Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

		692	693	694	695	696	697	698	699
700	701	702	703	704	705	706	707	708	709
710	711	712	713	714	715	716	717	718	719
720	721	722	723	724	725	726	727	728	729
730

[alsak]

695. Прямолинейный проводник массой m = 3 кг, по которому проходит ток силой I = 5 А, поднимается вертикально вверх в однородном магнитном поле с индукцией В = 3 Тл, двигаясь под углом α = 30° к линиям магнитной индукции. Через время t = 2 с после начала движения он приобретает скорость υ = 10 м/с. Определить длину проводника.

Решение. Так как проводник начал движение, то направления скорости, ускорения и равнодействующей силы будут совпадать (по условию, вертикально вверх). На проводник действую сила тяжести (m⋅g) и сила Ампера (F_A) (рис. 1). Так как сила Ампера направлена вертикально вверх, то проводник и вектор магнитной индукции должны быть расположены в горизонтальной плоскости (сила Ампера перпендикулярна проводнику и вектору магнитной индукции), следовательно, проводник НЕ МОЖЕТ ДВИГАТЬСЯ под углом 30° к линиям магнитной индукции. Необходима дополнительная сила, например, сила реакции стены, вдоль которой может двигаться проводник.
Ответ. Задача не имеет решения.

Изменим условие так: словосочетание «двигаясь под углом α = 30° к линиям магнитной индукции» заменим на «расположен под углом 30° к линиям магнитной индукции».

695изм. Прямолинейный проводник массой m = 3 кг, по которому проходит постоянный ток силой I = 5 А, поднимается вертикально вверх в однородном магнитном поле с индукцией B = 3 Тл. Через время t = 2 с после начала движения он приобретает скорость υ = 10 м/с. Определите длину проводника, если он расположен под углом α = 30° к линиям магнитной индукции.

Решение. Так как проводник начал движение, то направления скорости, ускорения и равнодействующей силы будут совпадать (по условию, вертикально вверх). На проводник действую сила тяжести (m⋅g) и сила Ампера (F_A). Так как сила Ампера направлена вертикально вверх, то проводник и вектор магнитной индукции должны быть расположены в горизонтальной плоскости (сила Ампера перпендикулярна проводнику и вектору магнитной индукции) (рис. 1 — вид сбоку, 2 — вид сверху).
Запишем проекцию второго закона Ньютона:

0Y: m⋅a = F_A – m⋅g,

где F_A = I⋅B⋅l⋅sin α. Ускорение найдем следующим образом:
 

\[ a_{y} = \frac{\upsilon _{y} -\upsilon _{0y}}{t}, \, \, \, a = \frac{\upsilon }{t}, \]

т.к. υ_0y = 0, a_y = a, υ_y = υ. Тогда
 

\[ m\cdot \frac{\upsilon }{t} = I \cdot B \cdot l \cdot \sin \alpha -m\cdot g, \, \, \,
l = \frac{m \cdot \left(\upsilon +g \cdot t \right)}{I \cdot B \cdot t \cdot \sin \beta }, \]

l = 6,0 м.

[alsak]

709. Небольшое заряженное тело массой m, прикрепленное к нити длиной l, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Перпендикулярно этой плоскости направлены линии магнитной индукции однородного магнитного поля с индукцией В (рис. 1). Какую минимальную горизонтальную скорость υ₀ надо сообщить телу в нижней точке, чтобы оно совершило полный оборот? Заряд тела положителен и равен q.

Решение. Найдем скорость заряда υ в верхней точке.
Для груза на гибком подвесе (нити) минимальная скорость груза (υ₀) в нижней точке соответствует случаю, когда сила натяжения подвеса в верхней точке чуть больше нуля (Т = 0). Иначе, груз станет двигаться по параболе (движение под углом к горизонту), и не достигнет максимальной высоты. На заряд действуют сила тяжести (m⋅g), сила натяжения подвеса (T) и сила Лоренца (F_l) (рис. 2). Для верхнего положения заряда запишем 2-ой закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

0Y: m⋅a_с = m⋅g – F_l,

где F_l = q⋅B⋅υ⋅sin α, a_c = υ²/l, l — длина нити, α = 90°. Тогда
 

\[ m \cdot \frac{\upsilon ^{2}}{l} = m \cdot g- q \cdot B \cdot \upsilon, \; \; \; \upsilon ^{2} + \frac{q \cdot B \cdot l}{m} \cdot \upsilon -l\cdot g = 0. \]

Положительный корень этого квадратного уравнения равен
 

\[ \upsilon =-\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} + \sqrt{\left(\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} \right)^{2} +l \cdot g}.\;\;\; (1) \]

На заряд действует внешняя сила (сила Лоренца), но так как эта сила всегда перпендикулярна скорости частицы, то работа силы Лоренца равна нулю. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения энергии.
Примем за нулевую высоту — нижнее положение заряда. Тогда из закона сохранения получаем
 

