Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

								608	609
610	611	612	613	614	615	616	617	618	619
620	621	622	623	624	625	626	627	628	629
630	631	632	633	634	635	636	637	638	639
640	641	642	643	644	645	646	647	648	649
650	651	652	653	654	655	656	657	658	659
660	661	662	663	664	665	666	667	668	669

[alsak]

610. Когда ключ К замкнут, сопротивление R₁ между точками А и В цепи, схема которой изображена на рис. 1, равно 80 Ом. Определить сопротивление между этими точками, когда ключ разомкнут.

Решение. 1 случай: ключ К замкнут (рис. 2). Резисторы 2R и R, и R и 2R соединены между собой параллельно. Тогда
\[\frac{1}{R_{1/2} } =\frac{1}{2R} +\frac{1}{R} =\frac{3}{2R} ,\; \; \; R_{1/2} =R_{3/4} =\frac{2R}{3} .\]
Резисторы R_1/2 и R_3/4 соединены между собой последовательно. Тогда

R₁ = R_1/2 + R_3/4,

R₁ = 4R/3,   R = 3R/4.   (1)

2 случай: ключ К разомкнут (рис. 3). Резисторы 2R и R, и R и 2R соединены между собой последовательно. Тогда

R_1/3 = R_2/4 = 2R + R = 3R.

Резисторы R_1/3 и R_2/4 соединены между собой параллельно. Тогда, с учетом уравнения (1), получаем:
\[\frac{1}{R_{2} } =\frac{2}{3R} ,\; \; \; R_{2} =\frac{3R}{2} =\frac{3}{2} \cdot \frac{3R_{1} }{4} =\frac{9R_{1} }{8} ,\]
R₂ = 90 Ом.

[alsak]

616. Амперметр, сопротивление которого R_a = 2 Ом, рассчитан на токи силой до I_а = 0,1 А. Его требуется использовать для измерения токов силой до I = 10 А. Сколько метров медной проволоки с площадью поперечного сечения S = 1,7∙10^–6 м² необходимо для этого подсоединить к амперметру? Удельное сопротивление меди ρ = 1,7∙10^–8 Ом∙м.

Решение. Так как амперметр необходимо включить в цепь с силой тока I > I_a, то параллельно прибору включаем шунт сопротивлением R_s (рис. 1). При параллельном соединении

U_a = U_s,   I = I_а + I_s,

где

U_a = I_а∙R_a,   U_s = I_s∙R_s,

\[R_{s} =\frac{\rho \cdot l}{S} .\]
Решим систему уравнений. Например,
 
\[\begin{array}{c} {I_{s} =I-I_{a} ,\; \; \; I_{a} \cdot R_{a} = I_{s} \cdot R_{s} ,\; \; \; R_{s} =\frac{I_{a} \cdot R_{a} }{I_{s} } =\frac{I_{a} \cdot R_{a} }{I-I_{a} } ,} \\ {l=\frac{S\cdot R_{s} }{\rho } =\frac{S}{\rho } \cdot \frac{I_{a} \cdot R_{a} }{I-I_{a} } ,} \end{array}\]
l = 2 м.

[alsak]

625. Какова минимальная масса медного провода, предназначенного для передачи потребителю мощности Ρ = 12 кВт на расстояние L = 100 м от генератора напряжением U = 220 В, если мощность потерь энергии равна k∙P, где k = 0,02? Плотность меди D = 8,9∙10³ кг/м³, удельное сопротивление меди ρ = 1,7∙10^–8 Ом∙м.

Решение. Схему передачи электроэнергии потребителю можно изобразить так, как показано на рис. 1, где R_np — сопротивление всех проводов. Мощность генератора P_g равна

P_g = P + P_n,

где P_n = k∙P — мощность потерь. Тогда

P_g = P∙(1 + k).   (1)

Мощность генератора P_g можно выразить и через напряжение U генератора и силу тока I в цепи:

P_g = U∙I.   (2)

Мощность потерь P_n так же можно выразить через силу тока в цепи:

P_n = I²∙R_np,

где R_np = ρ∙l/S, l — длина проводов. Тогда
\[P_{n} =k\cdot P=I^{2} \cdot \frac{\rho \cdot l}{S} .\; \; \; (3)\]
Масса m проводов равна

m = D∙V = D∙S∙l.   (4)

Электроэнергию можно передавать по линии, состоящей из различного числа проводов, но не меньше двух. Поэтому минимальная масса проводов будет при двухпроводной линии, для которой l = 2L. С учетом этого выражения, решим систему уравнений (1)-(4). Например,
\[\begin{array}{c} {I=\frac{P_{g} }{U} =\frac{P\cdot \left(1+k\right)}{U} ,\; \; \; k\cdot P=I^{2} \cdot \frac{\rho \cdot 2L}{S} =\left(\frac{P\cdot \left(1+k\right)}{U} \right)^{2} \cdot \frac{\rho \cdot 2L}{S} ,} \\ {S=\frac{P\cdot \left(1+k\right)^{2} \cdot \rho \cdot 2L}{U^{2} \cdot k} ,\; \; \; m=D\cdot 2L\cdot S=\frac{4P\cdot L^{2} \cdot \left(1+k\right)^{2} \cdot D\cdot \rho }{U^{2} \cdot k} ,} \end{array}\]
m = 78 кг.

