Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

412. На V-T-диаграмме изображен процесс, который произошел с газом при постоянном давлении и постоянном объеме (рис. 1). Как при этом изменилась масса газа?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний процесса:

\[ p\cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p\cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(давление и объем постоянны), T₂ = 2T₁ (из графика). Тогда

\[ \frac{p\cdot V}{p\cdot V} =\frac{m_{1} \cdot R\cdot T_{1} }{M} \cdot \frac{M}{m_{2} \cdot R\cdot T_{2} } ,\; \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{T_{1} }{T_{2} } =\frac{T_{1} }{2T_{1} } =\frac{1}{2}.  \]

Ответ. Масса уменьшилась в 2 раза.

[alsak]

413. В баллоне был некоторый газ. После того как из баллона выпустили часть газа, температура газа уменьшилась в n раз, а давление — в k раз. Какая часть газа выпущена?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний:

\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(объем баллона не изменился), T₁ = n⋅T₂, p₁ = k⋅p₂ (из условия). Тогда

\[ \frac{p_{2} \cdot V}{p_{1} \cdot V} =\frac{m_{2} \cdot R\cdot T_{2}}{M} \cdot \frac{M}{m_{1} \cdot R\cdot T_{1}}, \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{p_{2} \cdot T_{1}}{p_{1} \cdot T_{2}} =\frac{p_{2} \cdot n\cdot T_{2}}{k\cdot p_{2} \cdot T_{2}} = \frac{n}{k}. \]

Часть газа, которая выпущена, равна

\[ \eta =\frac{\Delta m}{m_{1}} = \frac{m_{1} -m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{n}{k}. \]

[alsak]

414. Из баллона вместимостью V₁ = 0,20 м³, содержащего идеальный газ при температуре Т₁ = 273 К под давлением p₁ = 2,0⋅10⁶ Па, выпустили часть газа, которая заняла при нормальных условиях объем V₂ = 1,0 м³. После этого давление p₂ в баллоне стало равным 1,4⋅10⁶ Па. Определить температуру газа, оставшегося в баллоне.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для трех состояний: 1) для массы m₁ при давлении p₁, 2) для массы m₂ при давлении p₂ и объеме V₁, т.к. тот же баллон, 3) для части газа массой m₃ (где m₂ = m₁ – m₃) при нормальных условиях (Т₃ = 273 К, p₃ = 1,0⋅10⁵ Па)
 

\[ p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V_{1} =\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} ,\; \; \; p_{3} \cdot V_{2} =\frac{m_{3} }{M} \cdot R\cdot T_{3}. \]

Решим систему этих уравнений. Например,
 

\[ m_{3} =\frac{p_{3} \cdot V_{2} \cdot M}{R\cdot T_{3} } ,\; \; m_{1} \; =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot M}{R\cdot T_{1} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{2} } = \]
\[ =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{1} -m_{3} } =\frac{p_{2} \cdot V_{1} \cdot T_{1} \cdot T_{3} }{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{3} -p_{3} \cdot V_{2} \cdot T_{1}}, \]

T₂ = 255 К.

[alsak]

415. Определить плотность идеального газа при температуре t = 100 °С и давлении p = 1⋅10⁵ Па, а также массу одной молекулы этого газа, если его молярная масса Μ = 32⋅10^–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), постоянная Авогадро Ν_A = 6,02⋅10²³ моль^–1.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева
 

\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]

Тогда плотность газа
 

\[ \rho =\frac{m}{V} =\frac{p\cdot M}{R\cdot T}, \]

ρ = 1 кг/м³.

Массу одной молекулы газа найдем так:

m₀ = M/N_A,

m₀ = 5,3⋅10^–26 кг.

[alsak]

416. Определить плотность смеси, содержащей m₁ = 4 г водорода и m₂ = 32 г кислорода при температуре t = 7 °С и общем давлении p = 1⋅10⁵ Па. Молярная масса водорода М₁ = 2⋅10^–3 кг/моль, кислорода M₂= 32⋅10^–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Плотность смеси газов равна

ρ = m/V = (m₁ + m₂)/V.

Объем V смеси газов найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева для каждого газа и закона Дальтона
 

\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1}}{M_{1}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2}}{M_{2}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p=p_{1} +p_{2}. \]

Решим систему полученных уравнений. Например,

\[ p=\left(\frac{m_{1}}{M_{1}} +\frac{m_{2}}{M_{2}} \right)\cdot \frac{R\cdot T}{V}, \;\;\; V=\frac{m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1}}{M_{1} \cdot M_{2}} \cdot \frac{R\cdot T}{p}, \]
\[ \rho =\frac{M_{1} \cdot M_{2} \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot p}{\left(m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1} \right)\cdot R\cdot T}, \]

 
ρ = 0,5 кг/м³.

