Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

637. При силе тока I₁ = 3,0 А во внешней цепи батареи выделяется мощность P₁ = 18 Вт, при  силе тока I₂ = 1,0 А – соответственно P₂ = 10 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.
Решение:силу тока в замкнутой цепи определим по закону Ома:
\[ I=\frac{E}{R+r}, \]
где E – ЭДС батареи, r – внутреннее сопротивление батареи, R – внешнее сопротивление, которое определим из выражения для мощности:
\[ P=I^{2} \cdot R,R=\frac{P}{I^{2}} \cdot  \]
Тогда получаем уравнение:
\[ I\cdot \left(\frac{P}{I^{2} } +r\right)=E. \]
Составим систему уравнений, воспользовавшись данными задачи:
\[ \left\{\begin{array}{l} {I_{1} \cdot \left(\frac{P_{1} }{I_{1}^{2} } +r\right)=E,} \\ {I_{2} \cdot \left(\frac{P_{2} }{I_{2}^{2} } +r\right)=E.} \end{array}\right.  \]
Приравняв уравнения, найдём внутреннее сопротивление, подставив его в любое из уравнений – найдём ЭДС батареи.Например:
\[ \begin{array}{l} {r=\frac{P_{2} \cdot I_{1} -P_{1} \cdot I_{2} }{I_{1} \cdot I_{2} \cdot (I_{1} -I_{2} )} ,} \\ {E=\frac{P_{1} }{I_{1} } +\frac{P_{2} \cdot I_{1} -P_{1} \cdot I_{2} }{I_{2} \cdot (I_{1} -I_{2} )} .} \end{array} \]
Ответ: 12 В, 2 Ом.

[Kivir]

638. Электрический нагреватель работает от сети с напряжением U  = 120 В при силе тока I = 5,0 А и за время τ = 20 мин нагревает m = 1,5 кг воды от t₁= 16 ºС до t₂ = 100 ºС. Определить потери энергии в процессе нагревания и КПД нагревателя. Удельная теплоёмкость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К).
Решение: пусть Q₁  - количество теплоты, выделяемое нагревателем, Q₂ – количество теплоты, необходимое на нагрев воды от температуры t₁ до температуры t₂. За время τ нагреватель выделит количество теплоты:
\[ Q_{1} =I\cdot U\cdot \tau. \]
Количество теплоты, необходимое воде:
\[ Q_{2} =c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right). \]
Потери энергии – разность между выделившемся количеством теплоты и принятым водой:
\[ \Delta Q=Q_{1} -Q_{2} =I\cdot U\cdot \tau -c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right). \]
КПД нагревателя – отношение количества теплоты принятого водой (полезная «работа»), к количеству теплоты, выделенного нагревателем (затраченная «работа»):
\[ \eta =\frac{Q_{2} }{Q_{1} } =\frac{c\cdot m\cdot \left(t_{2} -t_{1} \right)}{I\cdot U\cdot \tau }. \]
Ответ:ΔQ = 1,9∙10⁵ Дж, η = 0,73.

[Kivir]