[alsak]

645. Схема электрической цепи и ее параметры показаны на рис. 1. Найти заряды на каждом конденсаторе. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

Решение. Постоянный ток через конденсаторы не проходит, поэтому для расчета напряжений на отдельных участках цепи рассмотрим схему, в которой исключим участки с конденсаторами (рис. 2). Запишем второе правило Кирхгофа для этого контура (обход по часовой стрелке, предположим, что ток идет так же по часовой стрелке):
\[I\cdot \left(R_{1} +R_{3} +R_{4} \right)=E_{1} -E_{2} ,\; \; \; I=\frac{E_{1} -E_{2} }{R_{1} +R_{3} +R_{4} } ,\]
где I – общая сила тока в цепи. Так как резисторы R₁, R₃ и R₄ соединены последовательно, то

I = I₁ = I₃ = I₄.

Обозначим U_CR — напряжение на участке C₁R₂. Конденсатор C₁ и резистор R₂ соединены последовательно, поэтому

U_CR = U_C1 + U_R2 = U_C1,

так как U_R2 = 0 (ток через резистор R₂ не идет, т.е. I₂ = 0).
Участок C₁R₂ соединен параллельно с участком R₁R3, поэтому

U_CR = U_C1 = U_1/3 = I∙(R₁ + R₃).

Тогда заряд q₁ на конденсаторе C₁ равен:
\[q_{1} =C_{1} \cdot U_{!1} =C_{1} \cdot I\cdot \left(R_{1} +R_{3} \right)=C_{1} \cdot \frac{\left(E_{1} -E_{2} \right)\cdot \left(R_{1} +R_{3} \right)}{R_{1} +R_{3} +R_{4} } .\]

Напряжение на конденсаторе C₂ равно напряжению на резисторе R₃ (т.к. они соединены параллельно). Тогда
\[\begin{array}{c} {U_{3} =I_{3} \cdot R_{3} =I\cdot R_{3} =\frac{\left(E_{1} -E_{2} \right)\cdot R_{3} }{R_{1} +R_{3} +R_{4} } ,} \\ {q_{2} =C_{2} \cdot U_{3} =C_{2} \cdot \frac{\left(E_{1} -E_{2} \right)\cdot R_{3} }{R_{1} +R_{3} +R_{4} } .} \end{array}\]

[alsak]

650. Два одинаковых резистора сопротивлением R₁ = 100 Ом каждый, соединенных параллельно, и последовательно соединенный с ними резистор сопротивлением R₂ = 200 Ом подключены к источнику постоянного тока. К концам параллельно соединенных резисторов подключен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить ЭДС источника тока, если заряд на конденсаторе q = 2,2∙10^–4 Кл. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов пренебречь.

Решение. Изобразим схему соединения, предложенного в условии (рис. 1). Напряжение U_C на конденсаторе будет равно напряжению на резисторах R₁ (т.к. они соединены параллельно) и равно

U_C = U₁ = q/C.

Резисторы R₁ соединены параллельно, поэтому их общее сопротивление R_1/1 и силу тока I₁ можно найти так:
\[R_{1/1} =\frac{R_{1} }{2} ,\; \; \; I_{1} =\frac{U_{1} }{R_{1/1} } =\frac{2q}{C\cdot R_{1} } .\]
Резисторы R_1/1 и R₂ соединены последовательно. Тогда, с учетом того, что внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов пренебречь:
\[\begin{array}{c} {I_{2} =I_{1} =I_{0} ,\; \; \; U_{2} =I_{2} \cdot R_{2} =\frac{2q\cdot R_{2} }{C\cdot R_{1} } ,} \\ {E=U_{1} +U_{2} =\frac{2q\cdot R_{2} }{C\cdot R_{1} } +\frac{q}{C} =\left(\frac{2R_{2} }{R_{1} } +1\right)\cdot \frac{q}{C} ,} \end{array}\]
E = 110 В.

[alsak]

657. Два источника тока с внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом каждый и с одинаковыми ЭДС соединены параллельно и подключены к резистору (рис. 1, а). Если эти источники соединить последовательно и замкнуть тем же резистором (рис. 1, б), то выделяющаяся в нем мощность возрастет в k = 2,25 раза. Определить сопротивление резистора R.

