Магнитное поле из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

706. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 3,52 ∙ 10³ В, электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,01 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется по окружности радиуса R = 2,0 см. Вычислить отношение заряда электрона к его массе.
Решение: скорость электрона определим следующим образом: работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы (начальную скорость частицы считаем равной нулю)
\[ \begin{array}{l} {A=\Delta E_{k} =E_{k} ,} \\ {e\cdot U=\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2},} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m_{e}}},} \end{array} \]
где e – заряд электрона, m_e - его масса.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой (учитываем, что электрон влетает перпендикулярно полю)
\[ F=e\cdot \upsilon \cdot B. \]
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим:
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R\cdot e\cdot B=m_{e} \cdot \upsilon .} \end{array} \]
Подставим в полученное уравнение выражение для скорости и выразим удельный заряд электрона (отношение заряда частицы к её массе):
\[ \begin{array}{l} {R^{2} \cdot e^{2} \cdot B^{2} =m_{e}^{2} \cdot \frac{2\cdot e\cdot U}{m_{e} } ,} \\ {\frac{e}{m_{e} } =\frac{2\cdot U}{B^{2} \cdot R^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,76 ∙ 10¹¹ Кл/кг

[Kivir]

707.Электрон влетает в область пространства с однородным электростатическим полем напряжённостью E = 6 ∙ 10⁴ В/м перпендикулярно линиям напряжённости. Определить модуль и направление вектора магнитной индукции однородного магнитного поля, которое надо создать в этой области для того, чтобы электрон пролетел её, не испытывая отклонений. Энергия электрона W = 1,6 ∙ 10^–16 Дж, масса электрона m_e = 9,1 ∙ 10^–31 кг.
Решение: пусть напряжённость однородного электростатического поля направлена вертикально вниз, электрон летит горизонтально. На электрон действует сила со стороны электростатического поля F₁ = e∙E, направленная вертикально вверх (электрон отрицательно заряжен, e = 1,6 ∙ 10^–19 Кл). Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца F₂ = e∙υ∙B∙sinα. Чтобы электрон пролетел область электрического и магнитного полей без отклонений, сила Лоренца должна быть равной по модулю и противоположной по направлению силе F₁ со стороны электростатического поля. В этом случае сумма сил, действующих на электрон, будет равна нулю (силой тяжести пренебрегаем ввиду её малости) и частица будет двигаться равномерно, прямолинейно. Направление индукции магнитного поля определим, зная направление силы Лоренца и скорости частицы, по правилу левой руки (см. рис.). Получаем
\[ \vec{B}\bot \vec{E},\vec{B}\bot \vec{\upsilon }. \]
Скорость частицы определим из энергии (кинетическая)
\[ W=\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2} }{2} ,\upsilon =\sqrt{\frac{2W}{m_{e}} }. \]
Из условия равенства сил, найдём индукцию магнитного поля (sinα = 1)
\[ \begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} ,e\cdot E=e\cdot \upsilon \cdot B,} \\ {B=\frac{E}{\upsilon } =E\cdot \sqrt{\frac{m_{e} }{2W}}.} \end{array} \]
Ответ: 3 мТл.

[Kivir]

708. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Параллельно магнитному полю возбуждается однородное электростатическое поле напряжённостью E = 100 В/м. За какой промежуток времени кинетическая энергия электрона возрастёт в n = 5 раз?
Решение: в магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, модуль которой
\[ F_{1} =e\cdot \upsilon _{1} \cdot B, \]
где e – заряд электрона, m_e  - его масса, υ₁ – скорость электрона.
Сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона, поэтому сообщает ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона получим:
\[ \begin{array}{l} {e\cdot \upsilon _{1} \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}}{R} ,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{R\cdot e\cdot B}{m_{e}}.(1)} \end{array} \]
После возбуждения однородного электростатического поля на электрон начнёт действовать сила со стороны этого поля F₂ = e∙E, и частица начнёт ускоряться в горизонтальном направлении вдоль оси 0X (см. рис.). Проекцию ускорения на ось 0X определим из второго закона Ньютона
\[ \begin{array}{l} {F_{2} =m_{e} \cdot a,e\cdot E=m_{e} \cdot a,} \\ {a=\frac{e\cdot E}{m_{e}}.} \end{array} \]
Пусть пройдёт время t, за которое кинетическая энергия частицы возрастает в n раз. Скорость частицы в этот момент обозначим υ₂. Определим эту скорость.
С одной стороны (по условию):
\[ \begin{array}{l} {E_{k2} =n\cdot E_{k1} ,\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =n\cdot \frac{m_{e} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},} \\ {\upsilon _{2}^{2} =n\cdot \upsilon _{1}^{2}.(2)} \end{array} \]
С другой стороны υ₂ можно найти по теореме Пифагора (см. рис.):
\[ \upsilon _{2}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{x}^{2},(3) \]
где υ_x– проекция скорости на ось 0X, которую определим из уравнения зависимости скорости от времени (учтём, что проекция начальной скорости электрона (υ₁) на эту ось равна нулю):
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +a\cdot t,} \\ {\upsilon _{x} =\frac{e\cdot E}{m_{e}} \cdot t.(4)} \end{array} \]
Подставим уравнения (1), (2) и (4) в (3) и выразим искомое время
\[ \begin{array}{l} {n\cdot \upsilon _{1}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +a^{2} \cdot t^{2} ,} \\ {t=\frac{\upsilon _{1} }{a} \cdot \sqrt{n-1} ,} \\ {t=\frac{RB}{E} \cdot \sqrt{n-1}.} \end{array} \]
Ответ: 2 ∙ 10^–3 с.

