Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

	451	452	453	454	455	456	457	458	459
460	461	462	463	464	465	466	467	468	469
470	471	472	473	474	475	476	477	478	479
480	481	482	483	484	485	486	487

[alsak]

479. Идеальный газ в количестве ν = 5 моль, имевший начальную температуру Τ₁ = 300 К, изобарно расширился, совершив работу А = 12,5⋅10³ Дж. Во сколько раз при этом увеличился объем газа?

Решение. Обозначим начальный объем газа — V₁, конечный объем — V₂, давление — p. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V1).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева при этом процессе следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Тогда
\[ A=\nu \cdot R \cdot \left(T_{2}-T_{1} \right), \;\;\; T_{2} =\frac{A}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1) \]
Запишем уравнение изобарного процесса и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1}} =\frac{A}{\nu \cdot R\cdot T_{1}} +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =2. \]

[alsak]

471. Вычислить работу, которую совершит газ при изобарном нагревании от t₁ = 20 °С до t₂ = 100 °С, если он находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом подвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 20 см² и массой m = 5 кг. Первоначальный объем газа V₁ = 5⋅10^–3 м³, атмосферное давление p₀ = 1⋅10⁵ Па. Трением пренебречь.

Решение. Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где p = p₀ + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V₂ (объем газа, который будет при температуре t₂). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
В итоге получаем
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2} \cdot V_{1}}{T_{1}} -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right)\cdot V_{1}, \]
A = 171 Дж.

[alsak]

472. В вертикальном цилиндре вместимостью V₁ = 2 л под тяжелым поршнем находится газ при температуре Τ = 300 К. Масса поршня m = 50 кг, его площадь S = 50 см². Температуру газа повысили на ΔT = 100 К. Найти изменение внутренней энергии газа, если его теплоемкость С = 5 Дж/К. Атмосферное давление р₀ = 1⋅10⁵ Па. Трение поршня о стенки не учитывать. Принять g = 10 м/с².

Решение. Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
но неизвестно какой газ (одноатомный, двухатомный), находится под поршнем, поэтому неизвестно значение i. неизвестно и количестов вещества, следовательно, использовать эту формулу нельзя.
Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A. (1)

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где p = p₀ + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V₂ (объем газа, который будет при температуре T₂ = T₁ + ΔT). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} }, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
Тогда
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1} } -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1} }{T_{1}}. \;\;\; (2) \]

Так как известна теплоемкость газа, то количество теплоты Q, полученное газом при нагревании, будет равно

Q = C⋅ΔT. (3)

Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1) и найдем изменение внутренней энергии газа ΔU:
\[ \Delta U=Q-A=C\cdot \Delta T-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1}}{T_{1}} =\left(C-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{V_{1}}{T_{1}} \right)\cdot \Delta T, \]
ΔU = 367 Дж.

[alsak]

470. Идеальный газ, количество вещества которого ν = 0,5 моль, из состояния с температурой Τ₁ = 100 К расширяется изобарно, а затем изохорно переходит в состояние с начальной температурой. Во сколько раз изменится при этом объем газа, если для перевода газа из начального состояния в конечное к нему подвели количество теплоты Q = 831 Дж? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное расширение. При изобарном процессе работа газа A₁ равна:

A₁ = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Поэтому

A₁ = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где T₂ > T₁. Поэтому Q₁ > 0.

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A₂ равна:

A₂ = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где Q₂ < 0.

Общее количество теплоты, затраченное на перевод газа из начального состояния в конечное, равно
\[ Q=Q_{1} +Q_{2} =\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Найдем температуру T₂:
\[ T_{2} =\frac{Q}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1)  \]

Запишем уравнение изобарного процесса (во втором процессе объем газа не изменяется) и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1} } =\frac{Q}{\nu \cdot R\cdot T_{1} } +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =3. \]

Примечание. Здесь приводится решение не совсем той задачи, которую предлагает Савченко Н.Е. По условию Q — это количество теплоты, которое подвели к газу. А так как подведенное количество теплоты больше нуля, то Q = Q₁. Количество теплоты Q₂ (Q₂ < 0) — это отданная назад газом теплота. И тогда в задаче не хватает данных (например, одноатомный это газ, двухатомный?).

[alsak]

473. Для нагревания некоторого количества идеального газа с молярной массой Μ = 28⋅10^–3 кг/моль на ΔT = 14 К при постоянном давлении потребовалось количество теплоты Q₁ = 10 Дж. Чтобы охладить газ до исходной температуры при постоянном объеме, необходимо отнять от него количество теплоты Q₂ = 8,0 Дж. Найти массу газа. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное нагревание. При изобарном процессе работа газа A₁ равна:

A₁ = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где V₁ — объем газа до нагревания, V₂ — объем газа после нагревания. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁),

где T₁ — температура газа до нагревания, T₂ — температура газа после нагревания. Поэтому

A₁ = ν⋅R⋅(T₂ – T₁) = ν⋅R⋅ΔT.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (1) \]

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A₂ равна:

A₂ = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T \].
Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
В условии Q₂ задано по модулю (без учета знака), поэтому
\[ Q_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (2) \]

Решим систему уравнений (1) - (2) и учтем, что ν = m/M. Например,
\[ Q_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T=Q_{2} +\nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
\[ \nu =\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T}, \; \; \; m=\nu \cdot M=\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T} \cdot M, \]
m = 4,8⋅10^–4 кг.

