303. Однородный стержень одним концом упирается в вертикальную стену, а другой его конец удерживается с помощью нити, длина которой рав-на длине стержня (рис. 1). При каких углах α стержень будет находиться в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стеной μ = 0,3?
Решение. На стержень действуют силы: сила тяжести (
m∙g), сила натяжения веревки (
Т), сила реакции опоры (стенки) (
N) и сила трения (направлена вверх, так как без трения стержень двигался бы вниз) (
Ftr) (рис. 1). Так как стержень находится в равновесии, то сумма всех сил будет равна нулю:
\[0=m\cdot \vec{g}+\vec{T}+\vec{N}+\vec{F}_{tr} ,\]
0X: 0 = –T∙sin α + N,
0Y: 0 = –m∙g + T∙cos α + Ftr,
где
Ftr ≤ μ∙
N (т.к. стержень не скользит). Тогда
N = T∙sin α,
0 ≤ –m∙g + T∙cos α + μ∙T∙sin α. (1)
Выразим силу
T через
m∙g. Для этого запишем условие равновесия стержня относительно точки
А (момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке будем считать положительным):
m∙g∙l1 – T∙l2 = 0,
где
l1 =
AK = l/2∙sin β — плечо силы тяжести,
l2 =
AE = CA∙sin α — плечо силы натяжения нити, β = α, т.к. треугольник
C0A равнобедренный,
CA = CB + BA = l∙cos α +
l∙cos β = 2
l∙cos α. Тогда
\[m\cdot g\cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha -T\cdot 2l\cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha =0,\; \; \; T=\frac{m\cdot g}{4\cos \alpha } .\]
После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[0\le -m\cdot g+\frac{m\cdot g}{4} +\mu \cdot \frac{m\cdot g}{4} \cdot tg\alpha ,\; \; \; \; \frac{\mu }{4} \cdot tg\alpha \ge \frac{3}{4} ,\; \; \; \alpha \ge arctg\frac{3}{\mu } ,\]
α ≥ 84°.
