Основы статики из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

288. Концы стержня, массой которого можно пренебречь, прикреплены к двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины. Стержень при этом занимает горизонтальное положение. Жесткость первой пружины k₁ = 6 Н/м, второй k₂ = 4 Н/м. Расстояние между пружинами l = 2 м. На каком расстоянии от первой пружины нужно подвесить груз к стержню, чтобы он остался горизонтальным?

Решение.
Так как стержень находится в равновесии, то выполняется правило моментов: алгебраическая сумма моментов всех действующих на стержень сил относительно любой оси вращения должна быть равна нулю.
Относительно оси, проходящей через точку А

F₁·l = m·g·(l – x)

Момент силы F₂ равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.
Относительно оси, проходящей через точку В

F₂·l = m·g x

Момент силы F₁ равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.
Разделим уравнения. Например:
\[ \begin{align}
  & \frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{l-x}{x};x\cdot \left( {{F}_{1}}+{{F}_{2}} \right)={{F}_{2}}\cdot l \\
 & x=\frac{{{F}_{2}}\cdot l}{{{F}_{1}}+{{F}_{2}}}=\frac{{{k}_{2}}\cdot \Delta l\cdot l}{{{k}_{1}}\cdot \Delta l+{{k}_{2}}\cdot \Delta l}=\frac{{{k}_{2}}\cdot l}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ 0.8 м

[alsak]

289. При взвешивании на неравноплечих рычажных весах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) оказалась на одной чаше весов равной m₁ = 2 кг, а на другой m₂ = 8 кг. Найти истинную массу тела. Массой коромысла пренебречь.

Решение.
Рассмотрим условия равновесия рычагов для двух случаев

m₂·g·l₂ = m· g·l₁; m· g·l₂ = m₁· g·l₁

Найдем искомую массу. Например
\[ \begin{align}
  & {{l}_{2}}=\frac{m\cdot {{l}_{1}}}{{{m}_{2}}};m\cdot \frac{m\cdot {{l}_{1}}}{{{m}_{2}}}={{m}_{1}}\cdot {{l}_{1}} \\
 & m=\sqrt{{{m}_{2}}\cdot {{m}_{1}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ 4 кг

[alsak]

290. Груз массой m = 10 кг перемещают равномерно по прямой в горизонтальной плоскости, прилагая силу, направленную под углом α = 30° к горизонту. Определить модуль этой силы, если коэффициент трения μ = 0,20.

Решение.
На груз действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr и искомая сила F. Так как груз перемещают равномерно (а=0), то
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: F_tr = F·cosα;
Oy: N + F·sinα = m·g

С учетом того, что F_tr = μ·N
\[ \begin{align}
  & {{F}_{tr}}=\mu \cdot N=\mu \cdot \left( m\cdot g-F\cdot \sin \alpha  \right)=F\cdot \cos \alpha  \\
 & F=\frac{\mu \cdot m\cdot g}{\cos \alpha +\mu \cdot \sin \alpha } \\
\end{align}
 \]
Ответ 20 Н

[alsak]

291. На платформу кузова грузового автомобиля на высоту h = 1,2 м по наклонным брускам длиной l = 2,0 м равномерно тянут груз массой m = 300 кг. Коэффициент трения скольжения μ = 0,20. Определить силу тяги, направленную параллельно брускам.

Решение.
На груз действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr и сила тяги F. Так как груз перемещают равномерно (а=0), то
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: F = F_tr + m·g sinα;
Oy: N = m·g·cosα

С учетом того , что F_tr = μ·N

F = μ·m·g·cosα + m·g sinα = m·g (μ·cosα + sinα) (1)

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тогда, как видно из рисунка
\[ \sin \alpha =\frac{h}{l};\cos \alpha =\frac{\sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{l} \]
С учетом этих уравнений перепишем (1)
\[ F=m\cdot g\cdot \left( \frac{\mu \cdot \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{l}+\frac{h}{l} \right)=\frac{m\cdot g\cdot \left( \mu \cdot \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}+h \right)}{l} \]
Ответ 2,2  10³ H.

[alsak]

293. Деревянный брусок находится на наклонной плоскости. С какой наименьшей силой F нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска m = 2,0 кг, длина наклонной плоскости l = 1,0 м, высота ее h = 0,60 м. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость μ = 0,40.

