Чтобы шарик, на гибком подвесе, смог достичь верхней точки необходимо, чтобы сила натяжения подвеса на всем движении была больше нуля. В верхней точке
А, где сила натяжения наименьшая (возможно, это требует доказательств), для минимальной скорости υ сила натяжения
T = 0. В этой точке на шарик будут действовать сила тяжести (
m⋅g) и кулоновская сила (
Fk) взаимодействия разноименных зарядов
q1 и
q2 (рис. 1). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0
Y:
m⋅ac = m⋅g + Fk⋅cos α, (1)
где
\[ a_{c} = \frac{\upsilon _{1}^{2} }{R}, \;\;\; F_{k} = k \cdot \frac{\left|q_{1} \right| \cdot \left|q_{2} \right|}{AB^{2}}, \;\;\; \cos \alpha = \frac{OA}{AB},\;\;\; AB = \sqrt{OA^{2} +OB^{2}} = l \cdot \sqrt{5},
\]
R = OA = l, OB = 2l.
После подстановки в уравнение (1) получаем
\[ m \cdot \frac{\upsilon _{1}^{2} }{l} = m \cdot g + k \cdot \frac{\left|q_{1} \right| \cdot \left|q_{2} \right|}{5l^{2} } \cdot \frac{l}{l \cdot \sqrt{5}}, \; \; \; \upsilon _{1}^{2} = g \cdot l+k \cdot \frac{\left|q_{1} \right| \cdot \left|q_{2} \right|}{m \cdot 5l \cdot \sqrt{5}}. \] (2)
Для нахождения скорости υ воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем нижнюю точку траектории шарика (см. рис. 1).
Полная механическая энергия тела
в начальном состоянии (в точке
С) равна
\[ W_{0} = \frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} + k \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2} }{CB}. \]
Полная механическая энергия тела
в конечном состоянии (в точке
А)
\[ W = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + k \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2} }{AB}, \]
где
h = 2
l, AB = CB.Так как на шарик не действует внешняя сила (действие кулоновской силы мы учли потенциальной энергией взаимодействия зарядов), то выполняется закон сохранения механической энергии (учтем при этом формулу (2)):
\[ \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + k \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{CB} = m \cdot g \cdot 2l + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + k \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{CB}, \; \; \; \frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} = m \cdot g \cdot 2l+\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}, \]
\[ \upsilon = \sqrt{4g \cdot l+\upsilon _{1}^{2} } = \sqrt{4g \cdot l+g \cdot l+k \cdot \frac{\left|q_{1} \right| \cdot \left|q_{2} \right|}{m \cdot 5l \cdot \sqrt{5} } } = \sqrt{5g \cdot l+k \cdot \frac{\left|q_{1} \right| \cdot \left|q_{2} \right|}{m \cdot 5l \cdot \sqrt{5}}}, \]
υ = 5,0 м/с.
В книге «Физика: готовимся к централизованному тестированию: Анализ ошибок … — Мн., Аверсэв, 2007. — С. 46-49» разобраны три способа решения этой задачи.
