Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

620. Два электрических нагревателя мощностями P₁ = 600 Вт и P₂ = 400 Вт, рассчитанные на одинаковое напряжение, соединены последовательно и включены в сеть с таким же напряжением. Какая мощность потребляется при таком включении каждым нагревателем?
Решение:  мощность, напряжение и сопротивление нагревателя:
\[ P=\frac{U^{2}}{R} ,R=\frac{U^{2}}{P}. \]
При последовательном соединении полное сопротивление цепи будет равно:
\[ R=R_{{\rm 1}} +R_{{\rm 2}} =\frac{U^{2}}{P_{1}} +\frac{U^{2}}{P_{2}} =U^{2} \cdot \frac{P_{1} +P_{2} }{P_{1} \cdot P_{2}}. \]
При последовательном подключении нагреватели пойдёт одинаковый ток. По закону Ома для участка цепи:
\[ I=\frac{U}{R} =\frac{P_{1} \cdot P_{2} }{U\cdot (P_{1} +P_{2} )}. \]
Тогда потребляемая мощность:
\[ \begin{array}{l} {P'_{1} =I^{2} \cdot R_{1} =\frac{P_{1} \cdot P_{2}^{2} }{(P_{1} +P_{2} )^{2} } ,} \\ {P'_{2} =I^{2} \cdot R_{2} =\frac{P_{2} \cdot P_{1}^{2} }{(P_{1} +P_{2} )^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 96 Вт и 144 Вт

[Kivir]

614. Вольтметр, рассчитанный на измерение напряжений до U_v = 10 В, имеет сопротивление R_v = 400 Ом. Найти сопротивление добавочного резистора, который необходимо подключить к вольтметру, чтобы измерять напряжение до U = 100 В.
Решение: добавочный резистор подключается к вольтметру последовательно. При этом через вольтметр и резистор проходит одинаковый ток. По закону Ома для участка цепи:
\[ I=\frac{U_{v} }{R_{v} } =\frac{U_{d}}{R_{d}},  \]
здесь: R_d – искомое сопротивление, U_d – напряжение на резисторе, которое определим по законам последовательного соединения: напряжение на концах последовательного участка равно сумме напряжений на последовательно соединённых элементах:

U = U_v + U_d,   U_d = U  – U_v.

После подстановки, находим добавочное сопротивление:
\[ \begin{array}{l} {\frac{U_{v}}{R_{v}} =\frac{U-U_{v} }{R_{d}},} \\ {R_{d} =R_{v} \cdot (\frac{U}{U_{v}}-1).} \end{array} \]
Ответ: 3,6∙10³ Ом = 3,6 кОм

[alsak]

661. Электрическая лампочка мощностью Ρ = 60 Вт, рассчитанная на напряжение U = 110 В, подключена к источнику с ЭДС E = 120 В и внутренним сопротивлением r = 60 Ом. Найти мощность, которую потребляет лампочка при таком включении. Будет ли она гореть полным накалом?

Решение. Так как электрическая лампочка мощностью Ρ рассчитана на напряжение U, то можно найти ее сопротивление R:
\[P=\frac{U^{2} }{R} ,\; \; \; R=\frac{U^{2} }{P} .\]
По закону Ома для полной цепи можно найти силу тока I₁ (в цепи с источником с ЭДС E и внутренним сопротивлением r):
\[I_{1} =\frac{E}{R+r} =\frac{E}{U^{2} /P+r} =\frac{E\cdot P}{U^{2} +r\cdot P} .\]

Тогда мощность P₁, которую потребляет лампочка при таком включении, будет равна:
\[P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R=\left(\frac{E\cdot P}{U^{2} +r\cdot P} \right)^{2} \cdot \frac{U^{2} }{P} =\frac{E^{2} \cdot U^{2} \cdot P}{\left(U^{2} +r\cdot P\right)^{2} } ,\]
P₁ = 42 Вт. Гореть полным накалом не будет, т.к. P₁ < P.