\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{}^{2}}{2} +m \cdot g \cdot \left(2l\right), \, \, \,
\upsilon _{0}^{2} = \upsilon _{}^{2} +4g \cdot l. \]  (2)

Подставим уравнение (1) в (2) (подробнее см. рис. 3):
 

\[ \upsilon _{0} = \sqrt{\left(-\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} +\sqrt{\left(\frac{q \cdot B \cdot l}{2m} \right)^{2} +l \cdot g} \right)^{2} +4g \cdot l} =
\sqrt{5g \cdot l+\frac{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l^{2} }{2m^{2} } \cdot \left(1-\sqrt{1+\frac{4m^{2} \cdot g}{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l} } \right)}. \]

[alsak]

710. В однородном магнитном поле с индукцией В, направленной вертикально вверх, находится конический маятник: подвешенный на невесомой нити длиной l шарик массой m с положительным зарядом q равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 1). При этом нить образует с вертикалью угол α, а шарик движется по часовой стрелке, если смотреть сверху. Найти скорость шарика.

Решение. На груз действуют сила тяжести (m⋅g), сила натяжения подвеса (Т) и сила Лоренца (F_l) (рис. 2). Для конического маятника ускорение только центростремительное, т.е. а = а_c. Запишем второй закон Ньютона:
 

\[ m\cdot \vec{a}_{c} =m\cdot \vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_{l},  \]

0X: m⋅a_c = T⋅sin α + F_l, (1)

0Y: 0 = –m⋅g + T⋅cos α, (2)

где a_c = υ²/R, R = l⋅sin α, F_l = q⋅B⋅υ⋅sin β, β = 90° — угол между направлением скорости и вектором магнитной индукции. Решим систему двух уравнений (1) и (2). Например,
 

\[ T=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha } ,\, \, \, m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{l\cdot \sin \alpha } =\frac{m\cdot g}{\cos \alpha } \cdot \sin \alpha +q\cdot B\cdot \upsilon \]

или

\[ \upsilon ^{2} -\frac{q\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha }{m} \cdot \upsilon -\frac{g\cdot l\cdot \sin ^{2} \alpha }{\cos \alpha } =0. \]

Положительный корень квадратного уравнения равен (подробнее см. рис. 3)
 

\[ \upsilon =\frac{q\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha }{2m} \cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{4m^{2} \cdot g}{q^{2} \cdot B^{2} \cdot l\cdot \cos \alpha } } \right). \]

[andrey]

727, 724, 721, 714, 726, 713

[djek]

713. В однородном магнитном поле с индукцией В расположена замкнутая катушка диаметром d. Плоскость катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Какой заряд пройдет по цепи катушки, если ее повернуть на 180°? Проволока, из которой намотана катушка, имеет площадь поперечного сечения S и удельное сопротивление ρ.

Решение

При повороте катушки в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий катушку и, следовательно, возникает ЭДС индукции. Поскольку катушка замкнутая, то по ней пройдет ток. Заряд, который пройдет по цепи катушки
\[ q=I\cdot \Delta t \]
Сила тока в кольце:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, возникающая в кольце:
\[ \varepsilon =\left| \frac{\Delta Ф}{\Delta t} \right| \]
Магнитный поток через кольцо:
\[ \Delta Ф =B\cdot S\cdot \cos \alpha  \]
Где α- угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца.
Изменение магнитного потока:
\[ \Delta Ф=B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 180-B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 0=-2\cdot B\cdot {{S}_{k}}=-2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}} \]
Следовательно:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{2\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{\Delta t} \]
Тогда:
\[ q=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R\cdot \Delta t}\cdot \Delta t=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R} \]
Сопротивление катушки:
\[ R=\rho \frac{l}{S} \]...\[ l=2\cdot \pi \cdot r \]
C учетом этого:
\[ q=\frac{B\cdot S\cdot r}{\rho }=\frac{B\cdot S\cdot d}{2\cdot \rho } \]

[djek]

714 Определить разность потенциалов между концами оси железнодорожного вагона, имеющей длину  l= 1,6 м, если на горизонтальном участке пути скорость поезда υ = 45 км/ч, а вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 2·10-5 Тл

Решение
ЭДС индукции, возникающая в проводнике длиной l, движущемся со скоростью υ в однородном магнитном поле индукцией B, равна:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=B\cdot l\cdot  \upsilon \cdot \sin \alpha  \]
В нашем случае угол α (между направлением скорости и вертикальной составляющей вектора В) равен 90.
Разность потенциалов на концах разомкнутой цепи равна ЭДС
\[ {{\varepsilon }_{i}}=B\cdot l\cdot  \upsilon =4\cdot {{10}^{-4}}B \]

