Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

453. Нагретую железную болванку поставили на лед, имеющий температуру t₁ = 0 °С. В результате охлаждения болванки до 0 °С под ней расплавилось m₁ = 460 г льда. Какова была температура нагретой болванки, если ее масса m₂ = 3,3 кг? Удельная теплоемкость железа c = 460 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (лед при температуре t₁ = 0 ºС и железной болванки при температуре t₂). Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0,

где Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) –количество теплоты, которое отдает железная болванка (Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло).
Лед взят при температуре плавления t₁ = 0 ºС и конечная температура равна 0 °С, поэтому лед будет только плавится и Q₁ = m₁⋅λ. Тогда
\[ m_{1} \cdot \lambda + c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right) = 0, \;\;\; t_{2} =\frac{m_{1} \cdot \lambda }{c\cdot m_{2} } +t_{1}, \]
t₂ = 100 °C.

[alsak]

458. С какой скоростью должна удариться о преграду свинцовая пуля, чтобы она расплавилась, если до удара температура пули была Τ = 373 К? При ударе на нагревание пули идет η = 0,60 ее энергии. Температура плавления свинца Т₂ = 600 К, его удельная теплоемкость с = 130 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления λ = 30⋅10³ Дж/кг.

Решение. Свинец плавится при температуре T₂ > T, поэтому свинец необходимо вначале нагреть от температуры T до T₂, а затем только его можно будет расплавить. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂,

где Q₁ = c⋅m⋅(T₂ – T), Q₂ = m⋅λ.

Пуля перед ударом имела механическую энергию, равную
\[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} \]
(потенциальную энергию считаем равной нулю). По условию на нагревание пошла только часть η всей механической энергии пули. Тогда
\[ Q=\eta \cdot W, \;\;\; c\cdot m\cdot \left(T_{2} -T\right)+m\cdot \lambda =\eta \cdot \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon =\sqrt{\frac{2c\cdot \left(T_{2} -T\right)+\lambda }{\eta }}, \]
υ = 385 м/с.

[alsak]

463. Найти массу льда, имеющего температуру t = –10 °С, который можно растопить за τ = 10 мин с помощью электрического нагревателя, работающего при токе силой I = 3 А от сети с напряжением U = 220 В? КПД нагревателя η = 80%. Удельная теплоемкость льда с = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Лед взят при температуре t = –10 °С, плавится он при температуре t₀ = 0 °С, поэтому его вначале нужно нагреть, а затем только он будет плавиться. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂, (1)

где Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t), Q₂ = m⋅λ.
Эту энергию лед получит от электрического нагревателя, работа которого равна

A = U⋅I⋅τ. (2)

КПД нагревателя
 
\[ \eta =\frac{A_{n} }{A_{3}}, \]
где η = 0,80, A_n = Q — полезная работа, A₃ = A — затраченная работа. С учетом уравнений (1) и (2) получаем:
 
\[ \eta =\frac{m\cdot \left(c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda \right)}{U\cdot I\cdot \tau }, \; \; \; m=\; \frac{\eta \cdot U\cdot I\cdot \tau }{c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda }, \]

m = 0,9 кг.
Примечание. В условию нужно добавить: «Температура плавления льда равна 0 °С».

[alsak]

464. В кастрюлю налили холодной воды при температуре t₁ = 10 °С и поставили ее на электроплиту. Через время τ₁ = 5,0 мин вода закипела. Через сколько времени после начала кипения вода полностью испарится? Удельная теплоемкость воды с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота парообразования воды r = 2,26⋅10⁶ Дж/кг. Кипение происходит в открытой кастрюле при нормальном давлении.

