Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

422. Два сосуда, содержащих один и тот же газ при одинаковой температуре, соединены трубкой с краном. Вместимости сосудов V₁ и V₂, а давления в них р₁ и p₂. Каким будет давление газа после того, как откроют кран соединительной трубки? Температуру газа считать постоянной.

Решение. После того как откроют кран, каждый из газов станет занимать объем V = V₁ + V₂, а давления их уменьшаться и станут равными p₃ и p₄. Общее давление двух газов будет равно

p = p₃ + p₄. (1)

Так как «температуру газа считать постоянной», то для каждого газа считаем процесс изотермическим:

p₁⋅V₁ = p₃⋅(V₁ + V₂), (2)

p₂⋅V₂ = p₄⋅(V₁ + V₂). (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ p_{3} =\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{V_{1} +V_{2}}, \;\;\; p_{4} =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, \;\;\; p=\frac{p_{1} \cdot V_{1} +p_{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}. \]

[alsak]

423. В расположенные вертикально сообщающиеся цилиндрические сосуды, первый из которых имеет площадь поперечного сечения S₁, а второй S₂, налили жидкость. Затем первый сосуд закрыли и находящийся в нем воздух нагрели от температуры T₁ до температуры Т₂, в результате чего уровень жидкости во втором сосуде поднялся на величину h. Определить температуру Τ₂, если известно, что начальный объем воздуха в закрытом сосуде V₁, атмосферное давление p₀, плотность жидкости ρ. Тепловым расширением сосуда и жидкости пренебречь.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

р_А = р_В,

где p_А = p₂, p_В = ρ⋅g⋅h₂ + p₀. Тогда

p₂ = ρ⋅g⋅h₂ + p₀. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h₂ = Δh₁ + h,

где Δh₁ — высота, на которую опустится жидкость в закрытом сосуде.
Из условия не сжимаемости жидкости

ΔV₁ = ΔV₂,  S₁⋅Δh₁ = S₂⋅h.

Тогда
 

\[  \Delta h_{1} =\frac{S_{2}}{S_{1} } \cdot h, \; \; \; h_{2} =\frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot h+h =\left(\frac{S_{2} }{S_{1} } +1\right)\cdot h. \;\;\; (2) \]

Давление p₂ найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в закрытом сосуде:
 

\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2} }, \;\;\; (3)  \]

где p₁ = p₀, V₂ = V₁ + S₁⋅Δh₁ = V₁ + S⋅h.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[  p_{2} =\rho \cdot g\cdot \left(\frac{S_{2}}{S_{1} } +1\right)\cdot h+p_{0}, \; \; \; T_{2} =p_{2} \cdot V_{2} \cdot \frac{T_{1}}{p_{1} \cdot V_{1}} =  \]
\[ =\left(\rho \cdot g\cdot \left(\frac{S_{2}}{S_{1}} +1\right)\cdot h+p_{0} \right)\cdot \left(V_{1} +S_{2} \cdot h\right)\cdot \frac{T_{1} }{p_{0} \cdot V_{1}}. \]

[alsak]

424. Воздух находится в открытом сверху вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем массой m = 20 кг с площадью поперечного сечения S = 20 см². После того как сосуд стали двигать вертикально вверх с ускорением a = 5,0 м/с², высота столба воздуха между поршнем и дном сосуда уменьшилась и стала составлять α = 0,80 начальной высоты. Считая температуру постоянной, найти по этим данным атмосферное давление. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.

Решение. В задаче описано два состояния воздуха под поршнем: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется вверх с ускорением.
На поршень в двух случаях действуют сила тяжести (m⋅g), сила атмосферного давления (F₀) и сила давления воздуха под поршнем (F), где F₀ = p₀⋅S, F = p⋅S, p₀ — атмосферное давление, p — давление воздуха под поршнем. Запишем проекцию второго закона Ньютона для двух состояний:
1 состояние (рис. 1)

0Y: F₁ – F₀ – m⋅g = 0

или

p₁⋅S – p₀⋅S – m⋅g = 0, (1)

2 состояние (рис. 2)

0Y: F₂ – F₀ – m⋅g = m⋅a

или

p₂⋅S – p₀⋅S – m⋅g = m⋅a. (2)

Так как температура постоянна, то для воздуха под поршнем процесс изотермический. Поэтому

p₁⋅V₁ = p₂⋅V₂,

где V₁ = S⋅l₁, V₂ = S⋅l₂, l₂ = α⋅l₁ (по условию). Тогда

p₁⋅S⋅l₁ = p₂⋅S⋅α⋅l₁ или p₁ = α⋅p₂. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

p₂⋅S = m⋅a + p₀⋅S + m⋅g,

α⋅p₂⋅S – p₀⋅S – m⋅g = 0,    α⋅(m⋅a + p₀⋅S + m⋅g) – p₀⋅S – m⋅g = 0,

p₀⋅S⋅(1 – α) = α⋅m⋅a – m⋅g⋅(1 – α),

\[ p_{0} =\frac{\alpha \cdot m\cdot a}{S\cdot \left(1-\alpha \right)} -\frac{m\cdot g}{S} =\left(\frac{\alpha \cdot a}{1-\alpha } -g\right)\cdot \frac{m}{S}, \]

p₀ = 1,0⋅10⁵ Па.