[Kivir]

613. В цепи, схема которой приведена на рис. 205, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, R₄ = 4 Ом, E = 50 В. Какое напряжение покажет вольтметр? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение: преобразуем схему (см. рис.). Вольтметр подключён к сопротивлению R₃, т.е. между точками ab цепи. Он показывает напряжение между этими точками (на параллельном участке, между точками ab). Напряжение, по закону Ома для участка цепи:

U = I∙R_ab.

Здесь I – сила тока в цепи, которую определим по закону Ома для замкнутой цепи, R_ab – сопротивление цепи между точками ab. Сила тока:
\[ I=\frac{E}{R}. \]
Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем, R – внешнее сопротивление. Определим R по законам последовательного и параллельного соединения:

R = 2∙R₁ + R_ab.

\[ R_{cd} =\left(\frac{1}{R_{2} } +\frac{1}{2\cdot R_{1} +R_{4} } \right)^{-1}. \]
R_cd = 3/2 Ом.
\[ R_{ab} =\left(\frac{1}{R_{3} } +\frac{1}{2\cdot R_{1} +R_{cd} } \right)^{-1}. \]
R_ab = 21/13 Ом,   R = 47/13 Ом, I = 650/47 А,
U = 1050/47 В.
Ответ: 22 В

[Kivir]

608. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов в медном проводнике, площадь поперечного сечения которого S = 4,0 мм², при силе тока I = 1,0 А, предполагая, что концентрация свободных электронов равна концентрации атомов проводника. Заряд электрона e = 1,6∙10^–19 Кл, плотность меди ρ = 8,9∙10³ кг/м³, молярная масса меди М = 63,5∙10^–3 кг/моль.
Решение: сила тока I в проводнике, концентрация n свободных электронов, заряд  e электронов, скорость υ упорядоченного движения электронов и площадь S поперечного сечения можно связать следующей формулой:

I = e∙n∙υ∙S.

Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов (по условию). Число атомов определим через количество вещества:
\[ N=\frac{m}{M} \cdot N_{a}. \]
Здесь m – масса меди, M – молярная масса, N_a = 6,02∙10²³ моль^–1 – число Авогадро. Тогда концентрация (учтём, что плотность ρ = m/V, V - объём):
\[ n=\frac{N}{V} =\frac{m\cdot N_{a}}{V\cdot M} =\frac{\rho \cdot N_{a}}{M}. \]
Подставим в выражение для силы тока  и выразим искомую скорость:
\[ \upsilon =\frac{M\cdot I}{e\cdot \rho \cdot N_{a} \cdot S}. \]
Ответ: 1,8∙10^–5 м/с

[Kivir]

609. Какую относительную погрешность делают, вычисляя сопротивление R по показаниям амперметра и вольтметра (рис. 202) без учёта силы тока, проходящего через вольтметр? Амперметр показывает I_a = 2,4 А, вольтметр – U_v = 7,2 В. Сопротивление вольтметра R_v = 1000 Ом.
Решение: относительная погрешность:
\[ \delta =\frac{R_{0} -R}{R_{0} } \cdot 100\%. \]
Здесь R  – сопротивление, определённое по показаниям:
\[ R=\frac{U_{{\rm v}} }{I_{{\rm a}}}. \]
R₀ – истинное сопротивление резистора, полученное с учётом тока через вольтметр. Согласно закона Ома, сопротивление R, рассчитанное по показаниям, это общее сопротивление резистора и вольтметра, соединённых параллельно. Определим R₀ , воспользовавшись формулой расчёта эквивалентного сопротивления резисторов, соединённых параллельно:
\[ \begin{array}{l} {\frac{U_{{\rm v}} }{I_{{\rm a}} } =\frac{R_{0} \cdot R_{{\rm v}} }{R_{0} +R_{{\rm v}} } ,} \\ {R_{0} =\frac{U_{{\rm v}} \cdot R_{{\rm v}} }{I_{{\rm a}} \cdot R_{{\rm v}} -U_{{\rm v}} } .} \end{array} \]
Подставим в формулу погрешности, сделаем преобразования:
\[ \begin{array}{l} {\delta =\frac{U_{{\rm v}} \cdot (I_{{\rm a}} \cdot R_{{\rm v}} -U_{{\rm v}} )}{I_{{\rm a}} \cdot U_{{\rm v}} \cdot R_{{\rm v}} } -1,} \\ {\delta =\frac{U_{{\rm v}} }{I_{{\rm a}} \cdot R_{{\rm v}} } \cdot 100\% .} \end{array} \]
Ответ: 0,3%.

