Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.

[djek]

727  Прямоугольная рамка из проводника сопротивлением R = 1 Ом, двигаясь поступательно с постоянной скоростью υ = 4 м/с, пересекает полосу однородного магнитного поля с индукцией В = 0,5 Тл. Вектор В перпендикулярен плоскости рамки. Стороны рамки l₁ = 10 см, l₂ = 5 см, ширина полосы l₃ > l₂,  рамка движется вдоль стороны l₂. Определить количество теплоты, которое выделится в рамке к моменту, когда она пересечет полосу.

Решение

Количество теплоты, которое выделяется в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, времени его прохождения и сопротивлению проводника (закон Джоуля-Ленца).

Q=I₂∙R·Δt

Когда рамка начинает входить в магнитное поле в ней возникает ЭДС индукции (изменяется площадь контура)
\[ {{\varepsilon }_{i}}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}=\frac{B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon \cdot \Delta t}{\Delta t}=B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon  \]
Сила тока, возникающего в контуре и время входа рамки в магнитное поле
\[ \begin{align}
  & I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot {{l}_{1}}\cdot \upsilon }{R} \\
 & \Delta t=\frac{{{l}_{2}}}{\upsilon } \\
\end{align}
 \]
Количество теплоты, которое выделится при входе рамки в магнитное поле
\[ {{Q}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R\cdot \Delta t=\frac{{{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{{{R}^{2}}}\cdot R\cdot \frac{{{l}_{2}}}{\upsilon }=\frac{{{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot \upsilon \cdot {{l}_{2}}}{R}  \]
Когда рамка полностью в магнитном поле в ней ЭДС индукции не возникает, следовательно теплота не выделяется, когда рамка начнет выходить из контура в ней выделится такое же количество теплоты

Q=2Q₁

\[ Q=\frac{2\cdot {{B}^{2}}\cdot l_{1}^{2}\cdot \upsilon \cdot {{l}_{2}}}{R} \]

[andrey]

711, 712, 715, 718, 722

[djek]

711  Магнитный поток через катушку, состоящую из N = 75 витков, Ф = 4,8∙10^-3 Вб. За сколько времени должен исчезнуть этот поток, чтобы в катушке возникла средняя ЭДС индукции ε_i= 0,75 В?

Pешение
ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром (закон электромагнитной индукции). В нашем случае катушка состоит из N витков. С учетом этого
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=N\cdot \left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right| \\
 & \Delta t=\frac{N\cdot \Delta \Phi }{{{\varepsilon }_{i}}} \\
\end{align}
 \]

[djek]

715 По горизонтальным рельсам, расположенным в вертикальном магнитном поле с индукцией В = 1·10^-2 Тл, скользит проводник длиной l = 1 м с постоянной скоростью υ = 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на резистор сопротивлением R = 2 Ом. Определить количество теплоты, которое выделяется в резисторе за время t = 4 с. Сопротивлением рельсов и проводника пренебречь.

В движущемся в магнитном поле проводнике возникает ЭДС индукции ε_i=Blυsinα. Проводник замкнут на резистор, следовательно, ЭДС индукции создаст ток. По условию задачи, направление скорости движения проводника перпендикулярно к направлению вектора магнитной:
\[ I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot l\cdot \upsilon }{R} \]
Количество теплоты, которое выделится на резисторе найдем из закона Джоуля-Ленца
\[ Q={{I}^{2}}\cdot R\cdot t=\frac{{{B}^{2}}\cdot {{l}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{R}\cdot t \]

[djek]

718. Проволочный виток, имеющий площадь S = 100 см², разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витка. Магнитная индукция поля равномерно изменяется во времени со скоростью ΔB/Δt = 5·10^-3 Тл/с. Определить заряд конденсатора.

Емкость конденсатора численно равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками.

\[ \begin{align}
  & C=\frac{q}{U}=\frac{q}{{{\varepsilon }_{i}}} \\
 & {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t} \\
 & q={{\varepsilon }_{i}}\cdot C=\frac{\Delta B\cdot S}{\Delta t}\cdot C \\
\end{align}
 \]

[djek]

712  Рамка, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Плоскость рамки составляет с направлением вектора магнитной индукции угол α = 30°. Определить длину стороны рамки, если при равномерном уменьшении магнитного поля до нуля за время τ = 0,01 с в рамке индуцируется ЭДС ε_i= 2·10^-3 В.