[Kivir]

716. С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник вокруг одного из его концов в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС E_i= 0,30 В? Длина проводника l = 20 см. Магнитная индукция поля B = 0,20 Тл.
Решение: при вращении проводника в нём возникает ЭДС индукции, модуль которой (закон электромагнитной индукции):
\[ E_{i} =\frac{\Delta \Phi }{\Delta t} =\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}, \]
где ΔS – площадь, которую «прочерчивает» проводник за время Δt. Пусть проводник сделает один оборот. В этом случае ΔS равно площади круга, радиусом l, а время равно периоду вращения T, т.е.

ΔS = π∙l² и Δt = T.

Подставим в закон электромагнитной индукции и учтём, что угловая ско-рость вращения ω = 2π/T
\[ E_{i} =\frac{B\cdot \pi \cdot l^{2} }{T} =\frac{2\pi }{T} \cdot \frac{B\cdot l^{2} }{2} =\frac{\omega \cdot B\cdot l^{2}}{2}. \]
Откуда искомая угловая скорость
\[ \omega =\frac{2E_{i} }{B\cdot l^{2}}. \]
Ответ: 75 рад/с.

[Kivir]

717. Длина подвижного проводника АС равна l, его сопротивление R (рис. 238). Сопротивление неподвижного проводника, по которому скользит без трения проводник АС, пренебрежимо мало. Перпендикулярно плоскости проводников приложено магнитное поле с индукцией B. Какую силу F нужно приложить к проводнику АС для того, чтобы он двигался с постоянной скоростью υ? Система проводников находится в горизонтальной плоскости.
  Решение: подвижный проводник АС вместе с неподвижным представляет собой замкнутый контур. При движении проводника АС на его концах возникнет разность потенциалов (ЭДС индукции)
\[ E_{i} =B\cdot l\cdot \upsilon \cdot \sin 90^{\circ } =B\cdot l\cdot \upsilon. \]
 В контуре потечёт индукционный ток и на перемычку АС будет действовать сила Ампера, модуль которой
\[ \begin{array}{l} {I_{i} =\frac{E_{i} }{R} =\frac{B\cdot l\cdot \upsilon }{R} ,} \\ {F_{A} =I_{i} \cdot B\cdot l\cdot \sin 90^{\circ } =\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon }{R}.} \end{array} \]
Т.к. проводник АС движется равномерно, то приложенная сила F равна по модулю и противоположна по направлению силе Ампера (сумма сил должна быть рана нулю). Получаем
\[ F=\frac{B^{2} \cdot l^{2} \cdot \upsilon}{R}. \]

[Kivir]

730. В катушке индуктивности сила тока линейно увеличивается со скоростью ΔI/Δt = 10 А/с. Найти ЭДС индукции, возникающую при этом в катушке, если резонансная частота ν колебательного контура, образованного из этой катушки и конденсатора ёмкостью C  = 100 пФ, равна 100 кГц.
Решение: ЭДС самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре (катушке индуктивности)
\[ E_{si} =\left|-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}\right|, \]
где L – индуктивность катушки. Для нахождения индуктивности воспользуемся формулой Томсона, для расчёта периода (частоты) электромагнитных колебаний
\[ \begin{array}{l} {\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}} ,} \\ {L=\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C}.} \end{array} \]
Получаем
\[ \left|E_{si} \right|=\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C} \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}. \]
Ответ: 0,25 В.

[Kivir]