[Kivir]

612. Найти сопротивление проволочного куба, если он включён в цепь так, что ток проходит в направлении, показанном на рис. 204. Сопротивление каждого ребра R = 6 Ом.
Решение: установим точки с одинаковым потенциалом. Для этого определим ось  или плоскость симметрии, что бы одинаковые сопротивления по обе стороны от этой оси или плоскости располагались симметрично. Думаю, хорошо видно, что плоскость симметрии проходит через ребро, к которому подключены контакты и диагонально ему противоположное (это хорошо видно, если поставить кубик на это ребро). Обозначим потенциалы вершин куба (рис. 1). Изобразим эквивалентную схему, соединив вершины с одинаковым потенциалом  φ₂ в один узел и с одинаковым потенциалом φ₃ в один узел (рис. 2). Теперь проведём пошаговый расчёт эквивалентного сопротивления. Хорошо видны параллельные участки, включенные между точками с разными потенциалами, содержащие два одинаковых сопротивления R, поэтому сопротивление каждого такого участка равно R/2. Верхняя ветвь (φ₂- φ₅- φ₆- φ₃) содержит последовательно соединённые:  R/2, R и R/2, тогда её сопротивление:
\[ \frac{R}{2} +R+\frac{R}{2} =2R. \]
Данный участок подключён параллельно участку сопротивлением  R/2  между точками (φ₂- φ₃). Тогда общее сопротивление между точками φ₂- φ₃:
\[ \left(\frac{1}{2R} +\frac{2}{R} \right)^{-1} =\frac{2}{5} R. \]
Ветвь (φ₁- φ₂- φ₃- φ₄) содержит последовательно соединённые: R/2, 2R/5 и R/2, тогда её эквивалентное сопротивление:
\[ \frac{R}{2} +\frac{2R}{5} +\frac{R}{2} =\frac{7}{5} R. \]
К этой ветви подключён участок  φ₁-φ₄ сопротивлением R параллельно, тогда получаем общее  сопротивление  R_k кубика:
\[ R_{k} =\left(\frac{5}{7R} +\frac{1}{R} \right)^{-1} =\frac{7}{12} R. \]
ответ: 3,5 Ом.

[Kivir]

611. Сопротивление проволоки R₁ = 64 Ом. Когда её разрезали на несколько равных частей и соединили эти части параллельно, полученная цепь имела сопротивление R₂ = 4 Ом. На сколько частей разрезали проволоку?
Решение: пусть проволоку  разрезали на n частей. Обозначим сопротивление каждой части R. Тогда, сопротивление R₁ можно представить как общее сопротивление последовательно соединённых n резисторов (кусков проволоки), сопротивлением R каждый, т.е.

R₁ = n∙R.

Сопротивление R₂ определим  по формуле  для расчёта сопротивления параллельного соединения резисторов:
\[ R_{2}=\left(\frac{1}{R} +\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+...\right)^{-1} =\left(\frac{n}{R}\right)^{-1} =\frac{R}{n}. \]
Получили систему из двух уравнений. Разделив уравнения друг на друга, определим число частей n:
\[ \begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{R_{1} =n\cdot R,}\\{R_{2} =\frac{R}{n}.} \end{array}\right.} \\ {\frac{R_{1} }{R_{2}}=n^{2} ,n=\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}.}\end{array} \]
Ответ: 4.