Решение. Пусть P — мощность электроплитки.
Чтобы вода закипела, ее нужно нагреть от температуры t₁ = 10 °С до температуры кипения t₀ = 100 °С. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t₁) = P⋅τ₁. (1)

Количество теплоты, необходимое для полного испарения, равно

Q₂ = m⋅r = P⋅τ₂. (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[ \frac{m\cdot r}{c\cdot m\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{P\cdot \tau _{2} }{P\cdot \tau _{1}}, \;\;\;
\frac{r}{c\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{\tau _{2}}{\tau _{1}}, \;\;\;
\tau _{2} = \frac{r \cdot \tau _{1}}{c \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}, \]
τ₂ = 30 мин.

Примечание. В условию нужно добавить: «Температура кипения воды равна 100 °С».

[alsak]

452. В сосуд, содержащий m₁ = 2,35 кг воды при температуре Τ₁ = 293 К, опускают кусок олова, нагретого до температуры Т₂ = 503 К. Температура воды в сосуде повысилась на ΔT = 15 К. Вычислить массу олова. Испарением воды пренебречь. Удельная теплоемкость воды c₁ = 4,19 ⋅10³ Дж/(кг⋅К), олова c₂ = 2,5⋅10² Дж/(кг⋅К).

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре T₂). При этом вода нагревается и получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):

Q₁ = c₁⋅m₁⋅ΔT,

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как температура плавления олова T_пл = 505 К, и T₂ < T_пл, то олово находится в твердом состоянии. Олово охлаждает и отдает количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂),

где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₂ — масса олова, T₃ = T₁ + ΔT — конечная температура олова.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

c₁⋅m₁⋅ΔT + c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂) = 0.

Тогда
\[ m_{2} =-\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{3} -T_{2} \right)} =\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{2} -T_{1} -\Delta T\right)}, \]
m₂ = 3 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления олова.

[alsak]

454. При нормальном атмосферном давлении некоторую массу воды нагревают до температуры кипения, пропуская через нее пар при температуре t₁ = 100 °С. Во сколько раз увеличится масса воды, когда она достигнет температуры кипения? Начальная температура воды t₂ = 20 °С, ее удельная теплоемкость и удельная теплота парообразования — соответственно с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), r = 22,6⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (пар при температуре t₁ и вода при температуре t₂). Пар находится при температуре кипения t₁, поэтому при передаче теплоты воде пар сразу начнет конденсироваться. Так как конечная температура смеси вода-пар так же равна температуре кипения t₁, то пар охлаждаться не будет. При этом выделится количество теплоты Q₁ равное

Q₁ = m₁⋅r,

где Q₁ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₁ — масса сконденсировавшегося пара.

Вода будет нагреваться от температуры t₂ до t₁ и получает при этом количество теплоты Q₂ равное

Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂),

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло, m₂ — масса воды.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) – m₁⋅r = 0

или
\[ m_{1} \cdot r=c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right), \; \; \; \frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r}. \; \; \; (1) \]

При нагревании воды массой m₂ до температуры t₁ сконденсируется пар массой m₁, и поэтому масса воды станет равной

m = m₁ + m₂.

Тогда увеличение массы воды, с учетом уравнения (1), будет равно
\[ \frac{m}{m_{2} } =\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{2} } =\frac{m_{1} }{m_{2} } +1=\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r} +1, \; \; \; \frac{m}{m_{2} } =1,15. \]
Примечание. В условие надо добавить температуру кипения воды при нормальном давлении.

[alsak]

455. В калориметр налито m₁ = 2,0 кг воды при температуре t₁ = 6,0 °С и положен кусок льда массой m₂ = 2,0 кг, температура которого t₂ = –20 °С. Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды с₁ = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), льда с₂ = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре t₁ и лед при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все фазовые переходы. Можем только утверждать, что вода будет охлаждаться, а лед нагреваться.
Определим, сколько максимально энергии Q_1max может выделится при охлаждении воды от температуры t₁ до t₀ = 0 °С (температуры замерзания воды) (Q_1max < 0, т.к. тело отдает тепло), и сколько максимально энергии Q_2max необходимо для нагревания льда от температуры t₂ до t₀ = 0 °С (температуры плавления льда):

Q_1max = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁),   Q_2max = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂),

Q_1max = –5,03⋅10⁴ Дж, Q_2max = 8,40⋅10⁴ Дж.
Так как |Q_1max| < Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении воды не хватает, для того, чтобы нагреть лед до температуры плавления t₀. Следовательно, вода охладиться до температуры t₀ и начнет замерзать.