[alsak]

417. До какого давления накачали футбольный мяч вместимостью V = 3 л, если при этом было сделано N = 40 качаний поршневого насоса? За каждое качание мяч захватывает из атмосферы V₀ = 150 см³ воздуха. Вначале мяч был пустой. Атмосферное давление р₀ = 1⋅10⁵ Па.

Решение. Будем считать, что процесс изотермический, тогда

p₁⋅V₁ = p₂⋅V₂,

где состояние 1 — для воздуха, который должен захватить насос за N качаний, но который еще находится в атмосфере, т.е. p₁ = p₀, V₁ = N⋅V₀, состояние 2 — для этого же воздуха, но который находится уже в мяче (после N качаний), т.е. V₂ = V. Тогда
 

\[ p_{0} \cdot N \cdot V_{0} =p_{2} \cdot V, \; \; \; p_{2} =\frac{p_{0} \cdot N \cdot V_{0}}{V}, \]

p₂ = 2⋅10⁵ Па.

Примечание. 1. Ошибка в условии: «За каждое качание мяч захватывает», надо «За каждое качание насос захватывает».
2. Необходимо в условии указать, что процесс изотермический (это не очевидный факт).

[alsak]

418. Давление р₀ воздуха в сосуде было равно 1,01⋅10⁵ Па. После трех ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до значения p = 2 кПа. Определить отношение вместимости сосуда к вместимости цилиндра поршневого насоса. Температуру воздуха в процессе откачки считать постоянной.

Решение. Процесс откачки газа из сосуда объема V₀ можно схематически описать так: к этому сосуду присоединяют пустой цилиндр насоса объема V_c. Газ расширяется (занимает объем V₀ + V_с), давление уменьшается. Затем цилиндр отсоединяют, выпускают газ, и опять пустой цилиндр присоединяют к сосуду. И так несколько раз.
Рассмотрим эти процессы по очереди. Так как температура не изменяется, и в процессе расширения масса не меняется, то процесс считаем изотермическим.
Процесс 1: первое подключение к сосуду цилиндра насоса. Запишем уравнение изотермического процесса:

p₀⋅V₀ = p₁⋅V₁,

где V₁ = V₀ + V_с. Тогда

p₀⋅V₀  = p₁⋅(V₀ + V_с). (1)

Процесс 2: второе подключение к сосуду цилиндра насоса.

p₁⋅V₀  = p₂⋅(V₀ + V_с). (2)

Процесс 3: третье подключение к сосуду цилиндра насоса.

p₂⋅V₀  = p₃⋅(V₀ + V_с), (3)

где p₃ = p (по условию).
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

\[ p_{2} =p\cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}}, \;\;\; p_{1} =p_{2} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{2}, \]
\[ p_{0} =p_{1} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{3} =p\cdot \left(1+\frac{V_{c}}{V_{0}} \right)^{3}, \]
\[ 1+\frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}}, \;\;\; \frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}} -1, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} = \frac{1}{\sqrt[{3}]{p_{0}/p} -1}, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} =0,4.  \]

[alsak]

419. Сосуд вместимостью V = 10 л наполнили газом при давлении p = 2⋅10⁵ Па. Найти массу воды, которая войдет в сосуд, если под водой на глубине h = 40 м в самой нижней части его будет сделано отверстие. Атмосферное давление p₀ = 1⋅10⁵ Па. Плотность воды ρ = 1⋅10³ кг/м³. Изменением температуры воды с глубиной пренебречь.

Решение. Если в сосуде с газом, расположенном в воде, сделать внизу отверстие, то вода станет заполнять сосуд, а газ в сосуде начнет сжиматься (рис. 1). Происходить это будет до тех пор, пока давление около отверстия внутри сосуда p₂ не станет равным давлению снаружи p₃, т.е.

p₂ = p₃.

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда, l = V/S — высота сосуда, l₂ — высота столбца жидкости в сосуде, l₁ = l – l₂ — высота столбца газа в сосуде, V₁ = l₁⋅S — объем, который будет занимать сжатый газ.
Давление p₃ = p₀ + ρ⋅g⋅h, давление p₂ = p₁ + ρ⋅g⋅l₂. Тогда

p₁ + ρ⋅g⋅l₂ = p₀ + ρ⋅g⋅h. (1)

Будем считать, что процесс изотермический (вода служит термостатом), тогда

p⋅V = p₁⋅V₁

или

p⋅V = p₁⋅S⋅(l – l₂) = p₁⋅(V – S⋅l₂). (2)

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными: p₁, S, l₂. Однозначного ответа задача не имеет.

