h=\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \;\;\; (3) \]

\[ p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)=\frac{m}{M_{2} } \cdot R\cdot T \;\;\; (4) \]

(массы газов и температуры одинаковые). Решим систему уравнений (1), (3) и (4). Например,

\[ \frac{p_{1} \cdot S\cdot h}{p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)} =\frac{m}{M_{1}} \cdot R\cdot T\cdot \frac{M_{2}}{m\cdot R\cdot T}, \;\;\; \frac{h}{l-h} = \frac{M_{2}}{M_{1}}, \;\;\; M_{2} = \frac{M_{1} \cdot h}{l-h}, \]

Μ₂ = 4⋅10^–3 кг/моль

[alsak]

409. В воде на глубине h₁ = 1 м находится шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине этот пузырек имеет вдвое меньший радиус? Плотность воды ρ = 1⋅10³ кг/м³. Атмосферное давление p₀ = 1⋅10⁵ Па. Температура воды постоянна и не зависит от глубины. Давлением, обусловленным кривизной поверхности, пренебречь.

Решение. Так как процесс изотермический («температура воды постоянна»), то

p₁⋅V₁ = p₂⋅V₂,

где p₁ = p₀ + ρ⋅g⋅h₁, p₂ = p₀ + ρ⋅g⋅h₂, V₁ = 4/3⋅π⋅R₁³, V₂ = 4/3⋅π⋅R₂³, R₁ = 2R₂ («вдвое меньший радиус»). Тогда

(p₀ + ρ⋅g⋅h₁)⋅4/3⋅π⋅R₁³ = (p₀ + ρ⋅g⋅h₂)⋅4/3⋅π⋅R₂³,

\[ p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{2} =\left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right)\cdot \left(\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)^{3} =8\cdot \left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right),  \]
\[ \rho \cdot g\cdot h_{2} =7p_{0} +8\rho \cdot g\cdot h_{1}, \;\;\;h_{2} =\frac{7p_{0} }{\rho \cdot g} +8h_{1}, \]

h₂ = 78 м.

[alsak]

410. Тонкостенный резиновый шар массой m₀ = 50 г наполнен азотом и погружен в озеро на глубину h = 100 м, где температура воды t = 4 °С, и находится в равновесии. Найти массу азота. Атмосферное давление p₀ = 760 мм рт. ст., молярная масса азота Μ = 28⋅10^–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), плотность воды ρ = 1⋅10³ кг/м³.

Решение. На шар действуют сила тяжести ((m₀ + m₁)⋅g) (m₁ — это масса  азота) и архимедова сила (F_A) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось (шар в равновесии):

0Y: 0 = F_A – (m₀ + m₁)⋅g,

где F_A = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V = (m₀ + m₁)⋅g. (1)

Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева

p⋅V = m₁/M⋅R⋅T,

где p = p₀ + ρ⋅g⋅h. Для перевода атмосферного давления в мм рт. ст. в Паскали можно так же воспользоваться формулой p₀ = ρ₂⋅g⋅h₂, где ρ₂ = 13600 кг/м³ — плотность ртути, h₂ = 760 мм = 0,76 м. Тогда

\[  \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g \cdot V=\frac{m_{1}}{M} \cdot R \cdot T. \;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

\[ V=\frac{m_{0} +m_{1} }{\rho }, \; \; \; \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} +m_{1} }{\rho } =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T,  \]
\[ \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} }{\rho } = \left(\frac{R\cdot T}{M} -\frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g}{\rho } \right) \cdot m_{1}, \]
\[ m_{1} =\frac{m_{0}}{\rho } \cdot \frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M\cdot \rho}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} =\frac{m_{0} \cdot \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} ,  \]

m₁ = 6,8⋅10^–4 кг.

Примечание. В условие надо добавить или плотность ртути, или что 1 мм рт. ст. = 133 Па.

[alsak]

411. В кабине космического корабля «Восток-2» температура во время полета колебалась от t₁ = 10 °С до t₂ = 22 °С. На сколько процентов изменялось при этом давление?

Решение. Процесс происходит в несжимаемом (по умолчанию) корабле, масса воздуха не изменяется (корабль, по умолчанию, герметически закрыт), поэтому процесс можно считать изохорным:

p₁/T₁ = p₂/T₂.

Предположим, что давление изменилось на Δp.Так как t₂ > t₁, то p₂ > p₁ и

p₂ = p₁ + Δp.

Тогда

\[ \frac{p_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{1} +\Delta p}{T_{2}}, \;\; \; \Delta p=\frac{p_{1} \cdot T_{2}}{T_{1}} -p_{1} = p_{1} \cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right).  \]

Изменение давления в процентах будет равно

\[ \eta =\frac{\Delta p}{p_{1}} \cdot 100\% =\left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right) \cdot 100\%, \]

η = 4,2 %.