[alsak]

478. В цилиндрическом сосуде под легким подвижным поршнем находится ν = 1,5 моль идеального одноатомного газа при температуре t₁ = 27 °С. Какое количество теплоты надо подвести к газу, чтобы его объем увеличился в n = 3 раза? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где V₁ — объем газа до расширения, V₂ — объем газа после расширения. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Поэтому

A = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Найдем температуру T₂. Для этого запишем уравнение изобарного процесса и учтем, что по условию V₂ = n⋅V₁:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{V_{2} }{V_{1} } \cdot T_{1} =n\cdot T_{1}. \]
В итоге получаем, что
\[ Q=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(n\cdot T_{1} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \left(n-1\right), \]
Q = 1,9⋅10⁴ Дж.

[alsak]

482. Процессы, происходящие в цилиндре теплового двигателя с идеальным газом, изображены на диаграмме p - V (рис. 1). Известно, что Т₂ = 500 К, Т₃ = 450 К, Т₄ = 300 К. Найти, на сколько кельвин температура в точке 1 отличается от температуры в точке 3.

Решение. Процессы 1-2 и 3-4 изобарные и V₄ = V₁, V₃ = V₂. Тогда
\[ \frac{V_{1} }{T_{1}} =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; \frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{T_{1} }{T_{2}}. \; \; \; (1) \]
\[ \frac{V_{3} }{T_{3} } =\frac{V_{4} }{T_{4} } ,\; \; \; \frac{V_{4} }{V_{3} } =\frac{V_{1} }{V_{2} } =\frac{T_{4}}{T_{3}}. \; \; \; (2) \]

Решим систему двух уравнений. Например,
\[ \frac{T_{1}}{T_{2}} =\frac{T_{4}}{T_{3}}, \;\; \; T_{1} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2}, \; \; \; T_{1} -T_{3} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2} -T_{3}, \]
T₁ – T₃ = – 117 К. В точке 1 температура меньше на 117 К, чем в точке 3.

[alsak]

484. Идеальная тепловая машина, работающая при нормальных условиях окружающего воздуха, который для нее является холодильником, поднимает груз массой m = 400 кг. Рабочее тело машины получает от нагревателя с температурой t₁ = 200 °С количество теплоты Q₁ = 80 кДж. На какую максимальную высоту поднимает груз эта тепловая машина? Трением пренебречь.

Решение. Температура воздуха при нормальных условиях t₂ = 0 °C. КПД идеальной тепловой машины равен
\[ \eta =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{A}{Q_{1}}, \]
где A = ΔW = m⋅g⋅Δh — полезная работа двигателя, Δh — высота, на которую нужно поднять груз. Эта высота будет максимальной, если тело на данной высоте не будет двигаться (т.е. работа пойдет на изменение только потенциальной энергии). В итоге получаем:
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{m\cdot g\cdot \Delta h}{Q_{1}}, \;\;\; \Delta h=\frac{\left(T_{1} -T_{2} \right)\cdot Q_{1} }{m\cdot g\cdot T_{1}}, \]
Δh = 8,5 м.

[alsak]

486. Температура газов, образующихся при сгорании топлива в цилиндрах двигателя автомобиля, t₁ = 827 °С, температура выхлопных газов t₂ = 97 °С. Сколько километров проедет с постоянной скоростью автомобиль, имеющий в баке V = 40 л топлива, если удельная теплота сгорания топлива q = 46⋅10⁶ Дж/кг, плотность топлива ρ = 710 кг/м³, а сила сопротивления движению F остается постоянной и по модулю равной 1,7⋅10³ Н? Двигатель считать идеальной тепловой машиной, работающей с максимально возможным КПД.

Решение. КПД двигателя равен
\[ \eta =\frac{A}{Q_{{\rm 1}} } =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
где A = F_t⋅Δr — полезная работа двигателя, F_t — сила тяги автомобиля и F_t = F, т.к. автомобиль движется равномерно (запишите второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось), Q₁ — количество теплоты, получаемое двигателем от нагревателя, и равное Q₁ = q⋅m, m = ρ⋅V — масса топлива. Тогда
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot m} =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot \rho \cdot V}, \;\;\; \Delta r=\frac{q\cdot \rho \cdot V}{F} \cdot \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
Δr = 5,1⋅10⁵ м.