Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

460. Поезд массой m = 1000 т при торможении с ускорением а = 0,2 м/с² остановился через τ = 100 с. Какое количество теплоты выделилось при торможении?

Решение. 1 способ. Количество теплоты Q, которое выделилось при торможении, можно найти так:

Q = W₀ – W,   (1)

где W₀, W — энергии, которыми обладал поезд вначале торможения и в конце. Если нулевую высоту выбрать так, чтобы потенциальная энергия поезда равнялась нулю, то
\[ W_{0} =\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; W=0. \; \; \; (2) \]
Для нахождения начальной скорости поезда υ0 воспользуемся следующим уравнением:

υ_x = υ_0x + a_x⋅t,

где υ_0x = υ₀, a_x = –a, т.к. при торможении ускорение направлено против скорости (рис. 1). Тогда

υ_x = υ₀ – a⋅t.

Так как поезд через время τ остановился, то при t = τ данное уравнение примет вид:

0 = υ₀ – a⋅τ или υ₀ = a⋅τ.   (3)

После подстановки уравнений (2) и (3) в (1) получаем:
\[ Q=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \left(a\cdot \tau \right)^{2} }{2}, \; \; \; (4) \]
Q = 2⋅10⁸ Дж.

2 способ. Количество теплоты Q, которое выделилось при торможении, равно работе силы трения A_tr во время торможения (A_tr < 0), т.е.

Q = –A_tr,   (5)

где A_tr = –F_tr⋅Δr, F_tr = m⋅a — из проекции второго закона Ньютона (рис. 2). Перемещение Δr найдем так:
\[ \Delta r_{x} =\upsilon _{x} \cdot t-\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \]
где Δr_x = Δr, υ = 0, a_x = –a, t = τ (рис. 1). После подстановки в уравнение (5), мы получаем тот же ответ (4).

[restam]

Можете решить 468 задачу?

[Kivir]

468. Определить изменение внутренней энергии газа, взятого в количестве ν = 0,5 моль, при нагревании его при постоянном давлении от температуры T₁ = 300 К до температуры T₂ = 320 К, если газу было сообщено количество теплоты Q = 290 Дж. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(Моль∙К).
Решение: для нахождения изменения внутренней энергии газа воспользуемся первым законом термодинамики:

Q = ΔU + A.

ΔU – искомое изменение, A – работа газа.  При изобарном процессе (p = const) работу идеального газа можно определить следующим образом:

A = p∙ΔV = p∙(V₂ – V₁).

Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева:
\[ \begin{array}{l} {p\cdot V_{2} =\nu \cdot R\cdot T_{2} ,p\cdot V_{1} =\nu \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\nu \cdot R\cdot T_{2} -\nu \cdot R\cdot T_{1} =\nu \cdot R\cdot (T_{2} -T_{1}).} \end{array} \]
Искомое изменение внутренней энергии:
\[ \Delta U=Q-A=Q-\nu \cdot R\cdot (T_{2} -T_{1}). \]
Ответ: 206,9 Дж = 2∙10² Дж

[Kivir]

461. Рабочий забивает в доску железный гвоздь массой m = 50 г и ударяет при этом n = 5 раз молотком, масса которого M = 0,5 кг. Импульс молотка непосредственно перед ударом p = 6 кг∙м/c. На сколько градусов нагреется гвоздь, если вся выделившаяся при ударах теплота пошла на его нагревание? Удельная теплоёмкость железа c = 0,45 кДж/(кг∙К).
Решение: при ударе молоток обладает импульсом  p = M∙υ  и соответственно кинетической энергией:
\[ K=\frac{M\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\frac{\left(M\cdot \upsilon \right)^{2} }{2\cdot M} =\frac{p^{2}}{2\cdot M}. \]
Воспользуемся законом сохранения и превращения энергии: кинетическая энергия молотка при ударе переходит в тепловую энергию, которая, согласно условия задачи, полностью уходит на нагрев гвоздя. Запишем закон и учтём, что удар был не один (ударов n – по условию).
\[ \begin{array}{l} {K_{n} =Q,} \\ {\frac{p^{2} }{2\cdot M} \cdot n=c\cdot m\cdot \Delta T,} \\ {\Delta T=\frac{p^{2} \cdot n}{2\cdot M\cdot m\cdot c}.} \end{array} \]
Ответ: 8 К

