Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

629. Электродвигатель подъёмного крана работает под напряжением U = 380 В при силе тока I = 20 А. Каков КПД двигателя, если груз массой m = 1000 кг кран поднимает равномерно на высоту h = 19 м за t = 50 с?
Решение: КПД двигателя – отношение полезной работы A₁ к затраченной A
\[ \eta =\frac{A_{1} }{A} \cdot 100\%. \]
Затраченная работа, это работа электрического тока
\[ A=I\cdot U\cdot t. \]
Полезная работа, это работа постоянной силы натяжения F троса подъёмного крана. Сила натяжения F равна по модулю силе тяжести mg, действующей на груз, т.к. груз поднимается равномерно (ускорение a = 0). Тогда
\[ A_{1} =F\cdot h=mg\cdot h. \]
Следовательно, КПД электродвигателя
\[ \eta =\frac{mg\cdot h}{I\cdot U\cdot t} \cdot 100\%. \]
Ответ: 49% (g = 9,8 м/с²).

[Kivir]

642. Во сколько раз изменится тепловая мощность, выделяющаяся в электрической цепи, при перемене полярности на клеммах 1 и 2 (рис. 207)? Считать модуль напряжения на клеммах постоянным, диоды идеальными, сопротивления резисторов одинаковыми.
Решение: введём обозначения: пусть U напряжение на клеммах; R - сопротивление каждого резистора;  a, b, c, d - узлы электрической цепи (см. рис. 207)
Ситуация 1. Диоды включены в прямом направлении, поэтому точки a, d и точки b, с  имеют одинаковые потенциалы соответственно. Эти точки можно объединить. Получим эквивалентную схему, в которой три резистора соединены параллельно (см. рис.). Общее сопротивление цепи
\[ R_{1} =\left(\frac{1}{R} +\frac{1}{R} +\frac{1}{R} \right)^{-1} =\frac{R}{3}. \]
Выделяемая в цепи тепловая мощность в этом случае
\[ P_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1} } =\frac{3\cdot U^{2}}{R}. \]
Ситуация 2. Диоды включены в обратном направлении, их сопротивление стремится к бесконечности, т.е. участки цепи, содержащие диоды можно исключить. Получаем эквивалентную схему, состоящую из трёх последовательно соединённых резисторов (см. рис.). Общее сопротивление цепи
\[ R_{2} =R+R+R=3R. \]
Выделяемая в цепи тепловая мощность в этом случае
\[ P_{2} =\frac{U^{2} }{R_{2} } =\frac{U^{2} }{3\cdot R}. \]
Искомое изменение выделяемой тепловой мощности
\[ \frac{P_{1} }{P_{2} } =\frac{3\cdot U^{2} }{R} \cdot \frac{3\cdot R}{U^{2} }=9. \]
Ответ: уменьшится в 9 раз

[Kivir]

647. Найти сопротивление резистора R, включённого в цепь, схема которой приведена на рис. 210, если известно, что в плоском конденсаторе напряжённость электрического поля E = 2250 В/м, расстояние между пластинами конденсатора d = 0,2 см, ЭДС источника тока  E = 5 В, его внутренне сопротивление r  = 0,5 Ом.
Решение: При включении конденсатор зарядится до некоторого напряжения, после чего ток через него идти не будет. Ток в цепи будет только через резистор. Конденсатор включён параллельно резистору, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе. Напряжение на конденсаторе (резисторе) определим, воспользовавшись связью между напряжённостью однородного электрического поля и разностью потенциалов (напряжением)
\[ E=\frac{\phi _{1} -\phi _{2} }{d} =\frac{U}{d} ,U=E\cdot d. \]
Тогда, по закону Ома для участка цепи, ток через резистор
\[ I=\frac{U}{R} =\frac{E\cdot d}{R}. \]
С другой стороны, ток можно определить по закону Ома для замкнутой цепи
\[ I=\frac{{\rm E}}{R+r}. \]
Приравняв полученные выражения для тока, получим уравнение, из которого  и определим сопротивление резистора
\[ \begin{array}{l} {\frac{E\cdot d}{R} =\frac{{\rm E}}{R+r} ,} \\ {R=r\cdot \frac{E\cdot d}{{\rm E}-E\cdot d}.} \end{array} \]
Ответ: 4,5 ≈ 5 Ом.