Решение.
На брусок действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr и искомая сила F. Так как брусок покоится, то
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: F_tr = m·g sinα;
 Oy: N = F + m·g·cosα

С учетом того , что F_tr = μ·N
\[ \begin{align}
  & {{F}_{tr}}=\mu \cdot N=\mu \cdot \left( F+m\cdot g\cdot \cos \alpha  \right)=m\cdot g\cdot \sin \alpha  \\
 & F=\frac{m\cdot g\cdot \left( \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha  \right)}{\mu } \\
\end{align}
 \]
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тогда, как видно из рисунка
\[ \sin \alpha =\frac{h}{l};\cos \alpha =\frac{\sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{l} \]
Окончательно
\[ F=\frac{m\cdot g}{\mu }\left( \frac{h}{l}-\frac{\mu \cdot \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{l} \right)=\frac{m\cdot g}{\mu \cdot l}\cdot \left( h-\mu \cdot \sqrt{{{l}^{2}}-{{h}^{2}}} \right) \]
Ответ 14 Н

[alsak]

294. Груз массой m = 5,0 кг находится на наклонной плоскости, образующей угол α = 30° с горизонтом. К грузу приложена сила F, направленная вдоль наклонной плоскости. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,20. Определить модуль приложенной силы, если груз перемещается равномерно вниз по плоскости.

Решение.
На груз действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr и искомая сила F. Так как груз перемещается равномерно, то
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: F + F_tr = m·g sinα;
 Oy: N = m·g·cosα

С учетом того , что F_tr = μ·N

F = m·g sinα - F_tr = m·g sinα - μ·m·g·cosα = m·g·(sinα - μ·cosα)

Ответ 16 Н

[alsak]

296. На столе лежит однородная цепочка длиной l. Часть ее свешивается со стола. Какова максимальная длина свешивающейся части, если коэффициент трения между цепочкой и столом равен μ?

Решение.
Запишем второй закон Ньютона для части цепочки, лежащей на столе.
\[ \vec{N}+{{\vec{F}}_{tr}}+{{m}_{2}}\vec{g}+\vec{T}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: Т = F_tr;
Oy: N = m₂·g

С учетом того, что F_tr = μ·N

Т = μ· m₂·g (1)

Второй закон Ньютона для части цепочки, которая свисает со стола
\[ {{m}_{1}}\vec{g}+\vec{T}=0 \]
В проекции на ось Оу

Т = m₁·g (2)

Приравняем (1) и (2) и с учетом того, что цепочка однородная
\[ \begin{align}
  & \mu \cdot {{m}_{2}}\cdot g={{m}_{1}}\cdot g; \;\;\; \mu =\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{{{l}_{1}}}{{{l}_{2}}}=\frac{{{l}_{1}}}{l-{{l}_{1}}} \\
 & {{l}_{1}}=\frac{\mu \cdot l}{1+\mu } \\
\end{align}
 \]

[alsak]

297. С какой минимальной силой, направленной горизонтально, надо прижать брусок к вертикальной стене, чтобы он не соскользнул вниз? Масса бруска m = 6 кг, коэффициент трения между бруском и стеной μ =0,1.

Решение.
На брусок действуют силы тяжести mg, нормальной реакции опоры N, трения F_tr и искомая сила F. Так как брусок не соскальзывает, то
\[ {{\vec{F}}_{tr}}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=0 \]
В проекциях на оси координат

Ох: F = N;
Oy: F_tr = m·g

С учетом того , что F_tr = μ·N
\[ F=N=\frac{{{F}_{tr}}}{\mu }=\frac{m\cdot g}{\mu }; \]
Ответ 600 Н

[alsak]

298. Двое рабочих несут бревно, масса которого m = 50 кг. Один поддерживает бревно на расстоянии l₁ = 1 м от его конца, а второй - противоположный конец бревна. Длина бревна l = 5 м. Определить силы, с которыми бревно действует на каждого рабочего.

Решение.
Точка приложения силы тяжести находится на расстоянии l/2 от конца бревна. Составим уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через точку 2
\[ {{N}_{1}}\cdot \left( l-{{l}_{1}} \right)=m\cdot g\cdot \frac{l}{2};{{N}_{1}}=\frac{m\cdot g\cdot l}{2\cdot \left( l-{{l}_{1}} \right)} \]
Запишем еще одно условие равновесия бревна
\[ {{\vec{N}}_{1}}+{{\vec{N}}_{2}}+m\vec{g}=0 \]
Тогда в проекции на ось Оу, направленную вертикально вверх

N₁ + N₂ = m·g;
N₂ = m·g - N₁

Cилы, с которыми бревно действует на каждого рабочего, по III закону Ньютона F₁ = N₁;  F₂ = N₂

[alsak]

299. Однородная доска массой М = 1 кг лежит на столе так, как показано на рис. 103. Груз какой массы надо положить на правый конец доски, чтобы левый ее конец начал подниматься?

Решение.
Точка приложения силы тяжести находится на расстоянии l/2 от конца доски. Левый конец доски начнет подниматься если будет выполняться условие
\[ \begin{align}
  & {{M}_{mg}}\ge {{M}_{Mg}};m\cdot g\cdot \frac{l}{3}\ge M\cdot g\cdot \left( \frac{l}{2}-\frac{l}{3} \right) \\
 & m\ge \frac{M}{2} \\
\end{align}
 \]