Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

696. Жесткая проводящая рамка квадратной формы лежит на горизонтальной поверхности и находится в магнитном поле, силовые линии которого параллельны двум сторонам рамки. Масса рамки m = 20 г, длина её стороны a = 4 см, магнитная индукция B = 0,5 Тл. Какой силы постоянный ток нужно пропускать по рамке, чтобы одна из её сторон начала приподниматься?
Решение: пусть одна сторона рамки станет осью вращения OO₁, на вторую сторону действует сила Ампера F, направление которой определено по правилу левой руки (см. рис.) На рамку действует ещё сила тяжести mg, направленная вниз и приложена к геометрическому центру рамки (считаем рамку однородной). Пусть сила тока такова, что сторона рамки начинает приподниматься. Запишем правило моментов относительно оси OO₁:
\[ F\cdot a-mg\cdot \frac{a}{2}=0. \]
Модуль силы Ампера определяется по формуле:
\[ F=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha. \]
В нашем случае: l = a, α = 90º. Тогда из правила моментов получаем:
\[ \begin{array}{l} {I\cdot B\cdot a=\frac{mg}{2},} \\ {I=\frac{mg}{2\cdot B\cdot a}.} \end{array}  \]
Ответ: 5 А.

[djek]

697. Проводник длиной l = 10 см, по которому идет ток силой I = 15 А, перемещается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,50 Тл на расстояние s = 20 см. Определить максимальную работу, которая совершается при перемещении проводника. Как при этом должен двигаться проводник?
Решение.
На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера, модуль которой равен

F_A = B·I·l·sinα₁

где I – сила тока в проводнике, l – длинна проводника, находящегося в магнитном поле, B – модуль индукции магнитного поля, α₁ – угол, образованный проводником и вектором магнитной индукции.
Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения.

A = F·s·cosα

Тогда

A = B·I·l·sinα₁·s·cosα.

Работа будет максимальной, если sinα₁ = 1 и cosα = 1.
Значит, проводник должен двигаться перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля и в направлении действия силы.

A_m = B·I·l·s.

[djek]

698. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 мм в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл. Какова кинетическая энергия электрона? Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, масса электрона mе = 9,1·10^-31 кг.
Решение.
Кинетическую энергию электрона можно рассчитать по формуле
\[ {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2} \]
Неизвестной величиной является скорость электрона. Определим ее из соображений, что электрон будет двигаться в магнитном поле под действием силы Лоренца по окружности, если его скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & F={{m}_{e}}\cdot a \\
 & B\cdot e\cdot \upsilon ={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{R} \\
 & \upsilon =\frac{R\cdot B\cdot e}{{{m}_{e}}} \\
 & {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{{{R}^{2}}\cdot {{B}^{2}}\cdot {{e}^{2}}}{2\cdot {{m}_{e}}} \\
\end{align}
 \]

[Kivir]

699.Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υ₀ = 2∙10⁷ м/с. Длина конденсатора l = 10 см, напряжённость электростатического поля конденсатора E = 200 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, линии которого перпендикулярны силовым линиям электростатического поля. Магнитная индукция поля B = 2∙10^-2 Тл. Найти радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле.
Решение: пусть нижняя пластина конденсатора заряжена положительно (см. рис.). Силовые линии электростатического поля направлены вертикально вверх. В этом случае электрон, пролетая конденсатор, отклонится немного вниз. Вылетев из конденсатора, частица попадает в магнитное поле и движется по винтовой траектории (по условию). Тогда силовые линии магнитного поля направлены горизонтально (пусть совпадают по направлению с вектором начальной скорости электрона) – только в этом случае электрон влетит в магнитное поле под острым углом к силовым линиям и будет двигаться по винтовой линии. (Силовые линии магнитного поля могут ещё иметь направление перпендикулярное плоскости рисунка, «от нас» или «к нам».Но в этом случае электрон вылетит из конденсатора перпендикулярно силовым линиям и будет далее двигаться по окружности, что не подходит по условию задачи). Пусть начало координат находится в точке влёта, ось OX направлена горизонтально, OY – вертикально вниз (см. рис.).В этой системе координат движение электрона можно представить как результат сложения двух движений: равномерного движения со скоростью υ₀ вдоль оси OX и равноускоренного движения с ускорением a вдоль оси OY.  Наличие ускорения объясняется тем, что в этом направлении на электрон действует сила со стороны электростатического поля конденсатора: F = e∙E, где e = 1,6∙10^-19 Кл – заряд электрона (силой тяжести можно пренебречь). Модуль ускорения определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a,e\cdot E=m\cdot a,} \\ {a=\frac{e\cdot E}{m} ,} \end{array} \]
где m = 9,1∙10^-31 кг – масса электрона. В момент вылета модуль скорости электрона будет равен υ, и скорость будет направлена под углом α к силовым линиям магнитного поля.Проекцию скорости на ось OY определим из кинематического уравнения зависимости скорости от времени
\[ \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t, \]
где υ_0y = 0, a_y = a. Время движения электрона t внутри конденсатора легко определить т.к. вдоль пластин конденсатора (вдоль OX) электрон движется равномерно, тогда t = l/υ₀, и проекция скорости на OY
\[ \upsilon _{y} =a\cdot t=\frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0}}. \]
После пролёта конденсатора электрон попадает в горизонтальное магнитное поле. На частицу будет действовать сила Лоренца

