Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[djeki]

624. Определить напряжение источника, к которому с помощью нихромового провода длиной l =19,2 м и диаметром d = 3,0·10^-4 м надо подключить лампочку мощностью Р = 40 Вт, рассчитанную на напряжение U₁ = 120 В, чтобы она горела нормально. Удельное сопротивление нихрома ρ = 1,1·10^-6 Ом·м.
Решение.
Нихромовый провод и лампочка соединены последовательно. При последовательном соединении

I₁ = I₂ = I
U = U₁ + U₂

По условию задачи лампа должна гореть нормально, т.е. на ней должна выделяться мощность 40 Вт и падение напряжения должно быть U₁ = 120 В. Определим силу тока, при котором будет выполняться это условие.
\[ P={{U}_{1}}\cdot I;I=\frac{P}{{{U}_{1}}} \]
Тогда падение напряжения на нихромовом проводе
\[ \begin{align}
  & {{U}_{2}}=I\cdot R;R=\rho \cdot \frac{l}{S};S=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4} \\
 & {{U}_{2}}=\frac{P}{{{U}_{1}}}\cdot \frac{\rho \cdot l}{\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}}=\frac{4\cdot P\cdot \rho \cdot l}{{{U}_{1}}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Здесь мы учли, что сопротивление провода прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S.
Тогда напряжение источника
\[ U={{U}_{1}}+\frac{4\cdot P\cdot \rho \cdot l}{{{U}_{1}}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}} \]
U = 220 В

[djeki]

621. Мощность Р = 5 кВт необходимо передать на некоторое расстояние. Мощность потерь энергии не должна превышать kP, где k = 0,1. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия электропередачи, если напряжение между проводами U = 110 В?
Решение.
Мощность Р₀ в начале передающей линии равна

Р₀ = Р +Р_n

где Р_n = k·P – мощность потерь. Следовательно

Р₀ = Р·(1 + k) (1)

Мощность Р₀ выразим через напряжение U и силу тока I:

Р₀ = U·I (2)

Мощность потерь Рn тоже выразим через силу тока
Р_n = k·P = I²·R_np (3)
где R_np – сопротивление линии электропередачи. 
Решим совместно уравнения (1) – (3)
\[ \begin{align}
  & I=\frac{{{P}_{0}}}{U}=\frac{P\cdot (1+k)}{U};k\cdot P={{\left( \frac{P\cdot (1+k)}{U} \right)}^{2}}\cdot {{R}_{np}} \\
 & {{R}_{np}}=\frac{k\cdot {{U}^{2}}}{P\cdot {{(1+k)}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Rnp = 0.2 Ом

[djeki]

623. Два одинаковых резистора сопротивлением R каждый подключаются к источнику, ЭДС которого ε и внутреннее сопротивление r, сначала параллельно, а затем последовательно. В каком случае выделяется большая мощность во внешней цепи?
Решение.
Мощность, выделяемая во внешней цепи
\[ P=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot R}{{{(R+r)}^{2}}} \]
Поскольку резисторы имеют одинаковое сопротивление, то общее сопротивление цепи при последовательном R₁ и параллельном R₂ равно
\[ {{R}_{1}}=2\cdot R;{{R}_{2}}=\frac{R}{2} \]
Тогда мощности, выделяемые при последовательном и параллельном соединениях равны соответственно
\[ \begin{align}
  & {{P}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot 2\cdot R}{{{(2\cdot R+r)}^{2}}} \\
 & {{P}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot R}{2\cdot {{\left( \frac{R}{2}+r \right)}^{2}}}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot 2\cdot R}{{{(R+2\cdot r)}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
Как видно, дроби отличаются только знаменателем. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).
Если 2·R + r > R + 2·r, то Р1 < Р2
2·R + r - R + 2·r > 0; R – r > 0
Это верно если R > r, значит, большая мощность выделится при параллельном соединении. R < r – при последовательном

[Kivir]