[Kivir]

615. Параллельно амперметру, сопротивление которого R_a = 0,03 Ом, включён медный проводник длиной l = 10 см и диаметром d = 1,5 мм. Какова сила тока в цепи, если амперметр показывает I_a = 0,40 А? Удельное сопротивление меди ρ = 1,7∙10^-8 Ом∙м.
Решение: изобразим схему (см. рис.)
Сопротивление медного проводника R, длиной l, площадью поперечного сечения S = π∙d²/4:
\[ R=\rho \cdot\frac{l}{S} =\rho\cdot\frac{l\cdot4}{\pi\cdot d^{2}}. \]
Ток I_R, идущий через медный проводник, сопротивление которого R, определим из следующих соображений: напряжение  на амперметре и на медном проводнике одинаково и равно U (параллельное соединение - см. рис.). Определим его, воспользовавшись законом Ома:
\[ \begin{array}{l}{U=I_{a}\cdot R_{a}=I_{R}\cdot R,}\\{I_{R}=\frac{I_{a} \cdot R_{a}}{R} =\frac{I_{a}\cdot R_{a}\cdot\pi\cdot d^{2}}{\rho\cdot l\cdot4}.}\end{array} \]
Сила тока в неразветвленной части цепи:
\[ \begin{array}{l} {\; I=I_{R} +I_{a} ,} \\ {I=I_{a} \cdot \left(\frac{\pi \cdot d^{2} \cdot R_{a}}{4\cdot \rho \cdot l} +1\right).} \end{array} \]
Ответ: 12,87 = 13 А.

[djeki]

622. Если батарею замкнуть проводником сопротивлением R1 = 2,0 Ом, то сила тока в цепи I1 = 1,6 А, а если эту же батарею замкнуть проводником с сопротивлением R2 = 1.0 Ом, то сила тока I2 = 2,0 А. Найти мощность потерь энергии внутри батареи и КПД батареи в обоих случаях.
Решение.
Мощность потерь энергии внутри батареи

P = I²·r (1)

где r – внутреннее сопротивление батареи.
На основании закона Ома для полной цепи запишем

ε = I₁·(R₁+r); ε = I₂·(R₂+r)

Найдем внутреннее сопротивление батареи. Например, приравняем правые части полученных выражений
\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{1}}\cdot r={{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}}+{{I}_{2}}\cdot r \\
 & r=\frac{{{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}-{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}}}{{{I}_{2}}-{{I}_{1}}} \\
\end{align}
 \]
Тогда с учетом (1) запишем
\[ {{P}_{1}}=\frac{I_{1}^{2}\cdot ({{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}-{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}})}{{{I}_{2}}-I};{{P}_{2}}=\frac{I_{2}^{2}\cdot ({{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}-{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}})}{{{I}_{2}}-I} \]
КПД источника тока равен отношению полезной мощности Р1 (выделяемая на внешнем участке цепи, сопротивление которого R) к полной мощности Р, развиваемой источником
\[ \begin{align}
  & {{P}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot R}{{{(R+r)}^{2}}};P=I\cdot \varepsilon ={{I}^{2}}\cdot (R+r)=\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{R+r} \\
 & \eta =\frac{{{P}_{1}}}{P}=\frac{R}{R+r} \\
\end{align}
 \]
С учетом этого запишем
\[ \begin{align}
  & {{\eta }_{1}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+r}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+\frac{{{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}-{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}}}{{{I}_{2}}-{{I}_{1}}}}=\frac{{{R}_{1}}\cdot ({{I}_{2}}-{{I}_{1}})}{{{I}_{2}}\cdot ({{R}_{1}}-{{R}_{2}})} \\
 & {{\eta }_{2}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{2}}+\frac{{{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}-{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}}}{{{I}_{2}}-{{I}_{1}}}}=\frac{{{R}_{2}}\cdot ({{I}_{2}}-{{I}_{1}})}{{{I}_{1}}\cdot ({{R}_{1}}-{{R}_{2}})} \\
\end{align}
 \]