729. Катушка индуктивностью L = 25 мГн и сопротивлением R = 5 Ом соединена параллельно с резистором, на котором поддерживается постоянное напряжение U = 50 В (см. рис. 240). Найти энергию, которая выделится при размыкании ключа К. Какая средняя ЭДС самоиндукции возникает при этом в катушке, если энергия будет выделяться в течение времени  Δt = 10 мс?
Решение: катушка соединена параллельно с резистором, поэтому напряжение на ней U . Зная сопротивление катушки, определим ток в ней:
\[ I=\frac{U}{R}. \]
При размыкании ключа ток в катушке будет равномерно убывать до нуля  (I₂ = 0) за время Δt. Тогда средняя ЭДС самоиндукции
\[ E_{si} =-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} =-L\cdot \frac{I_{2} -I}{\Delta t} =L\cdot \frac{I}{\Delta t} =\frac{L\cdot U}{R\cdot \Delta t}. \]
Перед тем, как разомкнули ключ, через катушку шёл ток, и энергия магнитного поля катушки с током была равна
\[ W_{1} =\frac{L\cdot I^{2}}{2} =\frac{L\cdot U^{2} }{2\cdot R^{2}}. \]
После размыкания ключа, ток в цепи подает до нуля и конечная энергия магнитного поля катушки будет равна нулю (W₂ = 0). Согласно закона сохранения и превращения энергии, энергия выделившаяся  в цепи будет равна изменению энергии системы, т.е.
\[ W=\left|W_{2} -W_{1} \right|=\frac{L\cdot U^{2}}{2\cdot R^{2}}.  \]
Ответ: 1,3 Дж, 25 В.

[Kivir]

728. Катушка, индуктивность которой  L = 0,06 мГн, и резистор соединены параллельно и подключены к источнику тока (рис. 240). По катушке идёт ток силой  I = 1,2 А. При размыкании ключа  К сила тока в катушке изменяется практически до нуля за время Δt = 120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую в катушке, и количество теплоты, которое выделится в катушке и резисторе.
Решение: согласно закона сохранения и превращения энергии, энергия выделившаяся  в цепи (количество теплоты) будет равна первоначальной энергии системы, т.к. конечная энергия магнитного поля катушки равна нулю
\[ Q=W=\frac{L\cdot I^{2}}{2}. \]
Будем считать, что при размыкании ключа ток в катушке будет равномерно убывать до нуля  (I₂ = 0) за время Δt. Тогда средняя ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке
\[ E_{si} =-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t} =-L\cdot \frac{I_{2} -I}{\Delta t} =L\cdot \frac{I}{\Delta t}. \]
Ответ: 0,6 В, 4,3 ∙ 10^–5 Дж.

[Kivir]

725. Катушка, имеющая N = 100 витков, расположена в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 ∙ 10^–2 Тл. Плоскости её витков перпендикулярны линиям магнитной индукции. Площадь одного витка S = 10 см². Катушка присоединена к баллистическому гальванометру так, что сопротивление всей цепи R = 10 Ом. При повороте катушки на угол α, через гальванометр проходит заряд q = 5 ∙ 10^–5 Кл. Определить угол α.
Решение: при повороте катушки, изменяется угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к поверхности (плоскости витка), что приводит к возникновению ЭДС индукции. За время Δt по цепи пройдёт заряд
\[ q=I_{i} \cdot \Delta t, \]
где I_i – сила индукционного тока. По закону Ома
\[ I_{i}=\frac{E_{i}}{R}, \]
где E_i – ЭДС индукции. Воспользуемся законом электромагнитной индукции
\[ E_{i}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}\cdot N, \]
где N – число витков, ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ – изменение магнитного потока. Начальный и конечный магнитный поток, соответственно
\[ \begin{array}{l}{\Phi _{1} =B\cdot S\cdot \cos 0{}^\circ =B\cdot S,} \\ {\Phi _{2} =B\cdot S\cdot \cos \alpha.} \end{array} \]
тогда заряд, прошедший по цепи будет равен
\[ \begin{array}{l}{q=\frac{E_{i}}{R}\cdot \Delta t=-\frac{\Phi _{2} -\Phi _{1}}{R\cdot \Delta t} \cdot N\cdot \Delta t=\frac{\Phi _{1} -\Phi _{2}}{R} \cdot N,} \\ {q=\frac{B\cdot S\cdot N}{R} \cdot \left(1-\cos \alpha \right).} \end{array} \]
Выразим косинус и определим угол
\[ \begin{array}{l} {\cos \alpha =1-\frac{q\cdot R}{B\cdot S\cdot N},} \\ {\alpha =\arccos \left(1-\frac{q\cdot R}{B\cdot S\cdot N} \right).} \end{array} \]
Ответ: 60°.

[Kivir]

723. Квадратная рамка со стороной a = 50 см помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость её перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить магнитную индукцию, если известно, что при исчезновении магнитного поля в течение времени τ = 0,01 с среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, E_i = 50 мВ.
Решение: воспользуемся законом электромагнитной индукции
\[ E_{i} =-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}, \]
где Δt = τ,  ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ – изменение магнитного потока. Начальный и конечный магнитный поток, соответственно
\[ \Phi _{1} =B\cdot S\cdot \cos 0{}^\circ =B\cdot S=B\cdot a^{2},\Phi _{2} =0. \]
здесь учли, что площадь квадратной рамки S = a² и в конечном итоге – поле исчезло. Подставим в закон и выразим магнитную индукцию B
\[ \begin{array}{l} {E_{i} =-\frac{0-B\cdot a^{2}}{\tau},} \\ {B=\frac{E_{i} \cdot \tau }{a^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 2 ∙ 10^–3 Тл.