630. Источник тока с ЭДС E = 6 В даёт ток, максимальная сила которого I_max = 2 А (при коротком замыкании). Какова наибольшая мощность, которая может быть выделена на внешнем участке цепи?
Решение: мощность постоянного тока рассчитывается по формуле:
\[ P=I^{2} \cdot R, \]
где R – внешнее сопротивление, I– сила тока в цепи. Наибольшая мощность, которая может быть выделена на внешнем участке, достигается при условии равенства внешнего сопротивления и внутреннего сопротивления источника тока: R = r. Внутреннее сопротивление и силу тока определим по закону Ома для замкнутой цепи. Учтём, что при коротком замыкании внешнее сопротивление стремится к нулю (R=0), и ток в цепи максимален:
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{{\rm E} }{R+r} ,I_{\max } =\frac{{\rm E} }{r} ,} \\ {I=\frac{{\rm E} }{2r} ,r=\frac{{\rm E} }{I_{\max } } .} \end{array} \]
Тогда искомая мощность будет равна:
\[ P=I^{2} \cdot R=\left(\frac{{\rm E} }{2r} \right)^{2} \cdot r=\frac{{\rm E} ^{2} }{4r} =\frac{{\rm E} \cdot I_{\max }}{4}. \]
Ответ: 3 Вт.

[Kivir]

631.При подключении резистора сопротивлением R = 15 Ом к источнику тока с ЭДС E = 10 В мощность, выделяемая на этом резисторе, составляет k = 0,75 полной мощности. Какую максимальную мощность может выделить во внешней цепи данный источник?
Решение: мощность постоянного тока на внешнем участке (с учётом закона Ома для замкнутой цепи):
\[ P_{R} =I^{2} \cdot R=\frac{E^{2} }{\left(R+r\right)^{2}} \cdot R. \]
Полная мощность, развиваемая источником тока:
\[ P=I^{2} \cdot \left(R+r\right)=\frac{E^{2}}{R+r}. \]
Наибольшая мощность, которая может быть выделена на внешнем участке, достигается при условии равенства внешнего сопротивления и внутреннего сопротивления источника тока: R = r.
\[ P_{\max } =I^{2} \cdot R=\frac{E^{2} }{\left(R+r\right)^{2} } \cdot R=\frac{E^{2}}{\left(r+r\right)^{2}} \cdot r=\frac{E^{2}}{4\cdot r}. \]
Для нахождения внутреннего сопротивления источника тока, воспользуемся условием задачи:
\[ \begin{array}{l} {P_{R} =k\cdot P,} \\ {\frac{E^{2} }{\left(R+r\right)^{2} } \cdot R=k\cdot \frac{E^{2} }{R+r} ,} \\ {r=R\cdot \frac{1-k}{k} .} \end{array} \]
Тогда максимальная мощность:
\[ P_{\max } =\frac{E^{2} }{4\cdot r} =\frac{E^{2} \cdot k}{4\cdot R\cdot \left(1-k\right)}. \]
Ответ: 5 Вт

[Kivir]