639.В нагревателе электрической плитки две секции. При включении одной секции вода в кастрюле закипает через τ₁ = 8,0 мин, а при включении второй (без первой) – через τ₂ = 20 мин. Через сколько минут закипит вода в кастрюле, если обе секции включить: параллельно; последовательно? Условия нагревания во всех случаях одинаковы.
Решение: пусть напряжение в сети U, сопротивление первой секции R₁, второй секции R₂, всё количество теплоты Q, выделяемое секциями уходит на нагрев воды. Определим сопротивления спиралей:
\[ \begin{array}{l} {Q=\frac{U^{2} }{R} \cdot \tau ,} \\ {R_{1} =\frac{U^{2} \cdot \tau _{1} }{Q} ,R_{2} =\frac{U^{2} \cdot \tau _{2} }{Q} .} \end{array} \]
Параллельное соединение секций. Определим общее сопротивление секций
\[ R_{3} =\left(\frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{R_{2} } \right)^{-1} =\left(\frac{Q}{U^{2} \cdot \tau _{1} } +\frac{Q}{U^{2} \cdot \tau _{2} } \right)^{-1} =\frac{U^{2} }{Q} \cdot \frac{\tau _{1} \cdot \tau _{2} }{\tau _{1} +\tau _{2}}. \]
Тогда количество теплоты и искомое время:
\[ \begin{array}{l} {Q=\frac{U^{2} }{R_{3} } \cdot \tau _{3} ,} \\ {\tau _{3} =\frac{\tau _{1} \cdot \tau _{2} }{\tau _{1} +\tau _{2} }.} \end{array} \]
Последовательное соединение. Определим общее сопротивление секций
\[ R_{4} =R_{1} +R_{2} =\frac{U^{2} }{Q} \cdot \left(\tau _{1} +\tau _{2} \right). \]
Тогда количество теплоты и искомое время:
\[ \begin{array}{l} {Q=\frac{U^{2} }{R_{4} } \cdot \tau _{4} ,} \\ {\tau _{4} =\tau _{1} +\tau _{2}.} \end{array} \]
Ответ: τ₃=5,7 мин, τ₄=28 мин.

[Kivir]

640. Нагреватель электрического чайника состоит из двух спиралей, сопротивления которых одинаковы. При параллельном соединении спиралей и включении их в сеть вода в чайнике закипает через t₁ = 3 мин. Через сколько времени закипит вода, имеющая туже массу и такую же начальную температуру, если спирали нагревателя соединить последовательно и включить в туже сеть?
Решение: пусть напряжение в сети U, сопротивление первой и второй спирали R, количество теплоты, необходимое для нагрева воды - Q, это же количество теплоты выделяется спиралями при прохождении тока.
Параллельное соединение спиралей:
\[ \begin{array}{l} {R_{1} =\left(\frac{1}{R} +\frac{1}{R} \right)^{-1} =\frac{R}{2} ,} \\ {Q=\frac{U^{2} }{R_{1} } \cdot t_{1} =\frac{2\cdot U^{2} }{R} \cdot t_{1}.} \end{array} \]
Последовательное соединение:
\[ \begin{array}{l} {R_{2} =R+R=2R,} \\ {Q=\frac{U^{2} }{R_{2} } \cdot t_{2} =\frac{U^{2} }{2R} \cdot t_{2}.} \end{array} \]
Приравняем выражения для  количества теплоты и найдём искомое время:
\[ \begin{array}{l} {\frac{2\cdot U^{2} }{R} \cdot t_{1} =\frac{U^{2} }{2R} \cdot t_{2} ,} \\ {t_{2} =4\cdot t_{1}.} \end{array} \]
Ответ: 12 мин.

[Kivir]

641. Источник тока замыкается один раз проводником сопротивлением R₁ = 4 Ом, а другой – сопротивлением R₂ = 9 Ом. В обоих случаях количество теплоты, выделившееся в проводниках за одно и тоже время, одинаково. Определить внутреннее сопротивление источника.
Решение: количество теплоты определим по закону Джоуля-Ленца:
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot \Delta t, \]
здесь I – сила тока в проводнике сопротивлением R, Δt – время протекания тока. Силу тока определим по закону Ома для замкнутой цепи:
\[ I=\frac{E}{R+r}, \]
где E – ЭДС источника тока, r – его внутреннее сопротивление.
Тогда количество теплоты, выделившееся в обоих случаях:
\[ \begin{array}{l} {Q_{1} =\left(\frac{E}{R_{1} +r} \right)^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t=\frac{E^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t}{\left(R_{1} +r\right)^{2} } ,} \\ {Q_{2} =\frac{E^{2} \cdot R_{2} \cdot \Delta t}{\left(R_{2} +r\right)^{2}}.} \end{array} \]
Приравняем (по условию задачи) и найдём внутреннее сопротивление:
\[ \begin{array}{l} {\frac{E^{2} \cdot R_{1} \cdot \Delta t}{\left(R_{1} +r\right)^{2} } =\frac{E^{2} \cdot R_{2} \cdot \Delta t}{\left(R_{2} +r\right)^{2} } ,} \\ {\frac{\sqrt{R_{1} } }{R_{1} +r} =\frac{\sqrt{R_{2} } }{R_{2} +r} ,} \\ {r=\sqrt{R_{1} \cdot R_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 6 Ом.

