Основы статики из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

				284	285	286	287	288	289
290	291	292	293	294	295	296	297	298	299
300	301	302	303	304	305	306	307	308	309
310	311	312	313	314	315	316	317

[dx/dt]

№317. Однородный стержень согнули посередине под прямым углом и подвесили на шарнире за один из концов (см. рис.). Найти угол α между прикрепленной частью стержня и вертикалью.

Решение. Запишем условие равновесия стержня:

M₁=M₂,

где M₁=mgx₁ – момент силы тяжести, действующей на нижнюю половину стержня, относительно оси, проходящей через точку подвеса O; M₂=mgx₂ – момент силы тяжести, действующей на  вторую половину стержня, относительно той же оси; 2m – масса стержня.
Из равенства моментов следует равенство расстояний x₁ и x₂ (см. рис.). А это значит, что отрезок C₂A разбивается на три равных отрезка, и вертикальная линия OE делит отрезок C₂А в отношении 1:2, считая от точки C₂. Но C₂A есть не что иное, как ¼ часть длины стержня (C₂ – середина AB). И если этот маленький отрезок C₂E обозначить за L, то длина всего стержня будет равна 12L, а остальные расстояния выразятся через L следующим образом:

AB=AO=6L (стержень согнут посередине),
AC₂=3L, EA=2L.

Теперь можно из прямоугольного треугольника OAE найти угол α:
\[ tg\alpha =tg\angle EOA=\frac{EA}{OA}=\frac{2L}{6L}=\frac{1}{3},\;\; \alpha =arctg\frac{1}{3}\approx 18{}^\circ. \]

Ответ: α = 18°.

[dx/dt]

Еще одно возможное решение задачи №317.
Задачу можно  решать, отталкиваясь от того факта, что центр тяжести согнутого стержня ( на рисунке обозначен буквой С) находится под точкой подвеса.
В этом случае задача получается чисто геометрической. Сначала отмечаем середины половинок стержня – точки A и B.  Центр тяжести С будет находиться в середине отрезка AB и, кроме того, лежать на вертикальной прямой (на рисунке показана пунктиром). Далее, рассматривая равнобедренный прямоугольный треугольник, образованный половинками стержня, и учитывая, что AB – это средняя линия этого треугольника, а точка С – середина средней линии, можно найти неизвестный угол α.

[dx/dt]

№316. Однородный шар массой m=10 кг удерживается на гладкой наклонной плоскости веревкой, укрепленной над плоскостью (рис. 114). Угол наклона плоскости к горизонту α=30⁰, угол между веревкой и наклонной плоскостью β=45⁰ . Определить силу, с которой шар давит на наклонную плоскость.

Решение. На шар действуют три силы: сила натяжения нити T, сила нормальной реакции опоры N и сила тяжести mg. Так как шар находится в равновесии, то
\[ \vec{T}+\vec{N}+m\vec{g}=\vec{0}. \]
Найдем проекции этих сил на координатные оси:
\[ Ox:T\cos \beta -mg\sin \alpha =0, \;\;\; (1)\;\;Oy:T\sin \beta +N-mg\cos \alpha =0. \;\;\; (2) \]
Выражая из уравнения (1) силу T и подставляя значение T в уравнение (2), получим:
\[ N=mg\left[ \cos \alpha -\sin \alpha \cdot tg\beta\right]. \]
По третьему закону Ньютона модуль силы F, с которой шар давит на наклонную плоскость, равен модулю силы, с которой плоскость  действует на шар, то есть
\[ F=N=mg\left[ \cos \alpha -\sin \alpha \cdot tg\beta\right]. \]
Подставляя численные значения величин, получим F=36 Н.

Ответ: F=36 Н.

[dx/dt]

№315. Два тела A и B, массы которых m₁=1,5 кг m₂=0,45 кг соответственно, подвешены на нитях к легкому коромыслу, плечи которого имеют длину l₁=0,6 м и l₂=1 м, причем тело A лежит на полу (рис.113). На какой минимальный угол α следует отклонить подвес тела B, чтобы после его отпускания тело A оторвалось от пола?

Решение. В момент отрывания от пола тело А не действует своим весом на пол, а действует только на рычаг посредством нити, сила натяжения которой T₁= m₁g.
Условие равновесия рычага определяется равенством моментов сил, действующих на его плечи:
\[ {{T}_{1}}{{l}_{1}}={{T}_{2}}{{l}_{2}},\;\;{{m}_{1}}g{{l}_{1}}={{T}_{2}}{{l}_{2}},\;\;{{T}_{2}}={{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}} -  \]
сила, действующая на плечо l₂.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для тля тела В в момент прохождения им низшей точки (именно в этот момент тело А отрывается от пола) в проекции на вертикальную ось Oy:
\[ {{T}_{2}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}a. \]
Подставляя в последнюю формулу найденное ранее значение для силы T₂ и, учитывая, что центростремительное ускорение вычисляется по формуле a=v²/R (R – длина подвеса второго тела), получим:
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}\frac{{{v}^{2}}}{R}. \;\;\; (*) \]
Далее воспользуемся законом сохранения энергии, рассматривая движение тела В из начальной точки в самую нижнюю. Энергия переходит из потенциальной в кинетическую, при этом полная механическая энергия тела В не изменяется:
\[ {{E}_{p}}+{{E}_{k}}=const,\;\;{{m}_{2}}gh+0=0+\frac{{{m}_{2}}{{v}^{2}}}{2},\;\;{{v}^{2}}=2gh. \]
Подставим значение v² в формулу (*):
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}\frac{2gh}{R}, \]
и, рассматривая прямоугольный треугольник (см. рис.), находим:
\[ \cos \alpha =\frac{R-h}{R}\Rightarrow \frac{h}{R}=1-\cos \alpha , \]
и формула (*) уже будет иметь вид:
\[ {{m}_{1}}g\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}-{{m}_{2}}g={{m}_{2}}2g\cdot (1-\cos \alpha ), \]
откуда находим угол α:
\[ \alpha =\arccos (\frac{3}{2}-\frac{{{m}_{1}}{{l}_{1}}}{2{{m}_{2}}{{l}_{2}}}); \]
α = 60̊.