[Kivir]

648. При замкнутом ключе К (рис. 211) вольтметр V1 показывает напряжение U = 0,8E, где E – ЭДС источника тока. Что покажут вольтметры V1 и V2 при разомкнутом ключе, если их сопротивления равны?
Решение: при замкнутом ключе вольтметр V2 закорочен, поэтому его можно исключить из электрической цепи. В цепи остаётся вольтметр V1 и источник тока. При этом вольтметр показывает напряжение на самом себе. Пусть R – сопротивление вольтметров, r – внутреннее сопротивление источника тока. Тогда напряжение на V1 определим, воспользовавшись законами Ома для участка и для замкнутой цепи
\[ U=I\cdot R=\frac{E}{R+r} \cdot R, \]
из этого уравнения выразим внутреннее сопротивление источника
\[ r=\frac{E\cdot R}{U} -R. \]
При разомкнутом ключе оба вольтметра включены последовательно, ток через них идёт одинаковый, сопротивления у них равны, следовательно, оба вольтметра имеют равные показания.
\[ U_{1} =U_{2} =I_{12} \cdot R=\frac{E}{2R+r} \cdot R. \]
Подставив выражение для r и значение U, получим
\[ U_{1} =U_{2} =\frac{E}{1+\frac{E}{U} } =\frac{4}{9} E. \]
Ответ: 4E/9.

[Kivir]

649. Определить заряд конденсатора, если при коротком замыкании источника (рис. 212) сила тока в нём увеличивается в n раз. ЭДС источника E, ёмкость конденсатора C.
Решение: при включении конденсатор зарядится до некоторого напряжения, после чего ток через него идти не будет. Ток в цепи будет только через резистор. Конденсатор включён параллельно резистору, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе. Пусть I₀ – ток короткого замыкания, I – ток в цепи. Воспользуемся условием задачи и законом Ома (при коротком замыкании R=0)
\[ \begin{array}{l} {I_{0} =n\cdot I,} \\ {\frac{E}{r} =n\cdot \frac{E}{R+r} ,} \end{array} \]
где r – внутреннее сопротивление источника тока. Выразим сопротивление R
\[ R=r\cdot (n-1). \]
Напряжение на конденсаторе
\[ U=\frac{q}{C} =I\cdot R,\frac{q}{C} =\frac{E}{R+r} \cdot R. \]
Подставив выражение для R, определим заряд конденсатора q
\[ q=\left(\frac{n-1}{n} \right)\cdot C\cdot E. \]

[Kivir]

651. Напряжение на внешнем участке цепи U₁ = 5 В, сила тока I₁ = 3 А. После изменения сопротивления этого участка напряжение U₂ = 8 В, а сила тока I₂ = 2 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.
Решение: пусть E – ЭДС источника тока, r – его внутреннее сопротивление. Напряжение на внешнем участке определяется выражением (закон Ома)
\[ U=E-I\cdot r.  \]
Используя условие задачи, составим систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {U_{1} =E-I_{1} \cdot r,} \\ {U_{2} =E-I_{2} \cdot r.} \end{array}\right.  \]
Вычтем из второго уравнения первое (избавимся от ЭДС, найдём r)
\[ r=\frac{U_{2} -U_{1} }{I_{1} -I_{2}}. \]
Подставив полученное выражение в любое их уравнений, найдём ЭДС
\[ E=\frac{U_{2} \cdot I_{1} -U_{1} \cdot I_{2}}{I_{1} -I_{2}}. \]
Ответ: 14 В, 3 Ом.

[Kivir]

652. Два резистора, источник постоянного тока и вольтметр соединены, как показано на рис. 213. При замкнутом ключе К вольтметр показывает напряжение U₁ = 16 В. Если ключ разомкнуть, вольтметр показывает U₂ = 20 В. Найти ЭДС источника, пренебрегая ответвлением тока в вольтметр.
Решение: ключ замкнут. Резисторы соединены параллельно, тогда их общее сопротивление равно
\[ R_{1} =\left(\frac{1}{R} +\frac{1}{2R} \right)^{-1} =\frac{2R}{3}. \]
Вольтметр показывает напряжение на источнике. Воспользуемся законом Ома для участка цепи и законом Ома для замкнутой цепи
\[ U_{1} =I_{1} \cdot R_{1} =\frac{E}{\frac{2R}{3} +r} \cdot \frac{2R}{3},  \]
где E – ЭДС источника, r – его внутреннее сопротивление.
Ключ разомкнут. Цепь состоит только из резистора R. Тогда
\[ U_{2} =I_{2} \cdot R=\frac{E}{R+r} \cdot R. \]
Составим систему уравнений, например
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{2R}{3} +r=\frac{E\cdot 2R}{3U_{1} } ,} \\ {R+r=\frac{E\cdot R}{U_{2}}.} \end{array}\right.  \]
Решим полученную систему относительно ЭДС, например, вычтем из второго уравнения первое (исключим внутреннее сопротивление)
\[ \begin{array}{l} {R\cdot \left(1-\frac{2}{3} \right)=E\cdot R\left(\frac{1}{U_{2} } -\frac{2}{3U_{1} } \right),} \\ {E=\frac{U_{1} \cdot U_{2} }{3U_{1} -2U_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 40 В.