[djek]

721 Квадратная рамка со стороной l = 10 см вращается в однородном магнитном поле с угловой скоростью ω=300 рад/с. Определить максимальное значение силы тока в рамке, если ее сопротивление R = 10 Ом, магнитная индукция поля В = 0,02 Тл. Ось вращения рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.
Решение
При равномерном вращении рамки с угловой скоростью ω магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную сторонами рамки, будет непрерывно меняться с течением времени по закону

Ф=B·S·cosα

Где S – площадь рамки; α – угол между нормалью к плоскости и вектором В.
В момент времени t угол α=ωt,следовательно ,

Ф=B·S·cos ωt

Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром. Поэтому с учетом знака ЭДС индукции

ε_i=-Ф’

Взяв производную от Ф по времени, получим:

ε_i= B·S·ω·sin ωt.

Максимальное значение ЭДС равно

ε_m= B·S·ω

Максимальное значение силы тока в рамке
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{m}}}{R} \]
Площади рамки
S = l²
Окончательно будем иметь
\[ I=\frac{B\cdot {{l}^{2}}\cdot \omega }{R} \]

[djek]

724 Проволочное кольцо радиуса r = 0,1 м лежит на столе. Какой заряд пройдет по кольцу, если его перевернуть с одной стороны на другую? Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 0,5·10-4 Тл. Сопротивление кольца R = 1 Ом.
Решение
При повороте кольца в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий кольцо и, следовательно, возникает ЭДС индукции. Заряд, который пройдет по кольцу
\[ q=I\cdot \Delta t \]
Сила тока в кольце:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, возникающая в кольце:
\[ \varepsilon =\left| \frac{\Delta Ф}{\Delta t} \right| \]
Магнитный поток через кольцо:
\[ \Delta Ф =B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos \alpha  \]
Где α- угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости кольца.
Изменение магнитного потока:
\[ \Delta Ф ={{Ф}_{2}}-{{Ф}_{1}} \]
\[ \Delta Ф=B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 180-B\cdot {{S}_{k}}\cdot \cos 0=-2\cdot B\cdot {{S}_{k}}=-2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}} \]
Следовательно:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{2\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{\Delta t} \]
Тогда:
\[ q=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R\cdot \Delta t}\cdot \Delta t=\frac{2\cdot B\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}{R} \]

[djek]

726 В однородном магнитном поле находится замкнутая обмотка, состоящая из N = 1000 витков квадратной формы. Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости витков. Магнитная индукция изменяется на ΔВ = 2·10^-2 Тл за время Δt =0,1 с. Длина стороны квадрата (витка) а = 0,1м, площадь поперечного сечения
провода обмотки S = 1·10^-6 м², удельное сопротивление ρ = 1·10^-7 Ом·м. Какое количество теплоты выделяется в обмотке за время Δt?

Решение
Количество теплоты, которое выделяется в одном витке обмотки, пропорционально квадрату силы тока, времени его прохождения и сопротивлению проводника (закон Джоуля-Ленца).
\[ {{Q}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R\cdot \Delta t \] (1)
Сила тока
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R} \]
ЭДС индукции, которая возникает в контуре при изменении магнитного потока
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right| \]
\[ \Delta \Phi =\Delta B\cdot {{S}_{k}}  \]
S_k = а²– площадь обмотки, угол α между нормалью к поверхности и вектором В равен 0, поэтому cosα = 1. Окончательно имеем:
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{\Delta B\cdot {{S}_{k}}}{\Delta t}=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}}{\Delta t} \]
С учетом этого сила тока
\[ I=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}}{\Delta t\cdot R}  \]
Найдем сопротивление одной обмотки и учтем, что длина обмотки равна 4а
\[ R=\rho \cdot \frac{l}{S}=\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S} \] (2)
Окончательно для силы тока
\[ I=\frac{\Delta B\cdot {{a}^{2}}\cdot S}{\Delta t\cdot 4\cdot a\cdot \rho }=\frac{\Delta B\cdot a\cdot S}{4\cdot \Delta t\cdot \rho }  \](3)
Подставим формулы (3) и (2) в (1) и получим количество теплоты, которое выделится в одном витке
\[ {{Q}_{1}}=\frac{\Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{2}}\cdot {{S}^{2}}}{16\cdot {{\rho }^{2}}\cdot \Delta {{t}^{2}}}\cdot \frac{\rho \cdot 4\cdot a}{S}\cdot \Delta t=\frac{\Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{3}}\cdot S}{4\cdot \rho \cdot \Delta t} \]
А поскольку таких витков N то
\[ Q=N\cdot {{Q}_{1}}=\frac{N\cdot \Delta {{B}^{2}}\cdot {{a}^{3}}\cdot S}{4\cdot \rho \cdot \Delta t} \]