Основы статики из сборника Савченко Н.Е.

[Kiruha]

На доске длиной L=64см стоит сплошной цилиндр,у которого высота в n=3 раза больше диаметра основания.На какую наибольшую высоту можно поднять один из концов доски,чтобы цилиндр не опрокинулся?
Задача из сборника Н.Е Савченко №292

[Kiruha]

К верхнему краю доски длиной L и массой M прибит брусок,длина которого l и масса m.Доска закреплена в точке O и прислонена к стенке под углом a(альфа) к основанию.При какой горизонтальной силе F,приложенной на высоте h,равновесие доски не нарушится,если стенку убрать?
Задача из сборника Н.Е Савчено №295

[djek]

286. Однородный массивный стержень с укрепленными на его концах грузами m₁ = 5,5 кг и m₂ = 1 кг находится в равновесии, если его подпереть на расстоянии, равном 1/5 его длины, от более тяжелого груза. Какова масса стержня?
Решение.
Так как стержень находится в равновесии, то выполняется правило моментов: алгебраическая сумма моментов всех действующих на стержень сил относительно оси вращения должна быть равна нулю. Другими словами, сумма моментов сил, которые стремятся повернуть стержень против часовой стрелки должна равняться сумме моментов сил, которые стремятся повернуть стержень по часовой стрелке. С одной стороны на стержень действует сила m₁g, плечо этой силы 1/5l, и сила 1/5mg, плечо этой силы 1/10l (стержень однородный, поэтому будем считать, что с одной стороны от точки опоры находится 1/5 часть его массы, с другой 4/5). С другой стороны на стержень действует сила m₂g, плечо этой силы 4/5l, и сила 4/5mg, плечо этой силы 4/10l.Тогда
\[ {{m}_{1}}\cdot g\cdot \frac{1}{5}\cdot l+\frac{1}{5}\cdot m\cdot g\cdot \frac{1}{10}\cdot l={{m}_{2}}\cdot g\cdot \frac{4}{5}\cdot l+\frac{4}{5}\cdot m\cdot g\cdot \frac{4}{10}\cdot l \]

0,2·m₁·g·l + 0,2·m·g·l = 0,8·m₂·g·l + 0,32·m·g·l

Решая относительно m получим
\[ m=\frac{2\cdot {{m}_{1}}-8\cdot {{m}_{2}}}{3} \]

[djek]

292. На доске длиной l = 64 см стоит сплошной цилиндр, у которого высота в n = 3,0 раза больше диаметра основания. На какую наибольшую высоту можно поднять один из концов доски, чтобы цилиндр не опрокинулся?
Решение.
Пусть d – диаметр основания цилиндра, r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра, H – искомая высота. По условию задачи h = n·d.
Опрокидывание цилиндра произойдет когда линия действия силы mg пересечет плоскость опоры цилиндра. На рисунке изображен предельный случай.
Из треугольника АОВ (угол ВОА = α) имеем
\[ tg\alpha =\frac{AB}{AO}=\frac{r}{\frac{h}{2}}=\frac{2\cdot r}{h}=\frac{d}{h}=\frac{d}{n\cdot d}=\frac{1}{n};(1) \]
С другой стороны
\[ \begin{align}
  & tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };(2) \\
 & \sin \alpha =\frac{H}{l};\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha } \\
\end{align}
 \]
Приравняем (1) и (2)
\[ \frac{1}{n}=\frac{\sin \alpha }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}=\frac{H}{l\cdot \sqrt{1-\frac{{{H}^{2}}}{{{l}^{2}}}}}=\frac{H}{\sqrt{{{l}^{2}}-{{H}^{2}}}} \]
Решая это уравнение получим
\[ H=\frac{l}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}} \]

[alsak]

295. К верхнему краю доски длиной L и массой М прибит брусок, длина которого l и масса m (рис. 1). Доска закреплена в точке О и прислонена к стенке под углом α к основанию. При какой горизонтальной силе F, приложенной на высоте h, равновесие доски не нарушится, если стенку убрать?