Ответ: α =60̊.

[dx/dt]

№314. В двух вершинах равностороннего треугольника, сторона которого равна a, помещены шарики массой m каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2m. Где расположен центр масс этой системы?

Решение. Для начала найдем центр масс системы двух шариков m-m. Очевидно, что центр масс этих двух шариков будет находиться в точке С₁ (см. рисунок), то есть посередине между этими двумя шариками. Можно считать, что в точке С₁ сосредоточена масса 2m – масса двух шариков m и m. Рассматривая систему материальных точек 2m-2m, приходим к выводу, что ее центр масс будет находиться  ровно посередине между шариком 2m и точкой С₁. На рисунке центр масс обозначен точкой С.
Расстояние от точки С до шарика 2m есть половина высоты равностороннего треугольника. Находим это расстояние, используя теорему Пифагора:
\[ {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {a^2},\;\; h = \frac{{\sqrt 3 a}}{2},\;\; x = \frac{h}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}. \]
Ответ: Центр масс системы находится на высоте треугольника, проведенной из шарика массой 2m, на расстоянии  x  от этого шарика.

[dx/dt]

№313. Два однородных шара из одного и того же материала, радиусы которых R₁= 3 см, R₂= 2 см, скреплены в точке касания. На каком расстоянии от точки скрепления находится центр тяжести системы?

Решение. Координата центра масс находится по формуле:
\[ \begin{align}
  & {{x}_{c}}=\frac{{{m}_{1}}{{x}_{1}}+{{m}_{2}}{{x}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}, \\
 &  \\
\end{align} \]
и если начало координат совпадает с центром первого шара (см. рисунок), то x₁ = 0, x₂ = R₁ + R₂  и формула для центра масс примет следующий вид:
\[ {{x}_{c}}=\frac{{{m}_{2}}({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}. \]
Так как шары сделаны из одного вещества, то их массы будут относиться как и линейные размеры в третьей степени:
\[ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}\Rightarrow {{m}_{1}}={{(\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}})}^{3}}{{m}_{2}}. \]
Тогда координата центра масс
\[ {{x}_{c}}=\frac{{{m}_{2}}({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}{{m}_{2}}+{{m}_{2}}}=\frac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}+1},
 \]
а расстояние от центра тяжести до точки соприкосновения шаров:
\[ L={{R}_{1}}-{{x}_{c}}={{R}_{1}}-\frac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}+1}=\frac{R_{1}^{4}-R_{2}^{4}}{R_{1}^{3}+R_{2}^{3}}, \]
L = 1,85 см.

Ответ: L = 1,85 см.

[dx/dt]

№312. Определить положение центра тяжести однородной круглой пластинки радиуса R = 30 см, в которой вырезано отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки (см. рис.).
 
Решение. Очевидно, что если вернуть вырезанную часть обратно, то центр тяжести круглой однородной пластинки будет находиться в ее геометрическом центре.
Тогда условие равновесия целой круглой пластинки относительно оси, проходящей через ее центр можно записать в виде:

M₁=M₂

или
\[ 3mgx=mg\frac{R}{2}, \]
откуда находим

x=R/6= 5 см.

При решении задачи мы учли, что масса вырезанного кружка в 4 раза меньше массы целой круглой пластинки, а значит, оставшаяся часть будет иметь массу в три раза большую, чем вырезанный кружок.
Ответ: на расстоянии 5 см от центра пластинки.

[dx/dt]

№311. Четыре однородных шара массами m₁ = 1 кг, m₂ = 5 кг, m₃ = 7 кг, m₄ = 3 кг укреплены на невесомом стержне таким образом, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга. Найти положение центра тяжести системы.

Решение. Шары являются однородными, поэтому можно считать, что масса каждого шара сосредоточена в его центре. Координата центра тяжести системы материальных точек определяется по формуле:
\[ {{x}_{c}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}}}{\sum{{{m}_{i}}}}.
 \]
Если координатную ось расположить вдоль стержня, на котором находятся шары, а первый шар поместить в начало координат, то формула центра тяжести примет вид:
\[ {{x}_{c}}=\frac{0\cdot {{m}_{1}}+d{{m}_{2}}+2d{{m}_{3}}+3d{{m}_{4}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}},
 \]
\[ \begin{align}
  & {{x}_{c}}=\frac{{{m}_{2}}+2{{m}_{3}}+3{{m}_{4}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}}\cdot d, \\
 &  \\
\end{align} \]
x_c=0,35 м.

Ответ: на расстоянии 0,35 м от первого шара.

[Kiruha]

Однородный массивный стержень с укрепленными на его концах грузами массой m₁=5,5кг и m₂=1кг находится в равновесии,если его подпереть на расстоянии равном 1/5 его длины,от более тяжелого груза,какова масса стержня?
Задача из сборника Н.Е Савченко №286