Решение
ЭДС индукции возникает в силу изменения магнитного потока, пронизывающего площадь ограниченную сторонами равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника
\[ S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{a}^{2}} \]
Поток магнитной индукции
Ф=B·S·cosα где α – угол между вектором В и нормалью n к поверхности.
В условии задан угол между плоскостью рамки и вектором В.
Угол между вектором В и нормалью n к поверхности (обозначим его β) равен
β=90-α=60
Ф=B·S·cosβ – магнитный поток пронизывающий контур ограниченный равносторонним треугольником
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{\Delta B\cdot S\cdot \cos \beta }{\tau } \\
 & S=\frac{\tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{B\cdot \cos \beta }=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{a}^{2}} \\
 & a=\sqrt{\frac{4\cdot \tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{\sqrt{3}\cdot B\cdot \cos \beta }}=2\cdot \sqrt{\frac{\tau \cdot {{\varepsilon }_{i}}}{\sqrt{3}\cdot B\cdot \cos \beta }} \\
\end{align}
 \]

[djek]

722 Плоский замкнутый металлический контур площадью S₁ = 10 см² деформируется в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1·10_-2 Тл. Площадь контура за время τ = 2 с равномерно уменьшается (плоскость контура при этом остается перпендикулярной силовым линиям поля) до величины S₂ = 2 см². Определить силу тока, проходящего по контуру в течение времени τ, если сопротивление контура R = 1 Ом.

Решение
В силу изменения площади контура в нем индуцируется ЭДС индукции
\[ \begin{align}
  & {{\varepsilon }_{i}}=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|=\frac{B\cdot ({{S}_{1}}-{{S}_{2}})}{\tau } \\
 & I=\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{R}=\frac{B\cdot ({{S}_{1}}-{{S}_{2}})}{R\cdot \tau } \\
\end{align}
 \]

[Kivir]

692. Квадратная рамка со стороной a = 10 см, сделанная из проводника, площадь поперечного сечения которого  S = 1 мм² и удельное сопротивление ρ = 2∙10^–8 Ом∙м, присоединена к источнику постоянного напряжения U = 4 В и помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл. Определить максимальный момент сил, действующих на рамку со стороны поля.
Решение: момент сил, действующий на плоский контур с током, помещённый в однородное магнитное поле определяется по формуле:
\[ M=I\cdot B\cdot S_{1} \cdot \sin \alpha. \]
Здесь I – сила тока в контуре, B – индукция поля, S₁ – площадь поверхности, охватываемой контуром, α – угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к поверхности контура.
Момент сил будет максимальным, если расположить рамку в магнитном поле так, что бы угол α = 90º (в этом случае sinα = 1 – принимает максимальное значение). Площадь рамки определим, зная что она квадратная:

S₁ = a².

Силу тока в рамке определим по закону Ома:
\[ I=\frac{U}{R}.  \]
Сопротивление проводника найдём, зная удельное сопротивление ρ, площадь сечения провода S и длину проводника l = 4∙a:
\[ R=\rho \cdot \frac{l}{S} =\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S}. \]
Получаем искомый момент сил:
\[ M=\frac{U}{\rho \cdot \frac{4\cdot a}{S} } \cdot B\cdot a^{2} =\frac{U\cdot S\cdot B\cdot a}{4\cdot \rho}. \]
Ответ: 0,5 Н∙м

[Kivir]

693. В однородное магнитное поле с индукцией B = 2∙10^–4 Тл перпендикулярно линиям индукции помещён прямолинейный проводник с током силой I = 50 А. Найти совокупность точек, в которых результирующая магнитная индукция равна нулю. Определит силу, действующую со стороны магнитного поля на отрезок проводника длиной l = 50 см.
Решение: проводник с током создаёт вокруг себя магнитное поле, индукция которого определяется следующим образом:
\[ B_{1} =\mu \cdot \mu _{0} \cdot \frac{I}{2\pi \cdot r}. \]
Где μ = 1 – магнитная проницаемость среды (нет специальных оговорок, считаем, что проводник в вакууме), μ₀ = 4π∙10^–7 Гн/м – магнитная постоянная, I – сила тока, r – расстояние от проводника до точки в которой рассчитывается индукция магнитного поля. Магнитное поле тока и внешнее магнитное поле складываются согласно принципа суперпозиции:
\[ \vec{B}_{0} =\vec{B}+\vec{B}_{1}. \]
Здесь B₀ – результирующая индукция поля, B – индукция внешнего поля. По условию задачи, нужно определить точки поля, в которых B₀ = 0. Это означает, что индукция магнитного поля проводника должна быть равна по модулю индукции внешнего магнитного поля и иметь противоположное направление. Совокупность точек будет иметь вид прямой, параллельной проводнику на расстоянии r от него:
\[ \begin{array}{l} {B=B_{1} ,} \\ {r=\frac{\mu _{0} \cdot I}{2\pi \cdot B} .} \end{array} \]
Сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля – сила Ампера, модуль которой определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha .  \]
α – угол между вектором магнитной индукции B и направлением тока в проводнике. Так как проводник помещён перпендикулярно линиям индукции то угол α = 90º и в этом случае sinα = 1.
Ответ: r = 5∙10^-2 м., F = 5∙10^–3 Н.

[Kivir]

694. Прямой провод длиной l = 10 см, по которому идёт ток силой I = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 1∙10^–2 Тл. Каков угол между вектором магнитной индукции B и направлением тока, если на провод действует сила F = 1∙10^–2 Н.
Решение: сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля – сила Ампера, модуль которой определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha. \]
Тогда искомый угол:
\[ \alpha =\arcsin \left(\frac{F}{I\cdot B\cdot l}\right). \]
Ответ: α = 30º.