Решение. Распишем силы, действующие на систему доска-брусок, если убрать стену. Это будет сила тяжести доски (M∙g) и сила тяжести бруска (m∙g), горизонтальная сила F (рис. 2), силы крепления в точке О (это и сила реакции опоры, и сила упругости, на рисунке 2 они не указаны). Чтобы не учитывать влияние сил крепления, запишем условие равновесия доски отно-сительно точки О (момент сил, вращающих доску по часовой стрелке будем считать положительным):

F∙l₁ – M∙g∙l₂ – m∙g∙l₃ = 0,

где l₁ = OF = h — плечо силы F, l₂ = OB = L/2∙cos α — плечо силы M∙g (точка Е — середина доски), l₃ = OA = (L – l/2)∙cos α — плечо силы m∙g (см. приме-чание). Тогда
\[\begin{array}{c} {F\cdot h-M\cdot g\cdot \frac{L}{2} \cdot \cos \alpha -m\cdot g\cdot \left(L-\frac{l}{2} \right)\cdot \cos \alpha =0,} \\ {F=\left(M\cdot \frac{L}{2} +m\cdot \left(L-\frac{l}{2} \right)\right)\cdot \frac{g\cdot \cos \alpha }{h} ==\left(M\cdot L+m\cdot \left(2L-l\right)\right)\cdot \frac{g\cdot \cos \alpha }{2h} .} \end{array}\]
Примечание. Такое плечо силы тяжести m∙g будет только в случае, если брусок тонкий (пренебрегаем его высотой).

[Kiruha]

К концам горизонтального стержня длиной l=0,8м и массой m=2кг подвешены два груза:слева массой m₁=1кг,справа массой m₂=3кг.На каком расстоянии со стороны большей массы следует подпереть стержень,чтобы он остался в равновесии?
Задача из сборника Савченко №287

[leshkaanimeshnik]

Данная система представляет собой рычажные весы(Наподобие). Для равновесия стержня должно выполняться равенство (m1+m_{кусочка стержня}) * L= (m2+m_{второго кусочка стержня}) *(l-0.. Массу кусочков можно выразить через общую массу и длину. То есть m_c1(кусочка стержня у меньшего груза ) равна ml/0.8? тогда m_c2=m*(l-0./0.8. Подставив это в первое уравнение получим : (m1+ml/0.*l=(m2+m(0.8-l)/0.*(0.8-l)

[djek]

287. К концам горизонтального стержня длиной l = 0,8 м и массой m = 2 кг подвешены два груза: слева массой m₁ = 1 кг, справа массой m₂ = 3 кг. На каком расстоянии со стороны большей массы следует подпереть стержень, чтобы он остался в равновесии?
Решение.
Так как стержень находится в равновесии, то выполняется правило моментов: алгебраическая сумма моментов всех действующих на стержень сил относительно оси вращения должна быть равна нулю. Момент сил, вращающих стержень по часовой стрелке будем считать положительным. На стержень действует сила m₁g, плечо этой силы равно l – x, сила тяжести стержня mg, плечо этой силы l₁ = l/2 – x, сила m₂g, плечо этой силы равно х. Тогда
\[ \begin{align}
  & {{m}_{2}}\cdot g\cdot x-{{m}_{1}}\cdot g\cdot \left( l-x \right)-m\cdot g\cdot \left( \frac{l}{2}-x \right)=0 \\
 & {{m}_{2}}\cdot g\cdot x={{m}_{1}}\cdot g\cdot \left( l-x \right)+m\cdot g\cdot \left( \frac{l}{2}-x \right) \\
 & x=\frac{l\cdot \left( {{m}_{1}}+\frac{m}{2} \right)}{{{m}_{2}}+{{m}_{1}}+m} \\
\end{align}
 \]

[Kiruha]

К концам  однородного стержня длиной l= 1м и массой m=0,8 кг прикреплены два маленьких шарика,массы которых m₁=0,2кг и m₂=0,25кг.Стержень поворачиваться вокруг горизонтальной оси находящейся на расстоянии l₁=0,3м от шарика меньшей массы.Чтобы стержень был расположен горизонтально под шарик большей массы подставлена опора.Найти силу действующую на опору.
Задача из сборника Савченко №285.

[Kiruha]

Однородный стержень одним концом упирается в вертикальную стену,а другой его конец удерживается с помощью нити,длина которой равна длине стержня(рис.106).При каких углах а(альфа) стержень будет находиться в равновесии,если коэффициент трения между стержнем и стеной равен 0,3?
Задача из сборника Савченко №303.