[Kivir]

462. Лазер излучает световые импульсы с энергией W = 0,1 Дж. Частота повторения импульсов ν = 10 Гц. КПД лазера, определяемый отношением излучаемой энергии к потребляемой, η=0,01. Какой объём воды нужно прокачать за τ = 1 ч через охлаждающую систему лазера, чтобы вода нагрелась не более чем на Δt = 10 ºС?
Решение: на нагрев воды тратится энергия, которую лазер выделяет при работе в виде тепловой. Она равна разности между потребляемой и излучаемой энергиями. Энергию излучения определим из следующих соображений: лазер излучает ν импульсов в секунду, с энергией W каждый и работает τ секунд.
\[ W_{i} =W\cdot \nu \cdot \tau. \]
Потребляемую энергию определим через КПД:
\[ \eta =\frac{W_{i} }{W_{n} } ,W_{n} =\frac{W_{i} }{\eta}. \]
Тогда выделившаяся тепловая энергия при работе лазера (количество теплоты, уходящее на нагрев воды):
\[ Q=W_{n} -W_{i} =\frac{W_{i} }{\eta } -W_{i} =\left(\frac{1}{\eta } -1\right)\cdot W\cdot \nu \cdot \tau. \]
С другой стороны, количество теплоты определим зная удельную теплоём-кость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К), массу воды, которую определим через плотность воды ρ = 1000 кг/м³ и искомый объём V, и изменение температуры Δt:
\[ Q=c\cdot m\cdot \Delta t=c\cdot \rho \cdot V\cdot \Delta t. \]
Приравняв полученные выражения, найдём объём воды:
\[ V=\left(\frac{1}{\eta } -1\right)\cdot \frac{W\cdot \nu \cdot \tau }{c\cdot \rho \cdot \Delta t}. \]
Ответ: ≈ 8,5 л = 9 л.

[Kivir]

465. Определить КПД нагревателя, расходующего m₁ = 0,08 кг керосина на нагревание m₂ = 3,0 кг воды на ΔT = 90 К. Удельная теплота сгорания керосина q = 4,2∙10⁷ Дж/кг, удельная теплоёмкость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К).
Решение: коэффициент полезного действия нагревателя равен отношению количества теплоты, ушедшего на нагрев воды к количеству теплоты, выделившемуся в результате сгорания керосина (т.к. по условию вода только нагревалась).
\[ \eta =\frac{Q_{2} }{Q_{1}}. \]
Количество теплоты, ушедшее на нагрев воды найдём, зная  удельную теплоёмкость воды c, массу воды m₂, и изменение температуры ΔT:
\[ Q_{2} =c\cdot m_{2} \cdot \Delta T. \]
Количество теплоты, выделяемое при сгорании топлива, легко найти, зная массу топлива m₁ и удельную теплоту сгорания q:
\[ Q_{1} =q\cdot m_{1}. \]
Искомый КПД:
\[ \eta =\frac{c\cdot m_{2} \cdot \Delta T}{q\cdot m_{1}}. \]
Ответ: 0,34 или 34%.

[Kivir]

466. Для расплавления m = 1000 кг стали используется электропечь мощностью P = 100 кВт. Сколько времени продолжается плавка, если слиток до начала плавления надо нагреть на ΔT = 1500 К?  Удельная теплоёмкость стали c = 500 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления стали  λ = 2,7∙10⁵ Дж/кг.
Решение: в условии нет речи о КПД электропечи, поэтому будем считать его равным 1, т.е. вся выделенная тепловая энергия передаётся стальному слитку. Выделившуюся энергию определим, зная мощность электропечи P, и время её работы t:

Q = P∙t.

Количество теплоты, переданное стали состоит из количества теплоты, ушедшего на нагревание слитка и количества теплоты необходимого для его плавления:
\[ Q=Q_{1} +Q_{2} =c\cdot m\cdot \Delta T+\lambda \cdot m=m\cdot \left(c\cdot \Delta T+\lambda \right). \]
Приравняв, найдём необходимое время работы электропечи:
\[ t=\frac{m\cdot \left(c\cdot \Delta T+\lambda \right)}{P}. \]
Ответ: 10200 с = 2,83 ч = 2 ч 50 мин.