Определим, достаточно ли энергии выделит вода при полном замерзании (кристаллизации) Q_3max, чтобы нагреть лед до температуры t₀.

Q_3max = –m₁⋅λ,

Q_3max = –6,6⋅10⁵ Дж, Q_1max + Q_3max = -7,10⋅10⁵ Дж.
Так как |Q_1max + Q_3max| > Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении и замерзании воды, достаточно, чтобы нагреть лед до температуры t₀. Следовательно, температура смеси будет равна t₀ = 0 °С.
В итоге получаем, что вода будет охлаждаться до температуры t₀ и часть ее (массой m₃) замерзнет. При этом вода выделит количество теплоты Q₁ равное:

Q₁ = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ.

Лед будет только нагреваться до температуры t₀ и получит количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂).

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ + с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂) = 0.

\[ m_{3} =\frac{c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{0} -t_{2} \right)+c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}{\lambda }, \]
m₃ = 0,10 кг.
В калориметре будет вода массой
m₁ – m₃ = 1,9 кг,
И лед, массой
m₂ + m₃ = 2,1 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда.

[alsak]

456. В смесь, состоящую из льда массой m₁ = 5 кг и воды массой m₂ = 4 кг при температуре t₁ = 0 °С, впускают водяной пар массой m₃ = 0,5 кг при температуре t₂ = 100 °С. Определить температуру смеси t и массу m₄ растаявшего льда. Удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг. Удельная теплоемкость воды с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К). Удельная теплота парообразования воды r = 22,6⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между тремя телами (лед и вода при температуре t₁, пар при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все процессы. Можем только утверждать, что лед начнет таять (так как t₁ — температура плавления льда), а пар конденсировать (так как t₂ — температура конденсации пара).
Определим, сколько максимально энергии Q_1max необходимо для плавления всего льда, и сколько максимально энергии Q_2max может выделится при конденсации всего пара (Q_2max < 0, т.к. тело отдает тепло):

Q_1max = m₁⋅λ,   Q_2max = –m₃⋅r,

Q_1max = 1,65⋅10⁶ Дж, Q_2max = –1,13⋅10⁶ Дж.
Так как Q_1max > |Q_2max|, то энергии, которая выделится при конденсации пара не хватает, для того, чтобы расплавить весь лед. Следовательно, пар весь сконденсируется и начнет охлаждаться.

Определим, сколько максимально энергии Q_3max может выделится при охлаждении всего сконденсировавшего пара (воды) от температуры t₂ до t₁ (Q_3max < 0, т.к. тело отдает тепло):

Q_3max = c⋅m₃⋅(t₁ – t₂),

Q_3max = –2,10⋅10⁵ Дж, Q_2max + Q_3max = –1,34⋅10⁶ Дж.
Так как |Q_2max + Q_3max| < Q_1max, то энергии, которая выделится при конденсации и охлаждении пара до температуры t₁, недостаточно, чтобы расплавить весь лед. Следовательно, температура смеси будет равна t₁ = 0 °С.

В итоге получаем, что пар будет конденсировать и охлаждаться до температуры t₁. При этом пар выделит количество теплоты Q₁ равное:

Q₁ = Q_2max + Q_3max = –1,34⋅10⁶ Дж.

При этом растает только часть льда (массой m₄) и получит количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = m₄⋅λ.

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

\[ Q_{1} +m_{4} \cdot \lambda =0,\; \; \; m_{4} =-\frac{Q_{1} }{\lambda }, \]
m₄ = 4,1 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда и температуру конденсации пара.