[alsak]

430. Определить давление насыщенного водяного пара при температуре t = 17 °С, если в комнате вместимостью V = 50 м³ при относительной влажности φ = 65 % и указанной температуре находится m = 0,476 кг паров воды. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса воды Μ = 18⋅10^–3 кг/моль.

Решение. Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем давление пара
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T, \; \; \; p=\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot V}. \]
Тогда давление насыщенного пара p_n найдем так (φ = 0,65):
\[ \varphi =\frac{p}{p_{n} }, \; \; \; p_{n} =\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot V\cdot \varphi }, \]
p_n = 1,96⋅10³ Па.

[alsak]

431. Смешали V₁ = 1,0 м³ воздуха с относительной влажностью φ₁ = 20 % и V₂ = 2,0 м³ воздуха с влажностью φ₂ = 30 %. Обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определить относительную влажность получившейся смеси.

Решение. При смешивании разных порций воздуха при одинаковой температуре, получим воздух при той же температуре. Следовательно, давление pn и плотность ρn насыщенного пара воздуха не изменится.
Запишем уравнения для влажности для трех порций воздуха через плотности (φ₁ = 0,20, φ₂ = 0,30)
\[ \varphi _{1} =\frac{\rho _{1} }{\rho _{n}}, \; \; \; \varphi _{2} =\frac{\rho _{2} }{\rho _{n} }, \; \; \; \varphi _{3} =\frac{\rho _{3} }{\rho _{n} }, \]
где плотности пара равны соответственно:
\[ \rho _{1} =\frac{m_{1} }{V_{1} }, \; \; \; \rho _{2} =\frac{m_{2} }{V_{2} }, \; \; \; \rho _{3} =\frac{m_{1} +m_{2} }{V_{1} +V_{2}}. \]
Тогда
\[ \rho _{1} =\varphi _{1} \cdot \rho _{n}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\varphi _{1} \cdot \rho _{n} \cdot V_{1}, \; \; \; m_{2} =\rho _{2} \cdot V_{2} =\varphi _{2} \cdot \rho _{n} \cdot V_{2}, \]
\[ \rho _{3} =\frac{\left(\varphi _{1} \cdot V_{1} +\varphi _{2} \cdot V_{2} \right)\cdot \rho _{n}}{V_{1} +V_{2}}, \; \; \; \varphi _{3} =\frac{\varphi _{1} \cdot V_{1} +\varphi _{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, \]
φ₃ = 0,27 = 27 %.

[alsak]

425. По газопроводу течет газ при давлении p = 0,83 МПа и температуре Τ = 300 К. Какова скорость газа в трубе, если за время τ = 2,5 мин через поперечное сечение трубы площадью S = 5,0 см² протекает m = 20 кг газа? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса газа Μ = 40⋅10^–3 кг/моль.

Решение. Пусть υ — это скорость газа в трубе, тогда объем газа за время τ будет равен:

V = S⋅υ⋅τ.

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем объем газа V:
\[ p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T, \;\;\; V=\frac{m}{M\cdot p} \cdot R\cdot T. \]
Тогда
\[ \frac{m}{M\cdot p} \cdot R\cdot T=S\cdot \upsilon \cdot \tau , \; \; \; \upsilon =\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot p\cdot S\cdot \tau }, \]
υ = 20 м/с.

[alsak]

426. Относительная влажность воздуха в помещении φ = 63%, температура t₁ = 18 °С. До какой температуры надо охладить блестящий предмет, чтобы на его поверхности можно было наблюдать осаждение водяных паров? Давление насыщенного водяного пара при 18 °С равно 20,7⋅10² Па, при 10 °С — 12,3⋅10² Па, при 11 °С — 13,1⋅10² Па.

Решение. На блестящей поверхности предмета можно будет наблюдать осаждение водяных паров, если пар у поверхности станет насыщенным.
Найдем давление водяных паров при температуре 18 °С при помощи следующей формулы:
\[ \varphi =\frac{p}{p_{n}}, \]
где φ = 0,63, p_n = 20,7⋅10² Па — давление насыщенного пара при температуре 18 °C. Тогда

p = p_n⋅φ,

p = 1,30⋅10³ Па. С таким давлением пар становится насыщенным при температуре меньше 11 °С.