Один из вариантов приближенного решения. Значение объема сосуда V = 10 л дает нам возможность предположить, что высота сосуда будет меньше 1 метра. Тогда высота l₂ будет еще меньше, и, следовательно, гидростатическим давлением воды внутри сосуда можно пренебречь по сравнению с давлением снаружи.
Обозначим V₂ = S⋅l₂ — объем воды в сосуде. С учетом наших уточнений уравнения (1) и (2) примут вид:

p₁ = p₀ + ρ⋅g⋅h, (3)

p⋅V = p₁⋅(V – V₂). (4)

Решим систему уравнений (3)-(4). Например,

p⋅V = (p₀ + ρ⋅g⋅h)⋅(V – V₂),
 
\[ V_{2} =V-\frac{p\cdot V}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} ,\; \; \; m=\rho \cdot V_{2} =\rho \cdot V\cdot \left(1-\frac{p}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} \right), \]

m = 6 кг.

Оценим наше приближение. Давление снаружи соответствует 50 м столбцу жидкости (атмосферное давление + 40 м). Пренебречь столбцом жидкости в сосуде можно, если его высота будет меньше 2,5 м (разница в 20 раз). Если сделать несложные вычисления, то высота столбца жидкости будет 2 м в сосуде высотой 3,3 м (площадь основания 30 см²). Для объема 10 л достаточно редкий сосуд, но вполне реален.

[alsak]

420. С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка, применяемая в медицинской практике для лечения, если диаметр ее отверстия d = 4,0 см? В момент прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до температуры t₁ = 80 °С, а температура окружающего воздуха t₂ = 20 °С. Атмосферное давление p₀ = 1,0⋅10⁵ Па. Изменением объема воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь.

Решение. Если к телу прижать банку с горячим воздухом и подождать некоторое время, то банка прилипает к телу. Это происходит из-за того, что горячий воздух в банке начинает охлаждаться (до температуры окружающей среды), и давление внутри банки уменьшается. В итоге получается давление снаружи больше, чем внутри.
Сила прижима банки (сила давления) к телу будет равна:

F = Δp⋅S,

где Δp = p₀ – p₂, p₂ — давление воздуха внутри банки, S = π⋅d²/4 — площадь поперечного сечения банки. Сила прижима будет максимальным, если воздух внутри банки охладиться до температуры окружающего воздуха t₂ (p₂ будет наименьшим). Тогда

F = (p₀ – p₂)⋅S. (1)

Так как объем воздуха внутри банки не изменяется (изменением объема воздуха в банке пренебречь), то это изохарический процесс и
 

\[ \frac{p_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} }{T_{2} }, \;\;\; (2) \]

где p₁ = p₀ — в момент прикладывания банки к телу воздух находился при атмосферном давлении. Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

\[ p_{2} =\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}}, \;\;\; F=\left(p_{0} -\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot S=\left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot p_{0} \cdot \frac{\pi \cdot d^{2}}{4}, \]

F = 21 Н.

[alsak]

421. В блюдце налита вода, а сверху ставится перевернутый вверх дном нагретый стакан с тонкими стенками. До какой наименьшей температуры Т₁ должен быть нагрет стакан вместе с находящимся в нем воздухом, чтобы после остывания до температуры Τ₂ окружающего воздуха вся вода оказалась бы втянутой в стакан? Масса воды m, плотность воды ρ, атмосферное давление р₀, площадь поперечного сечения стакана S, высота h. Объем налитой воды меньше вместимости стакана. Явлениями испарения, поверхностного натяжения и расширения стакана пренебречь. Блюдце считать широким, так что высота налитой в него воды мала.

Решение. При остывании воздуха в стакане, давление там начнет уменьшаться, а вода втягиваться в стакан. Температура T₁ будет наименьшей, если процесс охлаждения прекратится сразу же после втягивания всей воды в стакан. Происходить это будет до тех пор, пока давление снаружи p_c не станет равным давлению внутри стакана p_v, т.е.

p_c = p_v. (1)

Давление снаружи p_c = p₀ — это атмосферное давление. Давление внутри стакана равно

p_v = p₂ + p_b, (2)

где p_b = m⋅g/S — давление воды в стакане, p₂ — давление воздуха после остывания до температуры T₂. Это давление (p₂) найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в стакане (рис. 1):
 

\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}}, \;\;\; (3) \]

где p₁ = p₀ (т.к. стакан при нагревании был открыт), V₁ = S⋅h, V₂ = V₁ – V₃, V₃ = m/ρ— объем воды в стакане.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ p_{2} =p_{v} -p_{b} =p_{0} -\frac{m\cdot g}{S}, \;\;\; T_{1} =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{2}}{p_{2} \cdot V_{2}} = \frac{p_{0} \cdot S\cdot h \cdot T_{2}}{\left(p_{0} -m\cdot g/S\right)\cdot \left(S\cdot h-m/\rho \right)}.  \]

Примечание. Стакан должен быть цилиндрической формы.