[alsak]

457. В калориметр, в котором находится вода массой m₁ при температуре T₁, вливают расплавленный металл, масса которого m₂, а температура равна температуре плавления Т_n. При этом температура воды в калориметре повышается до T₂, а часть воды выкипает. Определить массу выкипевшей воды. Удельная теплоемкость воды с₁, удельная теплоемкость металла c₂, удельная теплота плавления металла λ, удельная теплота парообразования воды r, температура кипения воды Т_k.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре Т_n). При этом вода нагревается до температуры T₂, а часть воды (массой m₃) нагревается еще от температуры T₂ до температуры кипения Т_k и выкипает (см. примечание). Вся вода получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):

Q₁ = с₁⋅m₁⋅(T₂ – T₁) + с₁⋅m₃⋅(Т_k – T₂) + m₃⋅r,

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как расплавленный металл находится при температуре плавления T_n, то он начнет кристаллизоваться и охлаждаться. При этом металл отдает количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = –m₂⋅λ + c₂⋅m₂⋅(T₂ – Т_n),

где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

с₁⋅m₁⋅(T₂ – T₁) + с₁⋅m₃⋅(Т_k – T₂) + m₃⋅r – m₂⋅λ + c₂⋅m₂⋅(T₂ – Т_n) = 0.

Тогда
\[ m_{3} = \frac{m_{2} \cdot \lambda +c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(T_{n} -T_{2} \right)-c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)}{c_{1} \cdot \left(T_{k} -T_{2} \right)+r}. \]
Примечание. Можно рассмотреть такие процессы: часть воды (массой m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры кипения Т_k и выкипает, а остальная часть воды (массой m₁ – m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры T₂. После приведения подобных получим тот же результат.

[alsak]

459. Свинцовая пуля, летящая горизонтально со скоростью υ₀ = 500 м/с, пробивает доску на высоте h = 2,0 м над поверхностью земли, не изменяя направления своей скорости. На каком расстоянии от доски пуля упадет на землю, если при движении через доску она нагревается на ΔT = 200 К? Считать, что вся теплота, выделившаяся при движении через доску, пошла на нагревание пули. Удельная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг⋅К). Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 случай: пуля движется в доске. Для нагревания свинца ΔT понадобится количество теплоты Q₁ равное

Q₁ = c⋅m⋅ΔT,

где m — масса пули. Пуля имела механические энергии W₀ — перед ударом, W — после удара, где
\[ W_{0} =\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; W=\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} \]
где υ₁ — скорость пули сразу после прохождения доски (нулевую высоту выберем так, чтобы потенциальные энергии пули были равны нулю). Теплота Q, выделившаяся при движении через доску, будет равна работе силы трения, и, по условию, вся пошла на нагревание пули:

Q = Q₁ = W₀ – W или

\[ c\cdot m\cdot \Delta T=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} -\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} -2c\cdot \Delta T}. \; \; \; (1) \]

2 случай: пуля летит после прохождения доски. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с доской, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y₀ = h, x₀ = 0 (рис. 1). Запишем уравнения координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение пули направлено вертикально вниз, т.е. a_x = 0, g_y = –g.
На ось 0Х:

x = x₀ + υ_1x⋅t = υ₁⋅t.

На оси 0Y:

y = y₀ + υ_1y⋅t + g_y⋅t²/2 = h – g⋅t²/2,

так как υ_1y = 0.
Пусть в некоторый момент времени t = t₁ пуля упала на землю, тогда y = 0, x = l:
\[ l=\upsilon _{1} \cdot t_{1}, \; \; \; 0=h-\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2}. \]
С учетом уравнения (1) получаем:
\[ t_{1} =\sqrt{\frac{2h}{g}}, \;\;\; l=\upsilon _{1} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\left(\upsilon _{0}^{2} -2c\cdot \Delta T\right)\cdot \frac{2h}{g}}, \]
так как υ_1y = 0.
l = 281 м.