[Kivir]

643. Лампочка накаливания мощностью P = 180 Вт используется для обогрева аквариума, содержащего V = 1∙10^-3 м³ воды. За τ = 2 мин вода нагревается на ΔT = 3 К. Какая часть расходуемой лампочкой энергии теряется в виде лучистой энергии? Удельная теплоёмкость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К), плотность воды ρ = 1∙10³ кг/м³.
Решение: потребляемую лампочкой электроэнергию (работу постоянного тока) определим зная мощность лампочки и время работы:

A = P∙τ.

Количество теплоты, ушедшее на нагрев воды:
\[ Q=c\cdot m\cdot \Delta T=c\cdot \rho \cdot V\cdot \Delta T. \]
Здесь учли, что масса воды равна произведению плотности на объём.
Тогда энергия излучения будет равна:

E = A – Q.

Эта энергия будет составлять от потребляемой:
\[ \alpha =\frac{E}{A} =\frac{A-Q}{A} =1-\frac{Q}{A} =1-\frac{c\cdot \rho \cdot V\cdot \Delta T}{P\cdot \tau } =0,42. \]
Ответ: 0,4.

[Kivir]

644. Аккумулятор, внутренним сопротивлением которого можно пренебречь, поочерёдно замыкают на два разных резистора, при этом в первом случае сила тока I₁ = 3 А, а во втором – I₂ = 6 А. Найти силу тока, идущего через аккумулятор, если замкнуть его на эти резисторы, соединённые последовательно.
Решение: воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи:
\[ I=\frac{E}{R+r} =\frac{E}{R}, \]
здесь E – ЭДС источника тока, r – его внутреннее сопротивление (r = 0).
Выразим неизвестные сопротивления резисторов из закона Ома. При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений. Запишем закон Ома для третьего случая и подставим сопротивления:
\[ \begin{array}{l}{R_{1}=\frac{E}{I_{1}},R_{2}=\frac{E}{I_{2}},}\\ {I=\frac{E}{R_{1}+R_{2}},}\\{I=\frac{E}{E\left(\frac{1}{I_{1}} +\frac{1}{I_{2}}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{I_{1}}+\frac{1}{I_{2}}} =\frac{I_{1} \cdot I_{2}}{I_{1} +I_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 2 А.

[Kivir]

626. Резистор сопротивлением R, подключённый к источнику тока, потребляет мощность P. Если к нему параллельно подключить такой же резистор, то вместе они потребляют такую же мощность. Каковы ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока?
Решение: выделяемая во внешней цепи тепловая мощность
\[  P=I^{2} \cdot R, \]
где I – сила тока, R – внешнее сопротивление. Для нахождения силы тока, воспользуемся законом Ома для замкнутой электрической цепи
\[ I=\frac{E}{R+r}, \]
где E – ЭДС источника тока, r – внутреннее сопротивление источника. Тогда выделяемая мощность
\[ P=\left(\frac{E}{R+r} \right)^{2} \cdot R. \]
При подключении второго резистора, внешнее сопротивление цепи и сила тока в ней изменятся:
\[ \begin{array}{l} {R_{1} =\left(\frac{1}{R} +\frac{1}{R} \right)^{-1} =\frac{R}{2} ,} \\ {I_{1} =\frac{E}{R_{1} +r}.} \end{array} \]
Выделяемая мощность в этом случае:
\[ P=I_{1}^{2} \cdot R_{1} =\left(\frac{E}{R_{1}+r} \right)^{2} \cdot R_{1}. \]
Приравняв полученные выражения для мощности, получим уравнение:
\[ \frac{E^{2} }{\left(R+r\right)^{2} } \cdot R=\frac{E^{2} }{\left(R_{1} +r\right)^{2} } \cdot R_{1}. \]
Решив уравнение относительно r, найдём:
\[ r=\sqrt{R\cdot R_{1}} =\frac{R}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2}}{2} R. \]
Подставив полученное значение r в любое из выражение для мощности, определим ЭДС источника тока
\[ \begin{array}{l} {P\cdot \left(R+\frac{R}{\sqrt{2} } \right)=E^{2} \cdot R,} \\ {E=\left(\sqrt{2} +1\right)\cdot \sqrt{\frac{P\cdot R}{2} } .} \end{array} \]