632. Три лампочки мощностью P₁ = 50 Вт,P₂ = 25 Вт и P₃ = 50 Вт, рассчитанные на напряжение U₁ = 110 В каждая, соединены, как показано на рис. 206, и включены в сеть с напряжением U₂ = 220 В. Определить мощность, потребляемую каждой лампочкой.
Решение:для начала определим сопротивления лампочек, зная их мощность P и номинальное напряжение U₁:
\[ \begin{array}{l} {P=\frac{U^{2} }{R} ,} \\ {R_{1} =\frac{U_{1}^{2} }{P_{1} } ,R_{2} =\frac{U_{1}^{2} }{P_{2} } ,R_{3} =\frac{U_{1}^{2} }{P_{3} } .} \end{array} \]
Найдём полное сопротивление цепи. Лампочки 2 и 3 соединены параллельно, тогда их общее сопротивление:
\[ R_{2,3} =\left(\frac{1}{R_{2} } +\frac{1}{R_{3} } \right)^{-1} =\frac{U_{1}^{2} }{P_{2} +P_{3}}. \]
Лампочка 1 присоединена к ним последовательно, тогда полное сопротивление участка цепи:
\[ R=R_{1} +R_{2,3} =\frac{U_{1}^{2} }{P_{1} } +\frac{U_{1}^{2} }{P_{2} +P_{3} } =\frac{U_{1}^{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)}{P_{1} \cdot \left(P_{2} +P_{3} \right)}. \]
Общий ток в цепи (по закону Ома для участка):
\[ I=\frac{U_{2} }{R} =\frac{U_{2} \cdot P_{1} \cdot \left(P_{2} +P_{3} \right)}{U_{1}^{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)}. \]
Тогда напряжение на первой лампочке и потребляемая мощность:
\[ \begin{array}{l} {U'_{1} =I\cdot R_{1} =\frac{U_{2} \cdot \left(P_{2} +P_{3} \right)}{\left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)} ,} \\ {P'_{1} =\frac{\left(U'_{1} \right)^{2} }{R_{1} } =\frac{U_{2}^{2} \cdot P_{1} \cdot \left(P_{2} +P_{3} \right)^{2} }{U_{1}^{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)^{2}}.} \end{array} \]
Напряжение на 2 и 3 лампах одинаковое (соединены параллельно), и равно:
\[ U'_{2,3} =I\cdot R_{2,3} =\frac{U_{2} \cdot P_{1} }{\left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)}. \]
Тогда выделяемая мощность на лампах 2 и 3 равна:
\[ \begin{array}{l} {P'_{2} =\frac{\left(U'_{2,3} \right)^{2} }{R_{2} } =\frac{U_{2}^{2} \cdot P_{1}^{2} \cdot P_{2} }{U_{1}^{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)^{2} } .} \\ {P'_{2} =\frac{\left(U'_{2,3} \right)^{2} }{R_{3} } =\frac{U_{2}^{2} \cdot P_{1}^{2} \cdot P_{3} }{U_{1}^{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} +P_{3} \right)^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 72 Вт, 16 Вт, 32 Вт соответственно.

[Kivir]

633. К аккумулятору, внутреннее сопротивление которого r = 1,0 Ом, подключена проволока сопротивлением R = 4,0 Ом, а затем параллельно ей – ещё одна такая же. Во сколько раз изменится количество теплоты, выделившееся в первой проволоке, после подключения второй? Время прохождения тока в обоих случаях одинаковое.
Решение: для определения количества теплоты воспользуемся законом Джоуля-Ленца:
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot \Delta t, \]
здесь I – сила тока в проводнике сопротивлением R, Δt – время протекания тока. Силу тока определим по закону Ома для замкнутой цепи:
\[ I=\frac{E}{R+r}, \]
где E – ЭДС источника тока (аккумулятора), r – его внутреннее сопротивление, R – сопротивление проводника.
Тогда количество теплоты, выделившееся в первом случае (к аккумулятору подсоединена только одна проволока):
\[ Q_{1} =\left(\frac{E}{R+r} \right)^{2} \cdot R\cdot \Delta t=\frac{E^{2} \cdot R\cdot \Delta t}{\left(R+r\right)^{2}}. \]
При подключении второй такой же проволоки параллельно первой, общее сопротивление внешней цепи станет в 2 раза меньше (согласно законам па-раллельного соединения), тогда общий ток в цепи будет равен
\[ I_{2} =\frac{E}{\frac{R}{2}+r}. \]
Ток в каждой проволоке будет в 2 раза меньше, чем общий (общий ток разделится между параллельными ветвями цепи, у которых одинаковое сопротивление). Тогда количество теплоты будет равно:
\[ Q_{2} =I_{2}^{2} \cdot R\cdot \Delta t=\left(\frac{E}{2\cdot \left(\frac{R}{2} +r\right)} \right)^{2} \cdot R\cdot \Delta t=\frac{E^{2} \cdot R\cdot \Delta t}{4\cdot \left(\frac{R}{2} +r\right)^{2}}. \]
Искомое отношение:
\[ \frac{Q_{1} }{Q_{2} } =\frac{4\cdot \left(\frac{R}{2} +r\right)^{2} }{\left(R+r\right)^{2}}=1,44. \]
Ответ: 1,4

[Kivir]