F_l = e∙υ_y∙B,

обусловленная наличием вертикальной составляющей скорости υ_y, вследствие этого частица будет двигаться по окружности: сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение (одновременно с движением по окружности, частица движется вдоль поля со скоростью υ₀ – в итоге – движение по винтовой линии).Радиус этой окружности определим, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F_{l} =m\cdot a_{c} ,e\cdot \upsilon _{y} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{y}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m}{e\cdot B} \cdot \upsilon _{y} =\frac{m}{e\cdot B} \cdot \frac{e\cdot E}{m} \cdot \frac{l}{\upsilon _{0} } ,} \\ {R=\frac{E\cdot l}{\upsilon _{0} \cdot B} .} \end{array} \]
Ответ: 5 мм.

[Kivir]

700. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, влетела в точке 1 (рис. 234) в однородное магнитное поле с индукцией B = 4 ∙ 10^–3 Тл, перпендикулярной скорости частицы, и вылетела в точке 2. Расстояние l между точками 1 и 2  равно 1 м. Найти отношение заряда частицы к её массе.
Решение:найдём скорость заряженной частицы, при вылете из электрического поля. Работа сил эклектического поля равна изменению кинетической энергии частицы (начальную скорость частицы считаем равной нулю)
\[ \begin{array}{l} {A=\Delta E_{k} =E_{k} ,} \\ {q\cdot U=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \end{array} \]
где q – заряд частицы, m  - масса.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {q\cdot \upsilon \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon ^{2}}{R},} \\ {R\cdot q\cdot B=m\cdot \upsilon .} \end{array} \]
Как видно из рисунка, расстояние между точками 1 и 2 равно диаметру окружности, т.е. l = 2R, тогда подставив R и υ, получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{l}{2} \cdot q\cdot B=m\cdot \sqrt{\frac{2q\cdot U}{m} } ,} \\ {l^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} =8\cdot q\cdot U\cdot m,} \\ {\frac{q}{m} =\frac{8\cdot U}{l^{2} \cdot B^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1 ∙ 10⁸ Кл/кг.

[Kivir]

701. Однородное магнитное поле с индукцией B создано в полосе шириной d (рис. 235). Пучок электронов направляется перпендикулярно полосе и линиям магнитной индукции. При каких скоростях электроны не пролетят на другую сторону полосы («отразятся» от «магнитной стенки»)? Заряд электрона e, его масса m_e.
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой (скорость электронов перпендикулярна индукции магнитного поля)
\[ F=q\cdot \upsilon \cdot B=e\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,} \\ {e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B}.} \end{array} \]
Чтобы электроны не вылетели из полосы радиус траектории их движения (радиус окружности) не должен превысить ширину полосы, т.е.  R ≤ d.
Это будет выполнено при скоростях
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{e} \cdot \upsilon }{e\cdot B} \le d,} \\ {\upsilon \le \frac{d\cdot e\cdot B}{m_{e}}.} \end{array} \]

[Kivir]

702. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом α = 45º к линиям магнитной индукции и движется по винтовой линии с шагом h = 20 мм. Магнитная индукция поля B= 1 ∙ 10^–2 Тл, заряд частицы q = 1,6 ∙ 10^–19 Кл. Определить импульс частицы.
Решение: разложим вектор скорости на две составляющие (см. рис.): υ₁ – направленную вдоль линий магнитной индукции и υ₂, перпендикулярную этим линиям. Модули этих составляющих: υ₁ = υ∙cosα, υ₂ = υ∙sinα соответственно. На частицу действует сила Лоренца, вследствие чего частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Период обращения частицы по окружности:
\[ T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon _{2}}, \]
где R – радиус окружности, который легко определить, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{array}{l} {F=m\cdot a_{c} ,q\cdot \upsilon _{2} \cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{2}^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{m\cdot \upsilon _{2} }{q\cdot B} =\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} .\left(*\right)} \end{array}  \]
Таким образом, период вращения
\[ T=\frac{2\pi \cdot m}{q\cdot B} .\left(**\right) \]
При этом частица движется равномерно (со скоростью υ₁) вдоль поля, и за один оборот смещается на расстояние (шаг винтовой линии):
\[ h=\upsilon _{1} \cdot T=m\cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} .\left(***\right) \]
Т.е. траекторией движения частицы является винтовая линия радиуса R, шагом h, по которой частица движется с периодом вращения T.
Учтём, что модуль импульса это произведение массы на скорость (p = m∙υ):
\[ \begin{array}{l} {h=\upsilon _{1} \cdot T=p\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{q\cdot B} ,} \\ {p=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\pi \cdot \cos \alpha }.} \end{array} \]
Ответ: 7,2 ∙10^–24 кг∙м/с.

[Kivir]

703. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 2 ∙10⁵ м/с, которая составляет с вектором магнитной индукции B угол α = 60º. При каком наименьшем значении индукции магнитного поля электрон сможет оказаться в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции на расстоянии L = 2 см от начальной точки? Отношение заряда электрона к его массе e / m_e = 1,76 ∙10¹¹ Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).
Чтобы электрон оказался в точке, лежащей на той же линии магнитной индукции, шаг винтовой линии h, должен быть равен расстоянию до этой точки L (h = L), т.е. за время одного оборота частица сместится на L. Только в этом случае индукция магнитного поля будет минимальной (при большем значении  магнитной индукции расстояние L может включать несколько шагов h винтовой линии). Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса m_e:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Откуда минимальная индукция магнитного поля
\[ B=\frac{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }{\frac{e}{m_{e} } \cdot L} . \]
Ответ: 1,78 ∙10^-4 ≈ 2 ∙10^–4 Тл.

[Kivir]

704. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,40 Тл под углом α = 30º к направлению вектора B и движется по винтовой линии радиуса R = 0,50 см. Найти кинетическую энергию протона. Масса протона m = 1,67 ∙ 10^–27 кг, заряд протона q = 1,6 ∙ 10^–19 Кл.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии, «навиваясь» на линии магнитной индукции. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)). Воспользуемся формулой для радиуса винтовой линии, выразим скорость протона
\[ \begin{array}{l} {R=\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B} ,} \\ {\upsilon =\frac{R\cdot q\cdot B}{m\cdot \sin \alpha }.} \end{array} \]
Подставив полученное выражение для скорости в формулу кинетической энергии, получим ответ
\[ \begin{array}{l} {E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {E_{k} =\frac{R^{2} \cdot q^{2} \cdot B^{2} }{2m\cdot \sin ^{2} \alpha } .} \end{array} \]
Ответ:1,2 ∙ 10^–16 Дж.

[Kivir]

705. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ = 400 км/с, под углом α = 60º  к вектору магнитной индукции B, модуль которого  B = 1 ∙ 10^–3 Тл. Сколько витков опишет электрон вдоль магнитного поля на расстоянии r = 2 м? Отношение заряда электрона к его массе e / m_e = 1,76 ∙10¹¹Кл/кг.
Решение: заряженная частица, влетающая в магнитное поле под острым углом к вектору магнитной индукции, будет двигаться в нём по винтовой линии. Формулы для расчёта периода вращения частицы, радиуса винтовой линии и шага выведены в решении задачи №702 (формулы (*), (**), (***)).Шаг винтовой линии, с учётом, что заряд электрона e, его масса m_e:
\[ h=m_{e} \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi }{e\cdot B}. \]
Шаг винтовой линии h – расстояние, на которое смещается частица за один оборот. Таким образом, количество оборотов N можно определить, как отношение расстояния r к шагу h, т.е.
\[ N=\frac{r}{h} =\frac{r\cdot \frac{e}{m_{e} } \cdot B}{2\pi \cdot \upsilon \cdot \cos \alpha }. \]
Ответ:  280 ≈ 3 ∙ 10².