[Kivir]

627. Две лампы имеют мощности P₁ = 20 Вт и P₂ = 40 Вт при стандартном напряжении в сети. При их последовательном включении в сеть с другим напряжением оказалось, что в первой лампе выделяется такая же мощность, что и при стандартном напряжении. Какая мощность выделяется при этом во второй лампе? Изменением сопротивления нитей  ламп с температурой пренебречь.
Решение: выделяемая мощность при стандартном напряжении U:
\[ \begin{array}{l} {P_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1} } ,P_{2} =\frac{U^{2} }{R_{2} } ,} \\ {R_{1} =\frac{U^{2} }{P_{1} } ,R_{2} =\frac{U^{2} }{P_{2} } ,} \end{array} \]
здесь R₁ и R₂ – сопротивления нитей ламп соответственно. При последовательном включении ламп в сеть с другим напряжением ток в них будет одинаковым, согласно законам последовательного соединения. По условию задачи, во втором случае в первой лампе выделяется такая же мощность, как и при стандартном напряжении. Это означает, что напряжение на ней равно стандартному напряжению U (сопротивление нити не зависит от температуры). Тогда, воспользовавшись законом Ома для участка цепи, определим ток, текущий через лампы при последовательном включении:
\[ P_{1} =I_{1} \cdot U,I_{1} =\frac{P_{1} }{U} =I_{2}. \]
Тогда выделяемая мощность во второй лампе
\[ P'_{2} =I_{2}^{2} \cdot R_{2} =\left(\frac{P_{1} }{U} \right)^{2} \cdot \frac{U^{2} }{P_{2} } =\frac{P_{1}^{2} }{P_{2}}. \]
Ответ: 10 Вт

[Kivir]

628. Электродвигатель, сопротивление обмоток которого R = 2 Ом, подключён к генератору с ЭДС E = 240 В и внутренним сопротивлением r = 0,4 Ом. При работе двигателя через его обмотки проходит ток силой I = 10 А. Найти КПД электродвигателя. Сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало.
Решение: воспользовавшись законом Ома для замкнутой цепи, определим напряжение на двигателе:
\[ U=E-I\cdot r. \]
Потребляемая двигателем мощность
\[ P=I\cdot U=I\cdot \left(E-I\cdot r\right). \]
Часть этой мощности затрачивается на нагревание проводов обмотки
\[ P_{1} =I^{2} \cdot R, \]
остальная мощность P₂ – полезная (превращается в механическую мощность). На основании закона сохранения и превращения энергии:
\[ \begin{array}{l} {P=P_{1} +P_{2} ,} \\ {P_{2} =P-P_{1} =I\cdot \left(E-I\cdot r\right)-I^{2} \cdot R.} \end{array} \]
Следовательно, КПД электродвигателя
\[ \eta =\frac{P_{2} }{P} =\frac{I\cdot \left(E-I\cdot r\right)-I^{2} \cdot R}{I\cdot \left(E-I\cdot r\right)} =1-\frac{I\cdot R}{E-I\cdot r} =0,915. \]
Ответ: 0,9.