634. При ремонте электроплитки её спираль укоротили на 0,10 её первоначальной длины. Во сколько раз изменилась при этом мощность плитки?
Решение: будем считать, что обоих случаях плитка включается в одну и ту же сеть постоянного напряжения U. Пусть l– длина проволоки в спирали, S – площадь поперечного сечения проволоки из которой изготовлена спираль, ρ – удельное сопротивление материала, тогда мощность плитки:
\[ P=\frac{U^{2} }{R} =\frac{U^{2} }{\rho \cdot \frac{l}{S} } =\frac{U^{2} \cdot S}{\rho \cdot l}. \]
После того, как спираль укоротили, мощность будет равна:
\[ P_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1} } =\frac{U^{2} }{\rho \cdot \frac{\left(l-0,1\cdot l\right)}{S} } =\frac{U^{2} \cdot S}{\rho \cdot 0,9\cdot l}. \]
Тогда мощность плитки изменилась в:
\[ \frac{P}{P_{1} } =\frac{1}{0,9} =1,11. \]
Ответ: увеличилась в 1,1 раз

[Kivir]

635. В электронагревателе, рассчитанном на напряжение U = 120В, используется нихромовая проволока, площадь поперечного сечения которой S = 0,50 мм². С помощью этого нагревателя необходимо за время τ = 10 мин превратить в пар воду массой m = 1,0 кг, взятую при температуре t₁ = 20 ºС. Какой должна быть длина проволоки, если КПД нагревателя η = 0,8? Удельное сопротивление нихрома ρ = 1,1∙10^-6Ом∙м, удельная теплоёмкость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К), удельная теплота парообразования воды r = 22,6∙10⁵ Дж/кг.
Решение:запишем закон сохранения энергии (с учётом КПД нагревателя)

η∙Q₁=Q₂.

Здесь Q₁  - количество теплоты, выделяемое нагревателем, Q₂ – количество теплоты, затраченное на нагрев воды до температуры кипения t₂ = 100ºС и её испарение. За время τ нагреватель выделит количество теплоты (учтём зависимость сопротивления от размеров)
\[ Q_{1} =\frac{U^{2} }{R} \cdot \tau =\frac{U^{2} }{\rho \cdot \frac{l}{S} } \cdot \tau =\frac{U^{2} \cdot S\cdot \tau }{\rho \cdot l}. \]
Количество теплоты, необходимое воде:
\[ Q_{2} =c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+r\cdot m. \]
Тогда, подставив выражения для количества теплоты в закон сохранения энергии, выразим искомую длину проволоки l:
\[ \begin{array}{l} {\eta \cdot \frac{U^{2} \cdot S\cdot \tau }{\rho \cdot l} =c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+r\cdot m,} \\ {l=\frac{\eta \cdot U^{2} \cdot S\cdot \tau }{\rho \cdot m\cdot (c\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)+r)}} \end{array} \]
Ответ:1,2 м.

[Kivir]

636.Как изменится температура медного стержня, если по нему в течение времени t= 0,5 с будет проходить ток, плотность которого j = 9 А/мм²? При расчёте принять, что теплообмен с окружающими телами отсутствует. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7∙10^–8Ом∙м, её плотность D = 8,9∙10³ кг/м³, удельная теплоёмкость c = 380 Дж/(кг∙К).
Решение: запишем закон сохранения энергии (потери тепла отсутствуют)

Q₁=Q₂.

Здесь Q₁  - количество теплоты, выделяемое стержнем при прохождении по нему тока, Q₂ – количество теплоты, ушедшее на нагрев стержня. Тогда, учитывая зависимость сопротивления от размеров проводника (R=ρl/S), а так же понятие плотности тока (j = I/S), запишем закон Джоуля - Ленца:
\[ Q_{1} =I^{2} \cdot R\cdot t=\left(j\cdot S\right)^{2} \cdot \rho \cdot \frac{l}{S} \cdot t=j^{2} \cdot S\cdot \rho \cdot l\cdot t. \]
Количество теплоты, необходимое для нагрева стержня на ΔT (массу стержня определим как произведение плотности на объём: m =D∙V , где объём численно равен произведению площади сечения на длину:V = S∙l):
\[ Q_{2} =c\cdot m\cdot \Delta T=c\cdot D\cdot S\cdot l\cdot \Delta T. \]
Приравняв выражения для количеств теплоты, выразим искомое изменение температуры ΔT:
\[ \begin{array}{l} {j^{2} \cdot S\cdot \rho \cdot l\cdot t=c\cdot D\cdot S\cdot l\cdot \Delta T,} \\ {\Delta T=\frac{j^{2} \cdot \rho \cdot t}{c\cdot D}.} \end{array} \]
Ответ:0,2 К.