[alsak]

427. Воздух в помещении имеет температуру t₁ = 24 °С и относительную влажность φ₁ = 50 %. Определить влажность воздуха после его охлаждения до t₂ = 20 °С. Процесс охлаждения считать изохорным. Давление насыщенного водяного пара при 24 и 20 °С — соответственно p₀₁ = 2943 Па и p₀₂ = 2330 Па.

Решение. В задаче описано два состояния газа. Запишем уравнения для расчета относительной влажности для воздуха при температуре t₁ = 24 °С и t₂ = 20 °С:
\[ \varphi _{1} =\frac{p_{1}}{p_{01}}, \;\;\; (1) \;\;\; \varphi _{2} = \frac{p_{2}}{p_{02}}, \;\;\; (2) \]
где φ₁ = 0,50. По условию процесс охлаждения изохорный, т.е.
\[ \frac{p_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} }{T_{2} }. \;\;\; (3) \]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ \frac{p_{1}}{p_{2}} =\frac{T_{1}}{T_{2}}, \;\;\; \frac{\varphi _{1}}{\varphi _{2}} =\frac{p_{1}}{p_{2}} \cdot \frac{p_{02}}{p_{01}} =\frac{T_{1}}{T_{2}} \cdot \frac{p_{02}}{p_{01}}, \;\;\; \varphi _{2} =\varphi _{1} \cdot \frac{p_{01} \cdot T_{2}}{p_{02} \cdot T_{1}}, \]
φ₂ = 0,62 = 62 %.

[alsak]

428. Над поверхностью площадью S = 5,0 км² слой воздуха толщиной h = 1000 м имеет температуру t₁ = 20 °С при относительной влажности φ = 73 %. Воздух охладился до температуры t₂ = 10 °С. Найти массу выпавшего дождя. Плотность насыщенного водяного пара при температурах t₁ и t₂ — соответственно ρ₀₁ = 17,3⋅10^–3 кг/м³ и ρ₀₂ = 9,4⋅10^–3 кг/м³.

Решение. Найдем плотность пара при температуре t₁ = 20 °С и влажности φ:
\[ \varphi =\frac{\rho _{1}}{\rho _{01}}, \;\;\; \rho _{1} = \phi \cdot \rho _{01}, \]
где φ = 0,73. Тогда ρ₁ = 12,6⋅10^–3 кг/м³. Тогда масса пара равна

m₁ = ρ₁⋅V = ρ₁⋅S⋅h = φ⋅ρ₀₁⋅S⋅h. (1)

Плотность ρ₁ больше плотности насыщенного пара ρ₀₂ при температуре t₂ = 10 °С. Следовательно, пар при температуре t₂ станет насыщенным и его плотность будет равна ρ₀₂. Тогда масса пара равна

m₂ = ρ₀₂⋅V = ρ₀₂⋅S⋅h. (2)

Масса выпавшего дождя, с учетом уравнений (1) и (2), равна:

Δm = m₁ – m₂ = (φ⋅ρ₀₁ – ρ₀₂)⋅S⋅h,

Δm = 1,6⋅10⁷ кг.

[alsak]

429. Калорифер подает в помещение V = 5,0⋅104 м³ воздуха при температуре t₁ и относительной влажности φ₁ = 60 %, забирая его с улицы при температуре t₂ и относительной влажности φ₂ = 80 %. Сколько воды дополнительно испаряет калорифер в подаваемый воздух? При температуре t₁ плотность насыщенного водяного пара ρ₀₁ = 15,4⋅10^–3 кг/м³, а при температуре t₂ — ρ₀₂ = 9.4⋅10^–3 кг/м³.

Решение. Масса воды, которую нужно дополнительно испарить в каждый кубометр воздуха Δm = m₁ – m₂, где m₁ и m₂ — массы водяных паров при температурах t₁ и t₂ соответственно. Масса водяных паров в воздухе равна

m = ρ⋅V,

где плотность ρ найдем через относительную влажность
\[ \varphi =\frac{\rho }{\rho _{0}}, \;\;\; \rho =\varphi \cdot \rho _{0}. \]
Тогда массы паров при температурах t₁ и t₂ будут равны

m₁ = ρ₁⋅V = φ₁⋅ρ₀₁⋅V,    m₂ = ρ₂⋅V = φ₂⋅ρ₀₂⋅V,

где φ₁ = 0,60, φ₂ = 0,80. В итоге получаем

Δm = (φ₁⋅ρ₀₁ – φ₂⋅ρ₀₂)⋅V,

Δm = 86 кг.