Решение. Мощность P, выделяемая на резисторе, равна

P = I²∙R.

Силу тока I найдем по закону Ома для полной цепи
\[I=\frac{E_{0} }{r_{0} +R} ,\]
где E₀, r₀ — это ЭДС и внутреннее сопротивление батареи источников. В батареи из двух источников тока с одинаковыми сопротивлениями r и одинаковыми ЭДС E
при параллельном соединении

E₀ = E,   r₀ = r/2.

Тогда
\[P_{1} =\left(\frac{E_{0} }{r_{0} +R} \right)^{2} \cdot R=\left(\frac{E}{r/2+R} \right)^{2} \cdot R=\left(\frac{2E}{r+2R} \right)^{2} \cdot R;\]

при последовательном соединении

E₀ = 2E,   r₀ = 2r,

\[P_{2} =\left(\frac{2E}{2r+R} \right)^{2} \cdot R.\]

По условию P₂ = k∙P₁. Тогда
\[\begin{array}{c} {\frac{P_{2} }{P_{1} } =k=\frac{\left(2E\right)^{2} \cdot R}{\left(2r+R\right)^{2} } \cdot \frac{\left(r+2R\right)^{2} }{\left(2E\right)^{2} \cdot R} =\frac{\left(r+2R\right)^{2} }{\left(2r+R\right)^{2} } ,\; \; \; \frac{r+2R}{2r+R} =\sqrt{k} ,} \\ {r+2R=\left(2r+R\right)\cdot \sqrt{k} ,\; \; \; R\cdot \left(2-\sqrt{k} \right)=r\cdot \left(2\sqrt{k} -1\right),\; \; \; R=\frac{r\cdot \left(2\sqrt{k} -1\right)}{2-\sqrt{k} } ,} \end{array}\]
R = 0,8 Ом.

[Kivir]

617. Два вольтметра, сопротивления которых R₁ = 4200 Ом и R₂ = 4800 Ом, соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения U = 300 В. Каждый вольтметр рассчитан на предельное напряжение 150 В. Каковы будут показания вольтметров?
Решение: полное сопротивление цепи будет равно:

R = R₁ + R₂,

При подключении к источнику, через вольтметры пойдёт одинаковый ток. По закону Ома для участка цепи:

I = U / R.

Тогда показания вольтметров:
\[ U_{1} =I\cdot R_{1} =\frac{U\cdot R_{1}}{R_{1} +R_{2}},U_{2} =I\cdot R_{2} =\frac{U\cdot R_{2}}{R_{1} +R_{2}}. \]
Ответ: U₁ = 140 В, U₂ = 160 В (скорее всего второй вольтметр выйдет из строя – перегорит, т.к. рассчитан на максимальное напряжение 150 В)

[Kivir]

618. При перемещении заряда q = 20 Кл по проводнику сопротивлением R = 0,5 Ом совершена работа A = 100 Дж. Найти время, в течение которого по проводнику шёл постоянный ток.
Решение: работа постоянного тока определяется по формуле:

A = I²∙R∙t,

Сила тока, по определению:

I = q / t,

Подставим и выразим искомое время t:
\[ \begin{array}{l}{A=\frac{q^{2} }{t^{2}} \cdot R\cdot t=\frac{q^{2}}{t} \cdot R,} \\ {t=\frac{q^{2} \cdot R}{A}.} \end{array} \]
Ответ: 2 с.

[Kivir]

619. Лампа мощностью P = 500 Вт рассчитана на напряжение U₁ = 110 В. Определить сопротивление добавочного резистора, позволяющего включать её в сеть напряжением U₂ = 220 В.
Решение: присоединим последовательно к лампочке добавочный резистор такой, что лампочка будет работать в номинальном режиме (номинальный режим – режим на который рассчитана лампочка). При подключении к ис-точнику, через лампочку и резистор будет проходить одинаковый ток. По закону Ома для участка цепи:
\[ I=\frac{U_{1}}{R_{1}} =\frac{U_{r}}{R_{2}} ,R_{2} =\frac{U_{r} \cdot R_{1} }{U_{1}}, \]
здесь:  R₂ – искомое сопротивление, R₁ – сопротивление лампочки, которое определим, зная её мощность и номинальное напряжение:
\[ P=\frac{U_{1}^{2} }{R_{1} } ,R_{1} =\frac{U_{1}^{2}}{P}. \]
Напряжение на резисторе U_r определим по законам последовательного соединения: напряжение на концах последовательного участка равно сумме напряжений на последовательно соединённых элементах:

U₂ = U₁ + U_r,   U_r = U₂  – U₁.

После подстановки, находим добавочное сопротивление:
\[ R_{2} =\frac{(U_{2} -U_{1} )\cdot U_{1}}{P}. \]
Ответ: 24,2 Ом