[Kivir]

467. Вертикальный цилиндр с тяжёлым поршнем наполнен азотом, масса которого m₁ = 0,1 кг. После увеличения температуры азота на ΔT = 100 К поршень поднялся на высоту h = 0,1 м. Над поршнем всё время сохраняется нормальное атмосферное давление p₀ = 1∙10⁵ Па. Площадь поршня S = 0,02 м². Определить массу поршня. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К), молярная масса азота M  = 28∙10^-3 кг/моль.
Решение: масса азота под поршнем неизменна, поэтому воспользуемся уравнением Клапейрона, записав его для двух состояний:
\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2}}. \]
Давление азота под поршнем в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 будем считать неизменным – изобарный процесс (будем считать, что процесс нагревания происходит медленно). Конечный объём азота под поршнем:

V₂ = V₁ + ΔV =  V₁ + S∙h.

Конечная температура:

T₂ = T₁ +ΔT.

Тогда из уравнения Клапейрона получим:
\[ \begin{array}{l} {\frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{1} +S\cdot h}{T_{1} +\Delta T} ,} \\ {V_{1} \cdot \left(T_{1} +\Delta T\right)=T_{1} \cdot \left(V_{1} +S\cdot h\right),} \\ {\frac{V_{1} }{T_{1}} =\frac{S\cdot h}{\Delta T}.}\end{array} \]
Давление азота под поршнем складывается из давления над поршнем и давления, обусловленного весом поршня массой m:
\[ p_{1} =p_{2} =p_{0} +\frac{mg}{S}. \]
Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона-Менделеева), записав его для начального состояния.
\[ \begin{array}{l} {p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {p_{1} \cdot \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{m_{1} }{M} \cdot R.} \end{array} \]
Учтём выражения, полученные ранее: для давления азота и  отношения объёма к температуре из уравнения Клапейрона, тогда:
\[ \left(p_{0} +\frac{mg}{S} \right)\cdot \frac{S\cdot h}{\Delta T} =\frac{m_{1}}{M}\cdot R. \]
Выразим массу поршня m:
\[ \begin{array}{l} {p_{0} +\frac{mg}{S} =\frac{m_{1} \cdot R\cdot \Delta T}{M\cdot S\cdot h} ,} \\ {m=\frac{1}{g} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot R\cdot \Delta T}{M\cdot h} -p_{0} \cdot S\right).}\end{array} \]
Ответ: 2,8∙10³ кг

[Kivir]

469. Найти внутреннюю энергию одноатомного газа, занимающего объём V = 2 м³ при давлении p = 200 кПа.
Решение: внутренняя энергия идеального одноатомного газа, молярная масса которого M, масса m и температура T определяется по формуле:
\[ U=\frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]
Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева).
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]
Тогда внутренняя энергия газа:
\[ U=\frac{3}{2} \cdot p\cdot V. \]
Ответ: 6∙10⁵ Дж

[Kivir]

474. Газ, взятый при температуре T = 100 К в количестве ν = 5 моль, сначала нагревают при постоянном объёме так, что термодинамическая температура газа возрастает в n = 3 раза, а затем сжимают при постоянном давлении, доводя температуру до первоначального значения. Какая работа совершена при сжатии? Универсальная газовая постоянная R  = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: запишем уравнение состояния идеального газа, взятого в количестве  ν молей, для каждого из трёх состояний. Состояние первоначальное:
\[ p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T. \]
Состояние второе, после нагрева до температуры в n раз большей первоначальной, при постоянном объёме:
\[ p_{2} \cdot V_{2} =\nu \cdot R\cdot T_{2} =\nu \cdot R\cdot n\cdot T. \]
Состояние третье, после охлаждения при постоянном давлении до первоначальной температуры:
\[ p_{2} \cdot V_{3} =\nu \cdot R\cdot T_{3} =\nu \cdot R\cdot T. \]
Совершаемая работа по сжатию будет равна работе газа, взятой с противоположным знаком, которую при постоянном давлении легко определить:
\[ \begin{array}{l} {A'=-A=-p\cdot \Delta V=-p_{2} \cdot \left(V_{3} -V_{2} \right)=p_{2} \cdot V_{2} -p_{2} \cdot V_{3} } \\ {A'=\nu \cdot R\cdot n\cdot T-\nu \cdot R\cdot T=\nu \cdot R\cdot T\cdot \left(n-1\right).} \end{array} \]
Ответ: 8310 Дж = 8 кДж.