[Kivir]

654. Аккумулятор, внутреннее сопротивление которого r = 1,0 Ом, заряжается от источника напряжением U = 24 В. При зарядке через аккумулятор идёт ток силой I = 1,0 А. Найти ЭДС аккумулятора.
Решение: при зарядке аккумулятора его положительный полюс подключают к «плюсу» источника напряжения, а отрицательный – к «минусу». При этом от «плюса» источника к аккумулятору идёт зарядный ток силой I (внутри аккумулятора ток идёт от положительного полюса к отрицательному).  В этом случае напряжение на полюсах источника равно сумме ЭДС аккумулятора E и падения напряжения на его внутреннем сопротивлении r (следствие из закона Ома):
\[ U=E+I\cdot r. \]
Тогда ЭДС аккумулятора
\[ E=U-I\cdot r. \]
Ответ: 23 В.

[Kivir]

655. Зарядка аккумулятора производится током силой I₁ = 4,0 А, при напряжении на клеммах аккумулятора U₁ = 12,6 В. При разрядке аккумулятора сила тока в цепи I₂ = 6,0 А, напряжение на клеммах U₂ = 11,1 В.  Найти силу тока короткого замыкания.
Решение: при зарядке аккумулятора его положительный полюс подключают к «плюсу» источника напряжения, а отрицательный – к «минусу». При этом от «плюса» источника к аккумулятору идёт зарядный ток силой I (внутри аккумулятора ток идёт от положительного полюса к отрицательному).  В этом случае напряжение на полюсах источника равно сумме ЭДС аккумулятора E и падения напряжения на его внутреннем сопротивлении r (следствие из закона Ома):
\[ U_{1} =E+I_{1} \cdot r. \]
При разрядке аккумулятора (к нему подключена нагрузка), сила тока в цепи и напряжение на клеммах определяются по закону Ома для замкнутой цепи
\[ U_{2} =E-I_{2} \cdot r. \]
Сила тока короткого замыкания (внешнее сопротивление R = 0)
\[ I_{0} =\frac{E}{r}. \]
Получили систему из трёх уравнений. Из первых двух определим ЭДС и внутреннее сопротивление, подставим в третье, например:
\[ \begin{array}{l}{E=U_{1} -I_{1}\cdot r,}\\{U_{2}=E-I_{2}\cdot r=U_{1} -\left(I_{1} +I_{2}\right)\cdot r.}\end{array} \]
Откуда
\[ \begin{array}{l}{E=\frac{U_{1}\cdot I_{2}+U_{2} \cdot I_{1} }{I_{1} +I_{2} } ,r=\frac{U_{1} -U_{2} }{I_{1} +I_{2}},} \\ {I_{0}=\frac{U_{1}\cdot I_{2} +U_{2} \cdot I_{1}}{U_{1} -U_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 80 В

[Kivir]

658. Батарея, состоящая из нескольких одинаковых аккумуляторов, включена во внешнюю цепь, сопротивление которой R. При каком значении внутреннего сопротивления r аккумулятора сила тока в цепи будет одинакова как при последовательном, так и при параллельном соединении аккумуляторов в батарею?
Решение: при последовательном соединении аккумуляторов, ЭДС батареи равно сумме ЭДС аккумуляторов, а внутреннее сопротивление батареи равно сумме внутренних сопротивлений аккумуляторов. Пусть батарея содержит n аккумуляторов, ЭДС каждого E, внутренне сопротивление r, тогда, используя закон Ома, сила тока в замкнутой цепи будет равна
\[ I_{1} =\frac{n\cdot E}{R+n\cdot r}. \]
При параллельном соединении одинаковых аккумуляторов, ЭДС батареи равно ЭДС одного аккумулятора, а внутреннее сопротивление батареи  в n раз меньше внутреннего сопротивления одного аккумулятора. Тогда
\[ I_{2} =\frac{E}{R+\frac{r}{n}}. \]
Приравняем токи (по условию задачи они должны быть равны) и определим внутреннее сопротивление
\[ \begin{array}{l} {\frac{n\cdot E}{R+n\cdot r} =\frac{E}{R+\frac{r}{n} } ,} \\ {n\cdot R+r=R+n\cdot r,}\\ {r=R.}\end{array} \]
Ответ: r = R.